5.3.1 Định nghĩa.
Định nghĩa 15. 3 Phép đối xứng tâm I là một phép biến hình được ký hiệu là DI và được xỏc định như sau: 1)DI(I) =I. 2) Với ∀M ∈ ả, M 6=I ta cú
DI(M) =M0⇔ −−→−→IM0=−−−→−→IM ⇔ I là trung điểm của M M0. Hai điểm M và M0 khi đó được gọi là đối xứng với nhau qua điểm (tâm) I.
Định nghĩa 16. 4 Tập G⊆ ả(G cũn được gọi là một hỡnh phẳng) được gọi là có tâm đối xứng là điểm I khi và chỉ khi ∀M ∈G, DI(M)∈G. Khi đóG còn được gọi là hình đối xứng tâm. I còn được gọi là tâm đối xứng của G.
5.3.2 Biểu diễn tọa độ
Định lí 18. Nếu I(a;b) thì DI có biểu diễn tọa độ:
(x0 = 2a−x y0 = 2b−y
5.3.3 Các tính chất
1. DI là phép biến hình affin với det = 1 và DI cũng là phép dời hình thuận với α=π.
2. Với hai điểm A, B bất kỳ, ∈ ả, ta cú:
DA ◦DB =T2−−→BA−→ .
3. DA ◦DB =Id⇔A≡B.
4. Đường cong G có phương trình f(x;y) = 0 nhận điểm I(a;b) làm tâm đối xứng khi và chỉ khi với mọi (x;y) ∈ Df mà f(x;y) = 0 ta có f(2a−x; 2b−y) = 0.
5. D−1I = DI. Phép biến hình f mà thoả mãn f−1 ≡ f còn được gọi là phép biến hình tự ngược hay là phép biến hình đối hợp. Như vậy, DI là phép biến hình đối hợp.
5.3.4 Bài tập áp dụng
Bài toán 23. 1 Hãy chứng minh các tính chất đã nêu trên.
Bài toán 24. 2 Hãy xác định biểu diễn tọa độ của D−1I với I(a;b).
Bài toán 25. 3 Hãy chỉ ra những hình phẳng là hình đối xứng tâm và chỉ rõ tâm đối xứng của mỗi hình.
Bài toán 26. 4 Chứng minh rằng một hình hữu hạn không thể có hai tâm đối xứng phân biệt.
Bài toán 27. 5 Cho điểmI(a;b)và đường congGcó phương trìnhf(x;y) = 0. Chứng minh rằng đường cong G0 đối xứng với G qua I có phương trình f(2a−x; 2b−y) = 0.
Bài toán 28. 6 Chứng minh rằng mọi đường thẳng 3I đều là hình kép của DI. Hãy xác định các hình kép khác ( nếu có ) của DI.
Bài toán 29. 7 Hãy nêu những bất biến của DI, những điểm bất động của DI.
Bài toán 30. 8 Chứng minh rằng tọa độ cặp điểm thuộc đường cong G có phương trình f(x;y) = 0 và đối xứng với nhau qua điểm I(a;b)cho trước là
nghiệm của hệ: (
f(x;y) = 0
f(2a−x; 2b−y) = 0.
Bài toán 31. 9 Chứng minh rằng đồ thị hàm số y =f(x) có tâm đối xứng là điểm I(a;b) khi và chỉ khi
∀x∈Df :
(2a−x ∈Df
f(2a−x) = 2b−f(x)
Bài toán 32. 10 Chứng minh rằng đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O(0; 0) làm tâm đối xứng.
Bài toán 33. 11 Chứng minh rằng đồ thị hàm số y=f(x) có tâm đối xứng là điểm I(a;b) khi và chỉ khi qua phép đổi biến
(x =X +a
y =Y +b
(hệ trục tọa độ Oxy được tịnh tiến song song theo vectơ ~u(a;b) đến vị trí IXY),
đồ thị hàm số Y =F(X) thu được là hàm số lẻ.
Bài toán 34. 12 Chứng minh rằng:
1. Đường thẳng có vô số tâm đối xứng.
2. Đồ thị hàm số y=ax2+bx+c (a6= 0) không có tâm đối xứng.
3. Đồ thị hàm sốy =ax3+bx3+cx+d (a6= 0) có tâm đối xứng là điểm I(x0;y0) với x0 =− b
3a ; y0 =y(x0).
4. Đồ thị hàm số y= ax+b
px+q (p6= 0 ; aq−bp6= 0) nhận điểm I(−q p;a
p) làm tâm đối xứng.
Bài toán 35. 13 Chứng minh rằng DI ≡ QπI. Chính vì vậy và do Q0I ≡ Id nên khi nói đến phép quay góc α thường người ta chỉ xét α∈(−π;π)\ {0}.
Bài toán 36. 14 Cho ba đường tròn bằng nhau: (O1;R) ; (O2;R) ; (O3;R) và đôi một tiếp xúc ngoài với nhau tạiA, B, C. Giả sử M là điểm ∈(O1;R) và
N =DA(M) ; P =DB(N) ; Q=DC(P).
Chứng minh rằng Q=DO1(M).
Bài toán 37. 15 Hai người lần lượt đặt những đồng xu tròn trên một mặt bàn hình chữ nhật. Người thứ hai đặt kế tiếp người thứ nhất cho đến khi mặt bàn được phủ đầy các đồng xu đó. Mỗi người có thể dặt đồng xu một cách tuỳ ý lên chỗ nào còn trống trên mặt bàn. Người nào không thể đặt tiếp đồng xu lên mặt bàn sẽ được coi là thua cuộc. Chứng minh rằng có một cách chơi đối với người đặt đồng xu đầu tiên sao cho với cách chơi đó, người ấy là người thắng cuộc.
Bài toán 38. 16 Cho góc xOy và điểm A nằm ở miền trong của góc. Hãy dựng đường thẳng dđi qua điểm Asao cho đoạn thẳng của dnằm trong miền góc đã cho bị chia đôi bởi điểm A.
Bài toán 39. 17 Hãy nội tiếp trong một tứ giác lồi một hình bình hành biết tâm của nó là điểm O thuộc miền trong của tứ giác lồi đã cho.
Bài toán 40. 17 Cho tam giác ABC. GọiA1 =DA(C), B1 =DB(A), C1 = DC(B). Gọi M là giao điểm của AB với A1C1, N là giao điểm của A1B1
với BC. Kẻ M P song song với B1C1 (P ∈A1B1). Chứng minh rằng A1P =P N =B1N.
Bài toán 41. 19 Hãy chia một tứ giác lồi ABCD thành 4 phần sao cho có thể ghép 4 phaanf đó lại để được một hình bình hành.
Bài toán 42. 20 Cho tứ giác lồi ABCD có đường chéo AC đi qua trung điểm O của đường chéo BD. Chứng minh rằng nếu OA > OC thì A <ˆ D.ˆ