5.4.1 Định nghĩa.
Định nghĩa 17. 5 Trờn mặt phẳng ả cho đường thẳng ∆. Phộp đối xứng trục ∆ là một phép biến hình, ký hiệu là D∆ và được xác định như sau: +) Với M ∈∆ : D∆(M) =M. +) Với M /∈ ∆ : D∆(M) = M0 ⇔ ∆ là trung trực của đoạn M M0. Khi đó hai điểmM và M0 còn được gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng ∆.
Định nghĩa 18. 6 Tập G⊆ ả được gọi là cú trục đối xứng là đường thẳng
∆ hay là hình đối xứng trục ( với trục đối xứng: ∆ ) khi và chỉ khi
∀M ∈G: D∆(M)∈G.
5.4.2 Biểu diễn tọa độ
Định lí 19. Nếu đường thẳng ∆ có phương trình Ax+By+C = 0 (5) (A2+B2 6= 0)
thì D∆ có biểu diễn tọa độ
x0 =x− 2A(Ax+By+C) A2+B2 y0 =y−2B(Ax+By+C)
A2+B2
(6)
5.4.3 Các tính chất
1. D∆ là phép biến hình affin với det=−1 và là phép dời hình nghịch.
2. (6) cũng là công thức xác định tọa độ của điểm M0(x0;y0) đối xứng với điểm M(x;y) qua đường thẳng ∆ có phương trình (5).
3. Mọi điểm ∈∆ đều là điểm bất động của D∆. Ngoài ra, không còn các điểm bất động khác.
4. Bản thân ∆là hình kép của D∆. Ngoài ra, mọi đường thẳng vuông góc với ∆ cũng là hình kép của D∆.
5. Cho hai đường thẳng d1 và d2. Khi đó: +) Nếu d1 kd2 thì Dd1◦Dd2 là một phép tịnh tiến song song T~u. +) Nếu d1 ∦d2 thì Dd1 ◦Dd2 là một phép quay QαI.
6. D∆ là một phép biến hình đối hợp.
5.4.4 Bài tập áp dụng
Bài toán 43. 1 Chứng minh rằng 1. Nếu ∆ : x=a thì (6) có dạng:
(x0 = 2a−x y0 =y .(6.1)
2. Nếu ∆ : y=b thì (6) có dạng:
(x0 =x
y0 = 2b−y.(6.2)
3. Nếu ∆ : y=x thì (6) có dạng:
(x0 =y y0 =x.(6.3)
4. Nếu ∆ : y=−x thì (6) có dạng:
(x0 =−y y0 =−x.(6.4)
Bài toán 44. 2 Cho đường cong G: f(x;y) = 0. Chứng minh rằng:
1. G có trục đối xứng ∆ : x=a khi và chỉ khi
∀(x;y)∈Df mà f(x;y) = 0 : f(2a−x;y) = 0.
2. G có trục đối xứng ∆ : y =b khi và chỉ khi
∀(x;y)∈Df mà f(x;y) = 0 : f(x; 2b−y) = 0.
3. G có trục đối xứng ∆ : y =x khi và chỉ khi
∀(x;y)∈Df mà f(x;y) = 0 : f(y;x) = 0.
4. G có trục đối xứng ∆ : y =−x khi và chỉ khi
∀(x;y)∈Df mà f(x;y) = 0 : f(−y;−x) = 0.
Bài toán 45. 3 Hãy xác định vectơ~u trong phép tịnh tiến song song T~u; tâm I và góc quay α trong phép QαI ở tính chất 5. nói trên.
Bài toán 46. 4 Chứng minh rằng một hình hữu hạn không thể có hai trục đối xứng song song.
Bài toán 47. 5 Chứng minh rằng nếu một hình có hai trục đối xứng vuông góc thì nó có tâm đối xứng. Hãy xác định tâm đối xứng của hình.
Bài toán 48. 6 Hãy chỉ ra một số hình đối xứng trục và chỉ ra các trục đối xứng của mỗi hình.
Bài toán 49. 7 Cho điểm M(x;y). Hãy chỉ ra tọa độ của các điểm:
M1, M2, M3, M4, M5, M6, M7, M8
lần lượt đối xứng với điểmM qua: trục hoành ; trục tung ; gốc tọa độ ; đường thẳng x= a ; đường thẳng y=b; điểm I(a;b); đường thẳng y=x ; đường thẳng y=−x ; đường thẳng y=ax+b (a 6= 0).
Bài toán 50. 8 Chứng minh rằng đồ thị hàm số chẵn có trục đối xứng là trục tung.
Bài toán 51. 9 Chứng minh rằng: 1) Đường thẳng có vô số trục đối xứng. 2) Parabol:y =ax2+bx+c (a6= 0) có trục đối xứng là đường thẳng x=− b
2a. Bài toán 52. 10 Chứng minh rằng đồ thị hàm số đa thức không có trục đối xứng xiên góc với trục hoành.
Bài toán 53. 11 Cho tam giác ABC. Tìm đường thẳng ∆ đi qua đỉnh A của tam giác sao cho với mọi điểm M ∈∆ ta đều có chu vi tam giác M BC không nhỏ hơn chu vi tam giác ABC. Đs: ∆ là đường phân giác ngoài của góc A.
Bài toán 54. 12 Hai đường thẳng d và d0 đối xứng với nhau qua một đường thẳng ∆. Chứng minh rằng hoặc d và d0 cắt nhau tại một điểm ∈∆, hoặc d và d0 song song, cách đều ∆.
Bài toán 55. 13 Cho hình chữ nhật ABCD, M là trung điểm của AB, K là giao điểm của hai đường chéo. Tìm các vị trí của N ∈BC, E ∈CD, G∈ DA sao cho
KN +N E+EG+GM là nhỏ nhất.
Bài toán 56. 14 Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm cề cùng phía đối với đường thẳng d. Hãy tìm điểm M ∈d sao cho tổng AM+M B là nhỏ nhất.
Bài toán 57. 15 Cho ba đường thẳng a, b, c đồng quy tại O và một điểm A ∈a, A 6= O. Hãy dựng tam giác ABC nhận a, b, c làm các đường phân giác trong.
Bài toán 58. 16 Chứng minh rằng trong tất cả những tam giác có chung số đo góc ở đỉnh và có tổng độ dài hai cạnh bên cho trước thì tam giác cân có độ dài cạnh đáy là nhỏ nhất.
Bài toán 59. 17 Cho tam giác ABC và một điểm P nằm trong tam giác.
Chứng minh rằng các đường thẳng đối xứng với P A, P A, P B thứ tự qua các đường phân giác trong của các góc A, B, C thì đồng quy.
6 Phép vị tự và phép đồng dạng