Néu z, = &, + im (v =1,...,n) là các nghiệm của đa thức P(z) = S2 a„z", Ostrowski đã chứng minh các bất đẳng thức sau đây cho tất cả
v=0
các giá trị thực cha x:
ằ ( 1 ) 5 Re POP" (2) = P(e)’
n„#0 m P(x)’
LY Sp, Pin)’ = P (i) P'(ix)
ằ (2) aR P(ix)
Ngoài ra, nếu „ # 0 hoặc €, # 0 ( = I,...,m) thì ta có:
> (4) > pro Po =P le) P(e)
v=1 Te P(a)
“ay P (ia) P"(iz) P'ứ}
2. ( ) xi P(ix)? ,
Các bất đẳng thức này tương đương với
5 (1)/anen=2am v=l 1h n 7 ao 0
và n
IS 2aga› — ai”
ằ (2) > gRe ate = a
; a
v=l , 0
Định lý 1.4.1. (De Bruijin) Cho đa thúc P (z) bậc n > 1, có các nghiệm Zi,...vZ„ Và 10Ị,...,t0„_+ là các nghiệm của đa thức đạo hàm P' (z).
EKhi đó ta có:
n-1 n
1 1
„| S— wl. A.
— Dd |Imw,| < — 97 [Im 2,| (1.4.1)
v=1 v=1
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi phần thực của tat cọ cỏc nghiệm của P() bằng nhau.
Bruijn và Springer đã mở rộng Định lí 1.4.1 cho trường hợp tổng quát nhất, cụ thể cho các đa thức tùy ý với hệ số thực hoặc phức. Để làm được điều này, họ đã đưa ra một hàm số phụ là P* (z) nhận được từ P(¿) khi ta thay các nghiệm của P (z) trong nửa mặt phẳng dưới bằng số phức liên hợp của chúng.
Dé thay rằng Dinh lí 1.4.1 là đúng khi mọi nghiệm của P (z) nằm trong
miền Imz > 0. Bởi vì khi đó, dựa vao Dinh If Gauss-Lucas [12, trang 180], điều này cũng đúng với nghiệm của P/(z), vì vậy phần ảo của
ZI,...,Zn, 104,...,10,_¡ đều cùng dấu. Dịnh lí được suy ra từ mối quan
hệ
a hae
Bởi vậy trong Dịnh lí 1.4.1 dấu bằng sẽ xảy ra ở trường hợp này. Trong trường hợp tổng quát trở về trường hợp trên sau khi áp dụng bổ đề của Bruijn va Springer.
Bổ đề 1.4.1. Cho
>
=z]]t Z— 2y) Il (2-%), (O<k<n).
v=l v=k+1
O day Im z, > 0 (v=1,...,k), Imz, <0 (v=k+1,...,n).
Nếu ta đặt
n
=z]]t (z — 2) TI (z - Z,), (1.4.2)
v=l1 v=k+1
thi
chỉ khi không có hai nghiệm nào của P (z) tách rời nhau bởi trục thực. (z)| < |P*?(œ)| với mọi số thực x. Đẳng thức trên xảy ra khi và
>
===Q+ih, }) -=S+7T,
=1” v=k+1
ở đây z, eo , 5, T là các số thực.
Khi do, 4 me =(Q+S)+i(R+T) va =(Q+S)+i(R-T).
Vilmz, > 0 (v=1,...,k) va Imz, < “0 mm ) nờn ẽ >
0,T <0.
5 _ Pia)| & |Pr)
Do d6 |< |R—-T| hay Fe Sle
Néu z 1A 86 thuc thi |P (x)| = |P* (z)| suy ra |P’ (x)| < |P*'(2)|.
Đăng thức xảy ra với mọi số thực z chỉ khi R = 0 hoặc 7 = 0. Nói cách khác, nếu mọi nghiệm của P (z) nằm trong Imz < 0 hoặc nằm trong Imz > 0.
Ap dụng bổ đề trên, Định lí 1.4.1 được chứng minh như sau.
Chứng minh Định lí 1.4.1 Cho đa thức P" (z) được định nghĩa như (1.4.2).
Vì mọi nghiệm của ?* (z) đều nằm trong Im z > 0 nên:
n-1 n
1 % 1
| [Im w,| =~ › | Im z,|, (1.4.3)
: v=1 v=
6 day w*,,...,w*,-1 la ki hiéu cdc nghiệm của đa thức P*”(z). Hơn nữa,
A A
J log LP' (z)| dz < J log |P*' (x)| dx (A > 0), (1.4.4)
-A _A
hay n-1 A n-1 A
>| log |x — w,| dx < >| log |a — w*| da. (1.4.5) v=1 "74 v=1 "7A
Ta có:
A 1
/ log |z — aldz = 2(A log A — A) + mma] +0 (2). (1.4.6) -A
Từ (1.4.5) và (1.4.6) ta thấy khi A — +œ thì
n-1 n-1
S> | Im w,| <3 |Imuj|. (1.4.7)
v=l1 vel
Từ (1.4.3) và (1.4.7) ta kết luận:
n-1
1 1 n
| ằ |Imw,| < n 2 Jmsil
Đây là điều phải chứng minh. Đẳng thức trong (1.4.7) xảy ra khi và chỉ khi đẳng thức trong (1.4.4) xảy ra, tức là, nếu |P'(z)| = |P*7()|
với mọi số thực #. Sử dụng bổ đề (1.4.2) ta có tất cả các nghiệm của P(z)đều nằm trong Imz > 0 hoặc Imz < 0. Định lí (1.4.1) đã được chứng minh.
Nhận xét 1.4.1.
- Ý nghĩa hình học của Định lí 1.4.1 là nghiệm của đa thức P’(z) nim giữa gần trục thực hơn nghiệm của đa thức P (z).
- Áp dụng tương tự về một đường bất kì khi ta thay |Imz| bởi
|Im (œz + ỉ)|, ở đõy œ, ỉ là cỏc số phức. Cú thể suy ra điều này khi
ta áp dụng Dịnh lí 1.4.1 cho hàm số P (=) a
Các định lí sau đây được chứng minh một cách tương tự.
Dinh ly 1.4.2. (Bruijn va Springer) Giả sử zị,...,z„ là các nghiệm của đa thúc P(z), t,...,t0„_ + là các nghiệm của đa thức P'(z) và Im z¡ <Imz <---<Imz,.
Néu w(x) 1A ham lồi biến số thực với z € [Im z¡, Im z„} và
1 n 1 n-1
DWw,P)= "3, w (Im z,) — — (Im w,),
v=l vel
thi D(w,P) > 0. Đẳng thức xảy ra chỉ khi là hàm tuyến tính với + € [Imz¡, Im z„].Điều này bao gồm trường hợp Im z¡ = --- = Im z„.
Trường hợp đặc biệt, khi j (z) = |z|” (r > 1), ta có
Dinh ly 1.4.3. (Bruijn va Springer) St dụng các ký hiệu của Định lí 1.4.1, với mọi r > 1, ta có
1 n-1 , 1g ,
n= T2 | <7 XL lImal’
Dang thúc xẩy ra trong hai trường hợp sau:
a) Nếu r = 1 và tất cả các nghiệm của P cùng nằm trong nửa mặt phẳng
Im z > 0 hoặc ẽm z < 0.
b) Nếu r > 1 và ẽm zĂ = --- = ẽm z„.
Định lý 1.4.4. (Pruijn và Springer) Dưới giả thiết của Dịnh lí 1.4.1 ta
co 1
n-1 n
1 „ 1 „
— >> Jw <= 2. |z.|- (1.4.8)
với mọi r > 1. Đẳng thức xảy ra trong hai trường hợp sau:
a)r = 1 và tất cả các nghiệm của P đều nằm trongcùng nửa mặt phẳng với điểm cuối 0.
b) Khi z¡ = --- = zạ.
Chứng minh Gọi đ là đường thẳng đi qua điểm 0 và tạo với trục thực dương một góc a. Khi đó, khoảng cách từ điểm z € C tới d là
|cosa Im z — sina Rez].
Theo Dinh lí 1.4.4 ta có:
m—] n
. - 1 . .
|eos œ Im z — sina Rez|" < — ` |eos œ Im z — sin œ Re z]ẽ”. n
v=l v=1
1
n—
Tích phân hai về ta được:
a ằ J,” |cosaIm n-1 z — sina Re z|"da
n : -
<t > Je" \cosalm z — sina Rez|"da.
Suy ra (1.4.8).
Cho a,b, va c la ba diém trong mặt phẳng phức.
Ki hiéu A (a,b,c) 1a dién tich cha tam giác tạo bởi ba điểm trên.
Định lý 1.4.5. (Kramer) Cho P(z) là đa thức bậc n với các nghiệm
ZI,...,Z„ VÀ 10+,...,1U„_¡ là các nghiệm của đa thúc đạo hầm P'. Khi đó ta có:
1 1
5 ` A (Wp, Wg, Wr) < nã ` A Z¡,Zj, 2w).
(n — ) 1<p<q<n-1 ˆ 1<i<j<k<n
Cho P(z) = z"+aiz"~!+:--+a„ là đa thức với các nghiệm z¡,..., Zạ.
Landau và Specht chứng minh được:
n
|zi ---z„|” < I+Ồ, |a,|’,6 dayl <m<n.
u=l
Vincente Gonealves đã cải tiến của bất đẳng thức trên thành
n
ler-++ 2m? + lzmere2nl <1 ơằ |a.|”, với 1 <m <n Cuối cùng, Ostrowski đã tổng quát hóa bất đẳng thức trên thành Dinh ly 1.4.6. Chia các nghiệm của đa thức P (z) thành k phần khác rỗng:
{a, ... 2m} posse {a, ... 2m} ’
với rmị -} --- +1?n, =1. Khi đó, với mọi À > 2, ta có:
n ÀA/2
À < (1+ Si) + k-2.
0=1l
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi À = k = 2, hoặc, À = 2 nếu k — 2 số
"... xịt), (h)
feet thmg
hạng bên trái bằng 1.
Định lý 1.4.7. (Ostrowski) Nếu z\,...,z„ là các nghiệm của da thức phức P(z) = do ayz” (a, € C; a„ # 0) thì
„=0
S^m,lls |” < lol TTA (|z| + |z,|): (1.4.9)
v=0
Chứng minh (Kalajdzié) Đặt
= So b,2" = |zz| Il (z + |zứ|) (On = lzz|)
u=0 v=l
và đặt ứ, (z:,..., #„) là hàm đối xứng sơ cấp cia 74,...,Ln-
Vì —|z„|(o =1,...,m) là các nghiệm của đa thức Q, theo công thức Viốte ta cú: (—1)”ứ, (|za|, -- -; |za|) = (1°,
tức là, với mọi = Ì,...,? ta có
Qn — UV
by —ằ = lan| Op (|zi|,.. -› |z„l) > lan| |ằ (Z1,--+52n)| = |a„| = |ứ„_ ›| *
tị
Vi vay, cho v = 0,1,...,n ta suy ra b, — |a,| > 0. Điều này dẫn đến bất đẳng thức
3 ` (0, — Ja,|)|z|” > 0: n
u=0
Bất đẳng thức này tương đương với bất đẳng thức (1.4.9) với mọi z € Œ.
Định lý 1.4.8. (Colucci) Nếu môdun của mỗi nghiệm của đa thức với hệ số phức P (z) = }) œ„z"(a, € C; a„ # 0) không lớn hơn số dương M, thi v=0
JP (2)| <kC* Ja,| (\z|- + M)"*, với mọi k = 0,1,....n