Cho 7? gồm tất cả các đa thức lượng giác không âm có bậc lớn nhất là ứ cú dạng:
T(9) = 1+ ai cosỉ + bị sin ỉ + - - - + a„ eos n8 + Ùị sin ỉ8 > 0.
ệ đõy, œ,...,d„,bị,..., b„, ỉ là cỏc số thực.
Fejes đã chứng minh kết quả sau đây nhờ biểu diễn tham số của đa thức lượng giác không âm ([12], trang 22-28):
Định lý 2.4.1. Nếu T7 € 7? thì T'(0) <n +1 và a? + b? < 2cos=
Các cận là cận đúng và không thể cải tiến.
Szcgỗ, Pgerváry và 5zász đã tìm ra đánh giá cho v/4ÿ + ủÿ, khi k là
một số nguyên tùy ý nằm gitta 1 vA n.
Định lý 2.4.2.. Nếu T €7; thì
24 22 7
4/ a, + by < 2c0§~—— (l<k<n). (2.4.1)
[z] +2
Đẳng thức trong (2.4.1) chỉ xây ra với đa thức không âm
2 2 i 1 ,
T* (0) =7(0)4 1+—~ › (6 —+ 1) cosuœ + mete) cos um (8 — w)
pt2 — sina
ệ đõy, r(6) là một đa thức khụng õm tựy ý từ Ji. = 5 P=
[t], n=pk+q (0<q<k) vay] la mot hang sé tity ý.
Nhận xét 2.4.1. Cận trong (2.4.1) là đúng. Chẳng hạn, nếu
m = pk (q= 0), có Tụ (6) = 1. Lấy = 0Ú và = Ƒ, ta thấy 7” (6) = 1+2cosr-— cos kổ + ---.
l:]+?
Như vậy trong trường hợp này, ta thấy hệ số đạt được cận của nó.
Nhận xét 2.4.2 Có một số liên hệ các kết quả này với các bất đẳng thức bậc hai rời rạc kiểu Wirtinger và Opial.
Với đa thức không âm 7' € 77 n? Egerváry và 5zász đã xác định được các cận ¿„ và Q„ trong các bất đẳng thức
We <a, cosy + by sin p + Gp—p41 COSY + dp-pei sin < Oz, Ỏ đây ¿ và là các hằng số đã cho. Hơn nữa,
V aj, + bE + Ona + bạ gà <2.
Định lý 2.4.3. (Egerváry và Szász) Nếu T € 77 thì
n+l os
2 n+2°
IT’ (@)|< B, = Đẳng thức chỉ xảy ra khi
n
ằ {+B, —iC?,, tiv(nt+1)}ere”
v=0
eae 6 (1 +2) ?
với @ là một hằng số thực tùy ý.
Rogosinski đã cho một cách tiếp cận chung tới bài toán cực trị cho
đa thức đại số và đa thức lượng giác không âm.
Cần lưu ý rằng các bài toán trên về bản chất là giống nhau nếu ta xét lớp con của các đa thức không âm côsin.
Rogosinski va S5zegố cũng xột cỏc đa thức sin bậc ứ
5 (6) = bị sin 0 + ba sin 20 + --- + basinnỉ (bạ # 0) (2.4.2) không âm trên khoảng (0,7).
Vì bị > 0, không mất tính tổng quát, có thể chuẩn hóa (2.4.2) bằng cách
giả sử rằng b¡ = 1. Thật vậy, b¡ = 0 chỉ có thể xảy ra khi 5 (9) triệt tiêu.
Cho 0 < ỉ9 < z. Mọi đa thức sin khụng õm cú thể viết lại dưới dạng . “. sink .
S (0) = (sin 8) ằ by smg 7 3a 6P (cos 8),
ệ đõy,
P (cos@) = 5 + ai CoS 1 Ở + --- + ứ„_Ă cos(m — 1) 0 (2.4.3)
là đa thức cụsin khụng õm bậc ứ — 1. Hệ số tương ứng cho bởi cụng thức
25). = Ap-1 — Gea (Gy = Anti = 0) + (2.4.4)
Sử dụng biểu diễn Fcjế - Riesz cho da thtic lượng giác khong õm, đa thức P(cosỉ) cú thể viết dưới dạng P(cosỉ) = co + cre’? +++ "`". với c„ là hằng số thực. Theo (2.4.3), (2.4.4) và (2.4.5), hệ số bạ là dạng toàn phương của cg,e¡,...,e„_¡. Như vay, by = ®; (Co, C1, ++; Cn—1) -
n-1 n—3
Dac biét : b; = ® (C0, €1, +) n—1) = 5 (ap =a) = VG Y eevee.
v=0 v=0
Theo cdc két qua ciia Rogosinski vA Szeg6 cho da thite bac n va bị (= 1),
ta dat
B(k,n) = min d,va B (k,n) = max bạ.
Nếu đa thức sin Š (ỉ) là dương trong khoang (0,7), thi da thức
S(t —0) = S> (-1) "dy sin kd n
k=1
cũng có tính chất tương tự.
Hon nita B(k,n) = —B(k,n) khi k là số chãn. Ngoài ra, đa thức
$(S (0) + 8Œ — 9)) = bị sin 8 + bạ sin 36 + --- là không âm.
Khi ứ là số chón thỡ đa thức này cú bậc tối đa là ứ — 1. Ta thấy:
B(,n) = B(k,n—1), B(k,n) = B(k,n— 1), kẻ, nchẫn.
Mặc dù Rogosinski và Szeg6 da đề cập đến hai khả năng tính toán lí thuyết ệ (k,n) và ệ (k,n), họ chỉ thu được cụng thức hiển cho bạ, b¿ và
bạ, Dn. Ta có
Dinh ly 2.4.4. (Rogosinski va Szegé) Cho S(6) là một đa thức sin không âm trong khoảng (0,7) cho bởi (2.4.2) và bị = 1. Khi đó
27 * 2
2 cos 3 khi n lỗ
|bz| <
2 cos@) khin chan ở đây 0, là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình
2)0 4)0
(n+ 4) sin OE) Oy 40) sin MEF —o, Hơn nữa, ta có:
T 1 <
1-2 cos 3 S 3 < 1+ cos <bj <142 (chan), ha
va 1
1-2 cos A, < by < 1+ cos —— 3 ở), 0, <b; < 142 lẻ
6 day m = [4] va ỉĂ là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trỡnh
„+ 2)0 „+ 4) 0
TA . -ˆ ...
Cho k=m— 1 và k = n, Rogosinski và Szegố thu được
— Ta
lb, ¡| <1, — —— <b„ n+3 < I(n là số lẻ)
va 2
a <b„ Ă<1 |b|< " (ứ là số chẵn).
n+ 2 n+2
Cuối cùng, Rogosinski va 3zegố đã xác định được giá trị lớn nhất của (0) cho 0 cố định trong khoảng (0,7):
S (0) < max {A,, (0), B, (@)} (nm 1A sé 18)
và
S (0) < max {C,, (8), D, (0)} (nm 1a 86 chan).
Ỏ đây
An (9) = ——s- ((n+ 2) sin ỉ — sin (n + 2) 0), 4sin0
B, (8) = 1 o> ((v + 3) sin (v + 1) 0 — (ứ + 1) sin (ứ + 3) 6)
"` Asin’ ~ (v +1) (v+3) ,
C, (6) = cot Š ằ ((ứ +2) sin (0 + 1)ỉ — (v + 1) sin (v + 2) 0)
"` ˆ 2sin?8 a (vu + 1) (v + 2) ,
D, () = tan 4 ằ ((ứ + 2)sin (0 + 1)ỉ + (ứ + 1) sỉn (ứ + 2) 0)?
me sin? v=0 (vu + 1) (v+ 2) ,
Dac biệt, khi ỉ = 0,
1+ 2b; + 3b; 2 3 + --- + nb | ag (m + 1) (m + 2) (m + 3) (Khi n Ie) ue NO, S
2.5. Bat dang thiic lién quan dén momen va hé sé của các đa thức côsin không âm
Cho 1 Tì
C, (8) = = (9) p+ LP cos .ncoskO >0 (ne N (n EN) (2.5.1) 2.5.1 là một đa thức côsin không âm bậc n, với hằng số Fourier
2 Tv
Pin = =| Œ, (t) cos k‡ dt (1 < k < n) và pg„ = 1, 0¿„ =0 (k >n).
T Jo
Mômen đại số và mômen lượng giác của chỉ số a > 0 được định nghĩa tương ứng như sau:
T, (a) = =| (2sm5) c, (t) dt. T Jo 2
Theo sự chuẩn hóa trong (2.5.1), tất cả các mômen đều dương và va
A, (0) = T, (0) = 1.
Dưới đây trình bày một số bất đẳng thức về mômen đại số và lượng giác được biết như là hệ số Fourier của đa thức lượng giác dạng (2.5.1).
Dinh ly 2.5.1. (Stark) Với œ, 8 > 0 ta có:
T, (a+ 8) < 2°T, (a), An (a+ 8) < WA, (0),
Th (a) < An (a) < (F) Tr(a).
Hai bất đẳng thức đầu tiên suy ra từ định nghĩa. Bất đẳng thức còn lại cũng dễ dàng suy ra từ
0<- 0 T
<sin 6 <5 8 (<<).
2
> 1 ta luôn có:
Định lý 2.5.2. (Stark) Với œ
T„ (œ) ch (a+1) . T, (a) ln (2a + 2)
T,(œ—1) — T, (a) va T,(2a—2) —— T„(2a)
Các bất đẳng thức trên vẫn đúng khi ta thay 7 bằng A,. Cac bất đẳng thức trên được chứng minh dựa vào bất đẳng thức Cauchy-Schwarz- Buniakowsky. Đặc biệt, ta có
T, (1) < VT, (9)vàT, (3) < v7 (8)
Quan hệ ngược chứa hệ số Fourier cho mômen lượng giác với các chỉ số chẵn dưới đây là đúng:
T, (2m) = 25° (-1) OR" (1 = pen) — (m=1,2,...),
k=1
k
m k
1 Pin = 3Ð “bem
m=1
Một số trường hợp đặc biệt (kh¿ m = 1, 2,3):
C?"„T, (2m) (k=1,2,.).
Tụ (2) =2 (1 — Pin) , Tụ (4) =2 (3 — 4/01; + 2.) ,
Ti, (6) =2 (10 — 15/ỉ1„ + 6/2 „ — P3.n) * 1n—]
Néu 1 — pi, 4 0 véi moi n € N va B,, (k) = TI (k? — 02) thì
v=0
1 — Pkyn — k2 2À (-1)" px : k By m ( ) . (k) Ti, (2m n ( m)
l— pin m=2 (2m)! — T,, (2)
Đối với chỉ số phân số của mômen lượng giác, Stark đã chứng minh
Định lý 2.5.3. Nếu 0 < a < 2 thì
a 2
1) 2°"! (1 — pin) < Tr (a) < 27(1— pin)’,
3) BL = pin) Pa $ Tr (24.0) $21 = pin) Pas
3) 2°T, (2) < T, (a) < [T, (9)Ì?,
4) 27, (4) < T, (24.0) < (7, (2) IT, A),
ở đây P„ = 4— me. Đẳng thúc xẩy ra trong trường hợpa = 2.
Ta có bất đẳng thức tổng quát sau cho đa thức (2.5.1)
Dinh ly 2.5.4. Vdi C,, (t) > 0 ta có:
1— Pin < 72 (=2,3,...), kn (2.5.2)
1 ~~ Pin
sin ka
<k, ta co:
Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức
>
sin” ( eg +2 (k EN, teR).
)
®I<=|t2
sin? (
Mat khac, ki hiéu q (t) = k? (1 — cost) — (1 — coskt). Véi méi t € R ta
có 1 — cos kt t sin’ (#4) > Jeo
. (t) = (k — ———— J (1 - t) = 2sin?— | k? — —24
a (*) ( ee cos #) = 2sin :Í sin” ($) Nise Khi đú, ứ (t) va C,, (t) dộu duong, kộo theo:
2 Tv
0 <Š Ƒ 410G, (4= TL 0 #È (1= pin) = (= Pin)
Từ đây suy ra (2.5.2). Stark cũng phát hiện ra bất đẳng thức
2 7 k?
l—ứyu=1—— C, () cosktdt >e— (L<k<n). - (2.5.3)
T Jo n
khi Œ, (0) là đa thức cụsin bậc ứ chuẩn khụng õm cho bởi (2.5.1).
Stark da thiét lap (2.5.3) với hằng số e = ÿ.
Becker và Stark đã chứng minh bất đẳng thức
9 T7
— g8 >—— 0? —
1 —cosé > 52° (0 << 3) . (2.5.4) Dễ thấy bất đẳng thức này là trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức
- 22
) 6 1
l1—cosỉ> (=<) 5 (0<6< 2am; 0<a< 1)khia =
Khi đú, đặt ỉ = ABD) (L<k <n). Dộ thay, 1 < [#] < ÿ suy ra
© km bể a
gy Sg SOK F. Nhu vay, (2.5.4) suy ra
,.1 kK 1 — cos —~— > 0?>—.—.
[n/k] +2 ~ 2n? 2 n?
Khi đó, dựa vào bất đẳng thức cơ bản ctia Egervary-Szasz- Szegd
|/:..a | < cos (1 < k < n)
le] + 2°
ta có (2.5.3) là điều phải chứng minh.
Kết quả này còn được phát biểu dưới dang
Định lý 2.5.5. Đồng thời với mọi k,n ta có bất đẳng thức cho hệ số Fourier
1 k?
|0.ứ|l—= - = (l<k<n).
, 2 n?
Hằng số c = 5 không thể thay bởi một số lớn hơn.
Kết luận
Trên đây là toàn bộ nội dung luận văn của tôi với đề tài “ Mối quan hệ giữa hệ số uà nghiệm của đa thức qua các bất đẳng thúc”
Luận văn đã trình bày tổng quan về các bất đẳng thức trong các đa thức đại số và lượng giác, chủ yếu dựa trên các tài liệu [1], [12], có tham khảo thêm các tài liệu khác (các sách, tạp chí và tài liệu trên Internet).
Nội dung cơ bản của luận văn gồm hai chương:
Chương 1 trình bày tổng quan về các bất đẳng thức trong đa thức đại SỐ.
Chương 2 trình bày tổng quan về các bất đẳng thức trong đa thức lượng giác.
Luận văn đã đạt được những điều sau đây:
1. Đưa ra cái nhìn co bản và tổng quan về các bất đẳng thức trong đa thức.
2. Kết nối nghiệm của đa thức và hệ số của đa thức qua các bất đẳng thức hay.
3. Dưa ra các kết quả mở có tính chất phát triển, tạo điều kiện để nghiên cứu phát triển thêm.
4. Một phần nhỏ của luận văn có thể làm căn cứ lý thuyết và vận dụng để giải quyết một số bài trong các kỳ thi Olympie Toán quốc tế (IMO)
Hy vọng đề tài luận văn sẽ được các giáo viên, sinh viên và học sinh
quan tâm.