CHìèNG 1. Kián thực cỡ sð
2.4. Sỹ phử thuởc cừa nghiằm v o iãu kiằn ban Ưu
ψ(t) ≤ α(t) + Z
0 t
β(s)ψ(s)ds, t ∈ [0, T], (2.34)
vợi α(t) ∈ R v β(t) ≥ 0. Khi õ ψ(t) ≤ α(t) +
Z
0 t
α(s)β(s) exp(
Z
s t
β(r)dr)ds, t∈ [0, T]. (2.35) Hỡn nỳa, náu α(s) ≤ α(t) vợi s ≤ t, thẳ
ψ(t) ≤α(t) exp(
Z
0 t
β(s)ds), t∈ [0, T]. (2.36) Chựng minh. °t φ(t) = exp(−R0tβ(s)ds). Khi õ tứ cổng thực (2.34), ta câ:
d dtφ(t)
Z
0 t
β(s)ψ(s)ds = β(t)φ(t)(ψ(t)− Z
0 t
β(s)ψ(s)ds) ≤ α(t)β(t)φ(t) Tẵch phƠn hai vá bĐt ¯ng thực theo t v chia cho φ(t) ta thu ữủc:
Z
0 t
β(s)ψ(s)ds ≤ Z
0 t
α(s)β(s)φ(s) φ(t)ds.
Thảm α(t) ð cÊ hai vá v lÔi sỷ dửng (2.34) ta thu ữủc iãu phÊi chựng minh thù nh§t.
Náu
ψ(t) ≤ α+ Z
0 t
(βψ(s) +γ)ds, t ∈ [0, T], (2.37) vợi cĂc hơng số Â cho α ∈ R, β ≥ 0, v γ ∈ R, thẳ khi õ:
ψ(t) ≤αexp(βt) + γ
β(exp(βt)−1), t∈ [0, T]. (2.38) Trong trữớng hủp β = 0 thẳ vá bản phÊi ữủc thay bði giợi hÔn cừa nõ ψ(t) ≤ α+γt.
BƠy giớ chúng ta s³ ch¿ ra rơng IVP l well -posed.
ành lẵ 2.4.2. GiÊ sỷ f, g ∈ c(U,Rn) v cho f l h m Lipschits liản tửc àa phữỡng trong ối số thự hai, ãu vợi ối số thự nhĐt. Náu x(t) v y(t) l hai nghiằm tữỡng ựng cừa cĂc IVP:
x0 = f(t, x)
x(t0) =x0 , y0 = f(t, y)
y(t0) =y0 , (2.39) thẳ
|x(t)−y(t)| ≤ |x0 −y0|eL|t−t0| + M
L (eL|t−t0|−1), (2.40) trong â
L = sup
(t,x)6=(t,y)∈V
|f(t, x)−f(t, y)|
|x−y| , M = sup
(t,x)∈V
|f(t, x)−g(t, x)|, (2.41)
vợi V ⊂ U l cĂc têp chựa ỗ thà cừa x(t) v y(t).
Chùng minh. º ìn gi£n °t t0 = 0. Ta câ
|x(t)−y(t)| ≤ |x0 −y0|+ Z
0 t
|f(s, x(s))−g(s, y(s))|ds.
Sỹ xĂc ành h m lĐy tẵch phƠn ch¿ ra:
|f(s, x(s))−g(s, y(s))| ≤ |f(s, x(s))−f(s, y(s))|+|f(s, y(s))−g(s, y())|
≤L|x(s−y(s))|+ M Tứ (2.38) suy ra iãu phÊi chựng minh.
°c biằt, kẵ hiằu nghiằm cừa IVP (2.10) bði:
φ(t, t0, x0) (2.42)
º nhĐn mÔnh sỹ phử thuởc cừa nghiằm v o iãu kiằn ban Ưu. Khi õ ành lẵ cừa chúng ta, trong trữớng hủp °c biằt f = g,
|φ(t, t0, x0)−φ(t, t0, y0)| ≤ |x0 −y0|eL|t−t0|, (2.43) ch¿ ra rơng φ phử thuởc v o giĂ trà ban Ưu. TĐt nhiản iãu n y bà r ng buởc theo cĐp số nhƠn khi t tông, những phữỡng trẳnh tuyán tẵnh x0 = x trong mởt chiãu cho thĐy rơng chúng ta khổng thº l m tốt hỡn.
ành lẵ 2.4.3. GiÊ sỷ f ∈ C(U,Rn) l Lipschits liản tửc àa phữỡng trong ối số thự hai, ãu vợi ối số thự nhĐt. Xung quanh mội iºm (t0, x0) ∈ U ta cõ thº tẳm mởt têp compact I ìB ⊂ U sao cho φ(t, s, x) ∈ C(I ìI ì B,Rn). Hỡn nỳa, φ(t, t0, x0) l Lipschits liản tửc,
|φ(t, t0, x0)−φ(s, s0, y0)| ≤ |x0−y0|eL|t−t0|+ (|t−s|+|t0−s0|eL|t−s0|)M, (2.44) trong â
L = sup
(t,x)6=(t,y)∈V
|f(t, x)−f(t, y)|
|x−y| , M = max
(t,x)∈V |f(t, x)|, (2.45) vợi V ⊂ U l cĂc têp compact chựa I ìφ(I ìI ìB).
Chựng minh. Sỷ dửng kẵ hiằu tữỡng tỹ nhữ trong phƯn chựng minh cừa ành lẵ 2.2 ta cõ thº tẳm ra mởt têp compact V = [t0−ε, t0+ε]ìBδ(x0) sao cho φ(t, t0, x0) tỗn tÔi vợi |t−t0| ≤ ε.
°t
V1 = [t1 −ε/2, t1 +ε/2] ×Bδ(x1)
Khi õ tỗn tÔi φ(t, t1, x1) sao cho |t−t1| ≤ ε/2 vợi mồi |t1 −t0| ≤ε/2 v
|x1 −x0| ≤ δ/2.
Do õ, chúng ta cõ thº chồn I = [t0 −ε/2, t0 +ε/2 v B = Bδ/2(x0).
Ta câ:
|φ(t, t0, x0)−φ(t, s0, y0)| ≤ φ(t, t0, x0)−φ(t, t0, y0)|
+|φ(t, t0, y0)−φ(t, s0, y0)|
+|φ(t, s0, y0)−φ(s, s0, y0)|
≤ |x0 −y0|eL|t−t0| +|Rt
0
tf(r, φ(r, t0, y0))dr −Rs
0
tf(r, φ(r, s0, y0))dr|
+|Rstf(r, φ(r, s0, y0))dr|,
trong õ số hÔng thự nhĐt ta sỷ dửng (1.43). Hỡn nỳa, số hÔng thự ba ró r ng cõ thº ữợc tẵnh bơng M|t− s|. º tẵnh số hÔng thự hai, ta °t
∆(t) = φ(t, t0, y0)−f(t, s0, y0) v sỷ dửng (t0 ≤s0 ≤t):
∆(t) ≤ |Rt
0
s0
f(r, φ(r, t0, y0))dr|+Rs
0
t|f(r, φ(r, t0, y0))−f(r, φ(r, s0, y0))|dr
≤ |t0 −s0|M +LRs
0
t∆(r)dr.
Do õ ựng dửng cừa bĐt ¯ng thực Gronwall ho n th nh viằc chựng minh.
Chú ỵ rơng trong trữớng hủp hằ ặ-tổ-nổm ta cõ φ(t, t0, x0) = φ(t− t0,0, x0) v nõ ừ º xem x²t φ(t, x0) = φ(t,0, x0) trong tẳnh huống nhữ
vêy.
Tuy nhiản, trong nhiãu trữớng hủp, kát quÊ trữợc õ khổng ừ tốt v ta cƯn cõ khĂi niằm vi phƠn ối vợi iãu kiằn ban Ưu. Do õ ta s³ giÊ
thiát f ∈ Ck(U,Rn) vợi k ≥1.
Ưu tiản ta giÊ sỷ φ(t, t0, x) l khÊ vi ối vợi x. Khi õ iãu tữỡng tỹ cụng úng ối vợi φ0(t, t0, x) do (2.10) kát hủp vợi quy tưc Ưu v vi phƠn (2.10) thu ữủc
∂2φ
∂x∂t(t, t0, x) = ∂f
∂x(t, φ(t, t0, x))∂φ
∂x(t, t0, x). (2.46) Do õ, náu ta giÊ thiát rơng ta cõ thº hoĂn ời và trẵ cĂc Ôo h m riảng ð
vá trĂi,
∂2φ
∂x∂t(t, t0, x) = ∂2φ
∂t∂x(t, t0, x), (2.47) ta thĐy rơng
∂φ
∂x(t, t0, x) (2.48)
thọa mÂn phữỡng trẳnh bián số phƠn ly:
y0 = A(t, x)y, A(t, x) = ∂f
∂x(t, φ(t, t0, x)). (2.49) Chú ỵ rơng phữỡng trẳnh n y l tuyát tẵnh v phữỡng trẳnh tẵch phƠn t÷ìng ùng l :
y(t) = I+ Z
t0
t
A(s, x)y(s)ds, (2.50)
trong õ ta sỷ dửng φ(t0, t0, x) =x v do õ ∂φ∂x(t0, t0, x) = I. p dửng cĂc kắ thuêt iºm bĐt ởng tữỡng tỹ nhữ trữợc Ơy, ngữới ta cõ thº ch¿ ra rơng phữỡng trẳnh bián số phƠn ly cõ mởt nghiằm l Ôo h m cừa φ(t, t0, x) ối vợi x.
ành lẵ 2.4.4. GiÊ sỷ f ∈ C(U,Rn), k ≥1.Xung quanh mội iºm (t0, x0) ta cõ thº tẳm mởt têp mð IìB ⊆ U sao cho φ(t, s, x) ∈ Ck(IìIìB,Rn).
Hỡn nỳa, ∂t∂φ(t, s, x) ∈ Ck(IìIìB,Rn) v náu Dk l mởt Ôo h m riảng cĐp k, thẳ Dkφ thọa mÂn phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp cao hỡn thu ữủc tứ:
∂
∂tDkφ(t, s, x) =Dk ∂
∂tφ(t, s, x) = Dkf(t, φ(t, s, x)). (2.51)
°c biằt, phữỡng trẳnh n y tuyán tẵnh trong Dkφ v nõ cụng theo sau tẵnh to¡n ¤o h m c§p cao hìn t÷ìng ùng.
Chựng minh. Bơng cĂch thảm t v o cĂc bián phử thuởc, khổng cõ giợi hÔn º giÊ thiát rơng phữỡng trẳnh cừa chúng ta l ặ - tổ - nổm v x²t φ(t, x) =φ(t,0, x). Sỹ tỗn tÔi cừa mởt têp I ìB ⊆ U sao cho φ(t, x0) l liản tửc  ữủc thiát lêp ð ành lẵ trữợc v cỏn dĐu hiằu nghiản cựu.
Ta bưt Ưu vợi trữớng hủp k = 1 sau Ơy. Ta cõ thº ch¿ ra rơng φ(t, x) l khÊ vi tÔi mồi iºm  cho x1 ∈ B. Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, ta giÊ
ành x1 = 0 º thuên tiằn trong viằc chựng minh. LĐy I = (−T, T) v B l quÊ cƯu mð tƠm x0 sao cho bao õng cừa I ìB nơm trong U.
Viát tưt φ(t) = φ(t, x1), A(t) = A(t, x1) v kẵ hiằu ψ(t) l nghiằm cừa phữỡng trẳnh tuyán tẵnh thự nhĐt ψ0(t) =A(t)ψ(t) vợi iãu kiằn ban Ưu tữỡng ựng ψ(t0) = I. Têp
θ(t, x) = φ(t, x)−φ(t)−ψ(t)x
|x| ,
thẳ ∂φ∂x tÔi x1 = 0 s³ tỗn tÔi náu ta cõ thº ch¿ ra rơng lim
x→0θ(t, x) = 0.
GiÊ ành f ∈ C1 ngử ỵ rơng:
f(y) =f(x) + ∂f
∂x(x)(y−x) + ( Z
0 1
(∂f
∂x(x+t(y−x))−∂f
∂x(x))dt)(y−x), v do â:
f(y)−f(x) = ∂f
∂x(x)(y −x) +|y −x|R(y, x), (2.52) trong â
|R(y, x)| ≤ max
t∈[0,1]||∂f
∂x(x+t(y −x))− ∂f
∂x(x)||.
é Ơy ||.|| dũng º ch¿ chuân ma trên. Bði tẵnh liản tửc ãu cừa cĂc Ôo h m riảng ∂f∂x trong mởt lƠn cên cừa x1 = 0 ta suy ra lim
y→x|R(y, x)| = 0.
Sỷ dửng (2.52) ta cõ θ0(t, x) = 1
|x|(f(φ(t, x))−f(φ(t)) −A(t)ψ(t)x)
= A(t)θ(t, x) + |φ(t, x)−φ(t)|
|x| R(φ(t, x), φ(t)).
BƠy giớ tẵch phƠn v lĐy cĂc giĂ trà tuyằt ối (chú ỵ θ(0, x) = 0 v sỷ dửng (2.43)) ta thu ữủc
|θ(t, x)| ≤ R(x) +¯ Z t
0
||A(s)|||θ(s, x)|ds, trong â
R(x) =¯ eLT Z T
0
|R(φ(s, x), φ(s))|ds.
Khi õ bĐt ¯ng thực Gronwall ữủc thọa mÂn ngử ỵ rơng |θ(t, x)| ≥ R(x) exp(¯ R0T ||A(s)||ds). Do lim
y→x|R(y, x)| = 0, ta câ lim
x→0R(x) = 0 v do â lim
x→0θ(t, x) = 0. Hỡn nỳa, ∂φ∂x(t, x) l C0 nhữ nghiằm cừa phữỡng trẳnh bián thiản thự nhĐt. iãu n y giÊi quyát trữớng hủp k = 1 do tĐt cÊ Ôo
h m riảng l liản tửc.
ối vợi trữớng hủp chung k ≥ 1 ta sỷ dửng quy nÔp: GiÊ sỷ giỳ yảu cƯu cho k v cho f ∈ Ck+1. Khi õ φ(t, x) ∈ C1 v Ôo h m riảng ∂φ∂x(t, x) giÊi phữỡng trẳnh bián thiản thự nhĐt. Những A(t, x) ∈ Ck v do õ
∂φ
∂x(t, x) ∈ Ck, cũng vợi Bờ ã 2.3, ch¿ ra rơng φ(t, x) ∈ Ck+1.
Trong thỹc tá, ta cụng cõ thº xỷ lẵ sỹ phử thuởc cừa tham số. GiÊ sỷ f phử thuởc v o mởt số tham số λ ∈ Λ⊆ Rp v x²t phữỡng trẳnh vi phƠn
x0(t) = f(t, x, λ), x(t0) =x0, (2.53) vợi nghiằm tữỡng ựng
φ(t, x, λ). (2.54)
ành lẵ 2.4.5. GiÊ sỷ f ∈ Ck(U ìΛ,Rn), k ≥ 1. Xung quanh mội iºm (t0, x0, λ0) ∈ U ìΛ ta cõ thº tẳm mởt têp mð I ìB ìΛ0 ⊆ U ìΛ sao cho φ(t, s, x, λ) ∈ Ck(I ×I ×B ×Λ0,Rn).