CHìèNG 1. Kián thực cỡ sð
2.6. Tẵnh dÂn ữủc cừa cĂc nghiằm
Ta thĐy rơng cĂc nghiằm cõ thº khổng tỗn tÔi vợi mồi t ∈ R m°c dũ phữỡng trẳnh vi phƠn ữủc ành nghắa vợi mồi t∈ R. iãu n y °t ra cƠu họi vã khoÊng tối a m mởt nghiằm cừa IVP (2.10) ữủc xĂc ành.
GiÊi sỷ cĂc nghiằm cừa IVP (2.10) ữủc tỗn tÔi àa phữỡng v l duy nhĐt (vẵ dử: f l h m Lipschitz). Cho φ1, φ2 l hai nghiằm cừa IVP (2.10)
ữủc xĂc ành trản cĂc khoÊng mð I1, I2 tữỡng ựng. Cho I = I1 ∩ I2 = (T−, T+) v cho (t−, t+) l khoÊng mð tối a m cÊ hai nghiằm trũng nhau. Ta phÊi chựng minh rơng (t−, t+) = (T−, T+). Trong thỹc tá, cÊ hai nghiằm s³ luổn trũng nhau tÔi t+ bði tẵnh liản tửc. X²t IVP vợi iãu kiằn
Ưux(t+) =φ1(t+) = φ2(t+) ta thĐy rơng cÊ hai nghiằm trũng nhau trong mởt lƠn cên cừa t+ bði tẵnh duy nhĐt àa phữỡng. iãu n y mƠu thuăn vợi tối a cừa t+ v do õ t+ = T+. Tữỡng tỹ, t− = T−.
Hỡn nỳa, ta cõ mởt nghiằm φ(t) =
φ1(t), t ∈ I1,
φ2(t), t ∈ I2, (2.63)
ữủc xĂc ành trản I1 ∪I2. Trong thỹc tá, iãu n y thêm chẵ cỏn mð rởng
án mởt số lữủng tũy ỵ cĂc nghiằm v bơng cĂch n y, ta thu ữủc mởt nghiằm (duy nhĐt) ữủc xĂc ành trản mởt số khoÊng tối a.
ành lẵ 2.6.1. GiÊ sỷ IVP (2.10) cõ mởt nghiằm àa phữỡng duy nhĐt (vẵ dử: iãu kiằn cừa ành lẵ 2.5 ữủc thọa mÂn). Khi õ, tỗn tÔi duy nhĐt mởt nghiằm tối a ữủc xĂc ành trản mởt v i khoÊng tối a I(t0,x0) = (T−(t0, x0), T+(t0, x0)).
Chựng minh. Cho S l têp tĐt cÊ cĂc nghiằm φ cừa (2.10) ữủc xĂc ành trản khoÊng Iφ. Cho I = S
φ∈S
Iφ, l mởt têp mð. Hỡn nỳa, náu t1 > t0 ∈ I thẳt1 ∈ Iφvợi mởt v iφv do õ,[t0, t1) ⊆ Iφ ⊆ I.Tữỡng tỹ, vợit1 < t0 v do õ I l mởt khoÊng mð chựat0. Trong trữớng hủp riảng, I = (T−, T+).
Ta ành nghắa φmax(t) trản I bði φmax(t) = φ(t), φ ∈ S, t ∈ Iφ. Bơng cĂch x²t nhữ ð trản, bĐt kẳ hai giĂ trà n o cừa φ cụng cho giĂ trà giống nhau, do õ φmax(t) ữủc xĂc ành úng ưn. Hỡn nỳa, vợi mồi t>t1 cõ mởt v i giĂ trà φ ∈ S sao cho t1 ∈ Iφ v φmax(t) = φ(t) vợi t ∈ (t0 −ε, t0 + ε) m ch¿ ra rơng φmax l mởt nghiằm. Bơng cĂch xƠy dỹng khổng thº cõ mởt nghiằm n o ữủc xĂc ành trản mởt khoÊng lợn hỡn.
Nghiằm ữủc tẳm thĐy ð ành lẵ trữợc ữủc gồi l nghiằm tối a. Mởt nghiằm ữủc xĂc ành vợi mồi t ∈ R ữủc gồi l mởt nghiằm to n cửc. Ró r ng, mồi nghiằm to n cửc l tối a.
Bờ ã 2.6.2. Cho φ(t) l mởt nghiằm cừa (1.10) ữủc xĂc ành trản khoÊng (t−, t+). Khi õ tỗn tÔi mởt mð rởng án khoÊng (t−, t++ ε) vợi ε > 0 khi v ch¿ khi tỗn tÔi mởt dÂy tm ∈ (t−, t+) sao cho
m→∞lim (tm, φ(tm)) = (t+, y) ∈ U. (2.64) Tữỡng tỹ vợi t−.
Chựng minh. GiÊ sỷ cõ mởt h m thọa mÂn (2.64), Ưu tiản, ta thĐy rơng trong trữớng hủp n y:
t→tlim+
φ(t) = y. (2.65)
Do õ Ôo h m cừa nõ s³ cƯn phÊi tông, iãu n y l khổng thº vẳ f(t, x) hởi tử gƯn y. Chẵnh xĂc hỡn, vẳ U l têp mð nản cõ mởt v i giĂ trà δ > 0
sao cho V = [t+ − δ, t+] × Bδ(y) ⊂ U v M = max
(t,x)∈V |f(t, x)| < ∞.
Hỡn nỳa, sau khi cõ thº chuyºn qua mởt dÂy con, ta cõ thº giÊ sỷ rơng tm ∈ (t+−δ, t+), φ(tm) ∈ Bδ(y), v tm < tm+1. Náu (2.65) l sai thẳ ta cõ thº tẳm mởt dÂy τm → t+ sao cho |φ(τm) −y| ≥ γ > 0. Ta cõ thº chồn γ < δ v τm ≥tm. Hỡn nỳa, theo ành lẵ giĂ trà trung gian ta thêm chẵ cõ thº yảu cƯu |φ(tm)−y| = γ v |φ(t)−y| < γ vợi t ∈ [tm, τm]. Những sau â:
0< γ = |φ(τm)−y| ≤ |φ(τm)−φ(tm)|+|φ(tm)−y|
≤ Z τm
tm
|f(s, φ(s))|ds+|φ(tm)−y| ≤ M|τm −tm|+|φ(tm)−y|,
trong õ vá phÊi hởi tử án 0 khi m → ∞. iãu n y dăn án mƠu thuăn, do õ (2.65) ữủc chựng minh.
BƠy giớ lĐy mởt nghiằm φ(t)˜ cừa IVP x(t+) = y ữủc xĂc ành trản khoÊng (t+−ε, t++ε). Nhữ trữợc õ, ta cõ thº gĂn φ(t) v φ(t)˜ tÔi t+ º thu ữủc mởt h m trản (t−, t++ε), giợi hÔn cừa Ôo h m trĂi v phÊi cừa h m n y ãu bơng f(t+, y), do õ nõ l mởt h m liản tửc. é Ơy nõ ữủc lĐy vi phƠn tÔit = t+v do õ mởt nghiằm ữủc xĂc ành trản (t−, t++ε).
Hằ quÊ 2.6.3. Cho φ(t) l mởt nghiằm cừa (2.10) ữủc xĂc ành trản khoÊng (t−, t+). GiÊ sỷ cõ mởt têp compact [t0, t+] ì C ⊂ U sao cho φ(tm) ∈ C vợi chuội tm ∈ [t0, t+) bĐt kẳ hởi tử án t+. Khi õ tỗn tÔi mởt mð rởng cừa khoÊng (t−, t++ε) vợi ε > 0 bĐt kẳ.
Trong trữớng hủp riảng, náu cõ mởt têp compact C vợi mồi t+ > t0 (C cõ thº phử thuởc v o t+), khi õ nghiằm tỗn tÔi vợi mồi t > t0.
Tữỡng vợi t−.
Chựng minh. Cho tm → t+. Do tẵnh compact nản φ(tm) cõ m dÂy con hởi tử v suy ra iãu phÊi chựng minh tứ bờ ã trữợc.
Hằ quÊ 2.6.4. Cho I(t0,x0) = (T−(t0, x0), T+(t0, x0)) l khoÊng tối a mð rởng cừa mởt nghiằm bưt Ưu tÔi x(t0) =x0.NáuT+ = T+(t0, x0) < ∞, khi õ nghiằm phÊi cỏn lÔi cuối cũng mồi têp compact C vợi [t0, T+]ìC ⊂U
tÔi t tián án T+.
ành lẵ 2.6.5. GiÊ sỷ U = R ì Rn v vợi mội T > 0 cõ hơng số M(T), L(T) sao cho:
|f(t, x)| ≤M(T) +L(T)|x|, (t, x) ∈ [−T, T]×Rn. (2.66) Khi õ tĐt cÊ nghiằm cừa IVP (2.10) ữủc xĂc ành vợi mồi t ∈ R.
Chựng minh. Sỷ dửng Ănh giĂ ð trản cho f ta cõ:
|φ(t)| ≤ |x0|+ Z t
0
(M +L|φ(s)|)ds, t ∈ [0, T]∩I,
v vợi cĂch biºu diạn khĂc (2.38) cừa bĐt ¯ng thực Gronwall ta cõ ữủc:
|φ(t)| ≤ |x0|eLt+ M
L (eLt −1).
Do õ φ nơm trong mởt quÊ cƯu compact v kát quÊ ữủc ch¿ ra bði bờ
ã trữợc õ.