CHìèNG 2. Mối quan hằ giỳa mởt số tẵnh chĐt mÔng trong khổng gian topo
2.1. Mởt số khổng gian metric suy rởng
Mửc n y d nh cho viằc trẳnh b y khĂi niằm v tẵnh chĐt cừa mởt số khổng gian metric suy rởng. Chựng minh mối liản hằ giỳa chúng v chựng minh mởt số tẵnh chĐt di truyãn lản khổng gian con. CĂc kát quÊ trong mửc n y ữủc tham khÊo trong [3].
ành nghắa 2.1.1. GiÊ sỷ (X, τ) l mởt khổng gian topo, B ⊂ τ v Bx l hồ n o õ gỗm cĂc lƠn cên cừa x ∈ X. Khi õ,
1) B ữủc gồi l cỡ sð cừa X náu mội V ∈ τ l hủp n o õ cĂc phƯn tỷ cõa B.
2) Bx ữủc gồi l cỡ sð lƠn cên tÔi x náu vợi mồi lƠn cên V cừa x, tỗn t¤i B ∈ Bx sao cho x ∈ B ⊂ V.
3) X ữủc gồi l thọa mÂn tiản ã ám ữủc thự hai náuX cõ cỡ sð ám
ữủc.
4) X ữủc gồi l thọa mÂn tiản ã ám ữủc thự nhĐt náu vợi mội x ∈ X, tỗn tÔi cỡ sð lƠn cên Bx ám ữủc.
Nhên x²t 2.1.2. 1) B l cỡ sð cừa X khi v ch¿ khi vợi mồi V ∈ τ v vợi mồi x∈ V, tỗn tÔi B ∈ B sao cho x ∈ B ⊂ V.
2) Náu B l cỡ sð cừa X, thẳ Bx = {B ∈ B : x ∈ B} l cỡ sð lƠn cên tÔi x vợi mồi x ∈ X.
Chựng minh. (1) iãu kiằn cƯn. GiÊ sỷ B l cỡ sð cừa X v V ∈ τ. Khi õ, vợi mội x ∈ V, tỗn tÔi Bx ∈ B sao cho x ∈ Bx ⊂ V. Suy ra
V = S
x∈V
{x} ⊂ S
x∈V
Bx ⊂ V. Nhữ vêy, V = S
x∈V
Bx.
iãu kiằn ừ. GiÊ sỷ rơng mội phƯn tỷ cừa τ l hủp n o õ cĂc phƯn tỷ cừa B. Ta chựng minh rơng B l cỡ sð cừa X. Thêt vêy, giÊ sỷ V ∈ τ v x ∈ V. Theo giÊ thiát, tỗn tÔi F ⊂ B sao cho
V = S{B : B ∈ F }. Nhữ vêy, tỗn tÔi B ∈ F sao cho x ∈ B ⊂ V.
(2) Vợi mồi x ∈ X v vợi mồi lƠn cên V cừa x. Khi õ, vẳ V l lƠn cên cừa x nản tỗn tÔi W ∈ τ sao cho x ∈ W ⊂ V. M°t khĂc, vẳ B l cỡ sð cừa X nản theo Nhên x²t 2.1.2(1), tỗn tÔi B ∈ B sao cho
x ∈ B ⊂ W ⊂V.
Nhữ vêy, B ∈ Bx v x ∈ B ⊂ V. Do õ, Bx l cỡ sð lƠn cên tÔi x.
ành lẵ 2.1.3. GiÊ sỷ (X, τ) l mởt khổng gian topo v B l cỡ sð cừa τ. Khi â,
1) Vợi mồi x ∈ X, tỗn tÔi U ∈ B sao cho x ∈ U.
2) Vợi mồi U1, U2 ∈ B, x ∈ U1 ∩U2, tỗn tÔi U ∈ B sao cho x ∈ U ⊂ U1 ∩U2.
Chựng minh. (1) GiÊ sỷ x ∈ X, khi õ vẳ x ∈ X ∈ τ v B l cỡ sð cừa τ nản tỗn tÔi U ∈ B sao cho x ∈ U ⊂ X.
(2) GiÊ sỷ U, V ∈ B v x ∈ U ∩ V. Khi õ, vẳ B ⊂ τ nản U, V ∈ τ, k²o theo U ∩ V ∈ τ. M°t khĂc, vẳ B l cỡ sð cừa X nản tỗn tÔi W ∈ B sao cho x ∈ W ⊂ U ∩V.
ành lẵ 2.1.4. GiÊ sỷ B l mởt hồ gỗm cĂc têp con cừa X thọa mÂn hai iãu kiằn trong ành lẵ 2.1.3. Khi õ, tỗn tÔi mởt topo τ sao cho B l cỡ sð cõa τ.
Chựng minh. Gồi τ l hồ cừa mội phƯn tỷ cừa τ l hủp n o õ cĂc phƯn tỷ cừa B. Khi õ, τ l mởt topo trản X. Thêt vêy,
(1) Bði vẳ hủp cừa hồ rộng l rộng nản ∅ ∈ τ. M°t khĂc, tứ iãu kiằn (1) cõa ành lþ 2.1.3 ta suy ra X ∈ τ.
(2) GiÊ sỷ{Uα}α∈Λ ⊂ τ. Khi õ, vợi mồi α ∈ Λ, tỗn tÔi {Bα,β : β ∈ Iα} sao cho
Uα = [
β∈Iα
Bα,β. Nhữ vêy,
[
α∈Λ
Uα = [
α∈Λ
[
β∈Iα
Bα,β ∈ τ.
(3) GiÊ sỷ U, V ∈ τ. Khi õ, tỗn tÔi
{Uα : α ∈ Λ} ⊂ B, {Vβ : β ∈ Γ} ⊂ B
sao cho U = S
α∈Λ
Uα, V = S
β∈Γ
Vβ. Ta câ U ∩V = [
α∈Λ
[
β∈Γ
(Uα∩ Vβ).
Nhữ vêy, muốn chựng minh U ∩ V ∈ τ ta cƯn chựng minh rơng Uα∩Vβ ∈ τ vợi mồi α, β ∈ Λ.
Thêt vêy, giÊ sỷ α ∈ Λ, β ∈ Γ. Khi õ, tứ iãu kiằn (2) cừa ành lẵ 2.1.3 suy ra vợi mồi x ∈ Uα∩ Vβ, tỗn tÔi Ux ∈ B sao cho
x ∈ Ux ⊂Uα∩Vβ. Do â,
Uα∩Vβ = [
x∈Uα∩Vβ
{x} ⊂ [
x∈Uα∩Vβ
Ux ⊂ Uα∩Vβ. iãu n y chựng tọ rơng Uα∩Vβ ∈ τ.
ành nghắa 2.1.5. GiÊ sỷ (X, τ) l mởt khổng gian topo. Mởt hồ B(x) gỗm cĂc lƠn cên mð cừa x ữủc gồi l cỡ sð tÔi x náu vợi mồi lƠn cên V cừa x, tỗn tÔi U ∈ B(x) sao cho x ∈ U ⊂ V.
Hồ {B(x)}x∈X ữủc gồi l hằ lƠn cên cừa khổng gian topo (X, τ). ành lẵ 2.1.6. GiÊ sỷ (X, τ) l mởt khổng gian topo, {B(x)}x∈X l hằ
lƠn cên cừa X. Khi õ,
1) Vợi mồi x ∈ X, B(x) 6= ∅ v vợi mồi U ∈ B(x), x ∈ U; 2) Náu x ∈ U ∈ B(y), thẳ tỗn tÔi V ∈ B(x) sao cho V ⊂ U.
3) Vợi mồi U1, U2 ∈ B(x), tỗn tÔi U ∈ B(x) sao cho U ⊂ U1 ∩U2. Chựng minh. (1) Bði vẳ x ∈ X ∈ τ nản tỗn tÔi U ∈ B(x) sao cho
x ∈ U ⊂ X,
do õ B(x) 6= ∅. BƠy giớ, giÊ sỷ U ∈ B(x), khi õ U l lƠn cên mð cừa x. Suy ra x ∈ U.
(2) GiÊ sỷ x ∈ U ∈ B(y), khi õ vẳ U mð nản U l lƠn cên cừa x trong X. M°t khĂc, vẳ B(x) l cỡ sð tÔi y nản tỗn tÔi V ∈ B(x) sao cho
x ∈ V ⊂U.
(3) GiÊ sỷ U1, U2 ∈ B(x), khi õ U1 ∩U2 l lƠn cên cừa x. Bði vẳ B(x) l cỡ sð cừa x nản tỗn tÔi U ∈ B(x) sao cho
x ∈ U ⊂ U1 ∩U2. Nhữ vêy, ành lẵ ữủc chựng minh.
ành lẵ 2.1.7. GiÊ sỷ {Bx}x∈X l hồ cĂc têp con cừa X thọa mÂn cĂc tẵnh chĐt trong ành lẵ 2.1.6. Khi õ, tỗn tÔi mởt topo τ trản X sao cho hồ {Bx}x∈X l hằ cỡ sð lƠn cên cừa τ.
Chựng minh. Tữỡng tỹ chựng minh ành lẵ 2.1.4.
ành lẵ 2.1.8. ối vợi khổng gian topo(X, τ),cĂc kh¯ng ành sau l úng.
1) Khổng gian thọa mÂn tiản ã ám ữủc thự hai l khổng gian thọa mÂn tiản ã ám ữủc thự nhĐt;
2) Khổng gian metric l khổng gian thọa mÂn tiản ã ám ữủc thự nhĐt;
3) Náu X l khổng gian thọa mÂn tiản ã ám ữủc thự nhĐt, thẳ ta cõ thº giÊ thiát rơng mội Bx l giÊm.
Chựng minh. (1) Suy trỹc tiáp tứ Nhên x²t 2.1.2.
(2) GiÊ sỷ (X, d) l mởt khổng gian metric. Vợi mội x ∈ X ta °t Bx = {B(x,1/n) : n ∈ N}.
Khi õ, Bx l cỡ sð lƠn cên ám ữủc tÔi x vợi mồi x ∈ X. Thêt vêy, giÊ
sỷ x ∈ X v U l lƠn cên bĐt ký cừa x. Khi õ, tỗn tÔi r > 0 sao cho B(x, r) ⊂U. Ta l§y n∈ N sao cho 1
n < r, khi â B(x,1/n) ∈ Bx v x ∈ B(x,1/n) ⊂ U.
Nhữ vêy, Bx l cỡ sð lƠn cên ám ữủc tÔi x, do õ X l khổng gian thọa mÂn tiản ã ám ữủc thự nhĐt.
(3) GiÊ sỷ X l khổng gian thọa mÂn tiản ã ám ữủc thự nhĐt. Khi õ, vợi mội x ∈ X, tỗn tÔi cỡ sð lƠn cên ám ữủc
Bx = {Bn(x) : n ∈ N}.
BƠy giớ, vợi mội x ∈ X, ta °t Fx = {T
i≤n
Bi(x) : n∈ N}.
Khi â,
• Fx l giÊm v ám ữủc tÔi x.
• Fx l cỡ sð lƠn cên tÔi x. Thêt vêy, giÊ sỷ x ∈ X v U l mởt lƠn cên bĐt ký cừa x. Khi õ, vẳ Bx l cỡ sð lƠn cên tÔi x nản tỗn tÔi n ∈ N sao cho x ∈ Bn(x) ⊂ U. Suy ra
x ∈ \
i≤n
Bi(x) ⊂ Bn(x) ⊂ U.
Nhữ vêy, Fx l cỡ sð lƠn cên giÊm v ám ữủc cừa x trong X. ành nghắa 2.1.9. GiÊ sỷ (X, τ) l mởt khổng gian topo. Khi õ,
1) X ữủc gồi l k-khổng gian náu vợi A ⊂ X m A∩ P mð trong P vợi mồi P l têp compact trong X, thẳ A l têp mð trong X.
2) X ữủc gồi l khổng gian dÂy náu vợi A ⊂ X thọa mÂn khổng cõ dÂy n o trong A hởi tử án iºm nơm ngo i A, thẳ A õng trong X.
3) X ữủc gồi l khổng gian Fr²chet-Urysohn náu vợi mồiA ⊂X,x ∈ A, tỗn tÔi dÂy {xn} ⊂ A hởi tử án x.
4) X ữủc gồi l khổng gian Fr²chet-Urysohn mÔnh náu vợi mồi dÂy giÊm {An : n ∈ N} v vợi mồi x ∈ T
n∈N
An, tỗn tÔi dÂy {xn} sao cho xn ∈ An vợi mồi n∈ N v xn → x.
Nhên x²t 2.1.10. X l k-khổng gian náu vợi A ⊂ X m A ∩ P õng trong P vợi mồi P l têp compact trong X, thẳ A l têp õng trong X. ành lẵ 2.1.11. ối vợi khổng gian X, cĂc kh¯ng ành sau l úng.
1) Khổng gian thọa mÂn tiản ã ám ữủc thự nhĐt l khổng gian Fr²chet- Urysohn m¤nh;
2) Khổng gian Fr²chet-Urysohn mÔnh l khổng gian Fr²chet;
3) Khổng gian Fr²chet-Urysohn l khổng gian dÂy;
4) Khổng gian dÂy l k-khổng gian.
Chựng minh. (1) GiÊ sỷ X l khổng gian thọa mÂn tiản ã ám ữủc thự nh§t, {An} l d¢y gi£m trong X v x ∈ T
n∈N
An. Nhớ ành lẵ 2.1.8(3), X cõ cỡ sð lƠn cên giÊm v ám ữủc
Bx = {Bn(x) : n ∈ N}.
Bði vẳ x ∈ A1 v B1(x) l lƠn cên cừa x nản tỗn tÔi x1 ∈ B1(x)∩A1. LÔi vẳ x ∈ A2 v B2(x) l lƠn cên cừa x nản tỗn tÔi x2 ∈ B2(x)∩A2. Tiáp tửc quĂ trẳnh trản ta tẳm ữủc dÂy {xn} sao cho
xn ∈ Bn(x)∩An vợi mồi n ∈ N.
BƠy giớ, giÊ sỷ U l lƠn cên cừa x trong X. Khi õ, vẳ Bx l cỡ sð lƠn cên cừa x nản tỗn tÔi m ∈ N sao cho Bm(x) ⊂U. Do õ, vợi mồi n ≥m ta cõ
{x} ∪ {xn : n ≥m} ⊂ Bm(x) ⊂ U.
Nhữ vêy, xn → x, v X l khổng gian Fr²chet-Urysohn mÔnh.
(2) GiÊ sỷ X l khổng gianFr²chet-Urysohn mÔnh v x ∈ A. Khi õ, náu ta °t
An = A vợi mồi n ∈ N, thẳ x ∈ T
n∈N
An. Bði vẳ X l khổng gian Fr²chet-Urysohn mÔnh nản tỗn tÔi dÂy {xn} ⊂ A hởi tử án x. Nhữ vêy, X l khổng gian Fr²chet-Urysohn.
(3) GiÊ sỷ X l khổng gian Fr²chet-Urysohn. Ta chựng minh rơng X l khổng gian dÂy.
Thêt vêy, giÊ sỷ ngữủc lÔi rơng X khổng l khổng gian dÂy. Khi õ, tỗn tai têp con A cừa X thọa mÂn rơng khổng cõ dÂy n o nơm trong A hởi tử án iºm nơm ngo i A những A khổng õng trong X. Khi õ, vẳ A khổng õng trong X nản tỗn tÔi x ∈ A\A. M°t khĂc, vẳ X l khổng gian Fr²chet-Urysohn nản tỗn tÔi dÂy {xn} ⊂ A sao cho xn → x, Ơy l mởt m¥u thu¨n.
(4) GiÊ sỷ X l khổng gian dÂy, A l têp con trongX thọa mÂnA∩K õng trong K vợi mồi K compact trong X. Ta chựng minh A õng. Thêt vêy, giÊ sỷ ngữủc lÔi rơng A khổng õng trong X. Khi õ, vẳ X l khổng gian dÂy nản tỗn tÔi dÂy {xn} ⊂ A hởi tử án x /∈ A. Ta °t
K = {x} ∪ {xn : n∈ N}.
Khi õ, K l têp con compact cừa X v
A∩K = {xn : n∈ N}.
Bði vẳ A∩K khổng õng trong K nản ta suy ra mƠu thuăn vợi giÊ thiát.
Nhữ vêy, X l mởt k-khổng gian.
ành lẵ 2.1.12. Khổng gian Fr²chet-Urysohn v khổng gian Fr²chet-Urysohn mÔnh l di truyãn lản khổng gian con.
Chựng minh. GiÊ sỷ F l khổng gian con cừa khổng gian topo X. Khi õ,
• GiÊ sỷ X l khổng gian Fr²chet-Urysohn, A ⊂ F v x ∈ AF = A∩ F.
Bði vẳX l khổng gian Fr²chet-Urysohn nản tỗn tÔi dÂy {xn} ⊂ Asao cho xn → x trong X. Nhữ vêy, º ho n th nh chựng minh ta ch¿ cƯn chựng tọ rơng xn → x trong khổng gian con F.
Thêt vêy, giÊ sỷ W l lƠn cên mð cừa x trong F. Khi õ, tỗn lÔi lƠn cên mð V cừa x trong X sao cho W = V ∩F. M°t khĂc, vẳ xn → x trong X nản tỗn tÔi n0 ∈ N sao cho
{x} ∪ {xn : n≥ n0} ⊂ V.
Suy ra
{x} ∪ {xn : n≥ n0} ⊂ V ∩F = W.
Nhữ vêy, xn → x trong F.
• GiÊ sỷ X l khổng gian Fr²chet-Urysohn mÔnh, {An : n∈ N} l dÂy gi£m trong F v x ∈ T
n∈N
An
F. Khi õ, vẳ
AnF = An ∩F vợi mồi n ∈ N nản x ∈ T
n∈N
An. M°t khĂc, vẳ X l khổng gian Fr²chet-Urysohn mÔnh nản vợi mội n∈ N, tỗn tÔi xn ∈ An sao cho xn →x trong X. Ho n to n tữỡng tỹ chựng minh trản ta suy ra xn → x trong F. Nhữ vêy, F l khổng gian Fr²chet-Urysohn m¤nh.