CHìèNG 2. Mối quan hằ giỳa mởt số tẵnh chĐt mÔng trong khổng gian topo
2.2. Mối quan hằ giỳa mởt số tẵnh chĐt mÔng trong khổng gian topo 37 KT LUN V KIN NGHÀ
Mửc n y d nh cho viằc trẳnh b y mởt số tẵnh chĐt mÔng trong khổng gian topo v chựng minh chi tiát mởt số mối quan hằ giỳa chúng.
ành nghắa 2.2.1 ([5]). GiÊ sỷ (X, τ) l mởt khổng gian topo v P l mởt phừ gỗm cĂc têp con n o õ cừa X. Khi õ,
1) P ữủc gồi l iºm-ám ữủc cừa X náu vợi mồi x ∈ X, têp hủp (P)x = {P ∈ P : x ∈ P} nhiãu nhĐt l ám ữủc.
2) P ữủc gồi l mÔng cừa X náu vợi mồi x ∈ U vợi U ∈ τ, tỗn tÔi P ∈ P sao cho x ∈ P ⊂ U.
3) P ữủc gồi l cs∗-mÔng cừaX náu vợi mồi dÂy{xn} hởi tử ánx ∈ U vợi U ∈ τ, tỗn tÔi P ∈ P v dÂy con {xnk} ⊂ {xn} sao cho
{x} ∪ {xnk : k ∈ N} ⊂ P ⊂ U.
4) P ữủc gồi l wcs∗-mÔng cừa X náu vợi mồi dÂy {xn} hởi tử án x ∈ U vợi U ∈ τ, tỗn tÔi P ∈ P v dÂy con {xnk} ⊂ {xn} sao cho
{xnk : k ∈ N} ⊂ P ⊂ U.
5) P ữủc gồi l k-mÔng cừa X náu vợi mội K compact v K ⊂ U ∈ τ, tỗn tÔi hồ con hỳu hÔn F ⊂ P sao cho K ⊂ SF ⊂ U.
6) P ữủc gồi l sp-mÔng cừaX náu vợi mộiA ⊂ X,U ∈ τ v x ∈ U∩A, tỗn tÔi P ∈ P sao cho x ∈ P ⊂ U v x ∈ P ∩A.
7) P ữủc gồi l mÔng Pytkeev cừa X náu nõ l mÔng cừa X v vợi mội lƠn cên U cừa x trong X, v vợi mội têp con A trong X cõ iºm tử l x, tỗn tÔi P ∈ P sao cho P ∩A l vổ hÔn v P ⊂ U.
8) P ữủc gồi l mÔng Pytkeev ch°t cừa X náu vợi mồi lƠn cên U cừa x trong X v vợi mội têp con A cừa X tử tÔi x, tỗn tÔi P ∈ P sao cho P ∩A l vổ hÔn v x ∈ P ⊂ U.
9) P ữủc gồi l cn-mÔng cừa X náu vợi mội lƠn cên U cừa x trong X, têp hủp S
{P ∈ P :x ∈ P ⊂ U} l lƠn cên cừa x.
Bờ ã 2.2.2 ([4]). GiÊ sỷ (X, τ) l mởt khổng gian topo. Khi õ, mội wcs∗-m¤ng (ho°c sp-m¤ng, m¤ng Pytkeev, cn-m¤ng) l m¤ng.
Chựng minh. GiÊ sỷ P l wcs∗-mÔng cừa X. Khi õ, vợi mồi x ∈ X v x ∈ U ∈ τ, ta lĐy xn = x vợi mồi n∈ N. Ró r ng rơng xn → x. Bði vẳ P l wcs∗-mÔng nản tỗn tÔi P ∈ P v dÂy con {xnk} ⊂ {xn} sao cho
{xnk : k ∈ N} ⊂ P ⊂ U.
Bði vẳ xnk = x vợi mồi k ∈ N nản ta suy ra x ∈ P ⊂ U. Nhữ vêy, P l m¤ng cõa X.
Tiáp theo, giÊ sỷ P l sp-mÔng cừa X v x ∈ U ∈ τ. Ta lĐy A = X, khi õ x ∈ U ∩A. Bði vẳ P l sp-mÔng cừa X nản tỗn tÔi P ∈ P sao cho
x ∈ P ⊂ U v x ∈ A∩P. Nhữ vêy, P l mÔng cừa X.
Cuối cũng, náu P l mÔng Pytkeev ho°c cn-mÔng cừa X, thẳ theo ành nghắa 2.2.1, P l mÔng cừa X.
ành nghắa 2.2.3 ([5]). Cho (X, τ) l mởt khổng gian topo v A ⊂ X. Ta nõi A tử tÔi iºm x hay x l iºm tử cừa A náu vợi mồi lƠn cên cừa x chựa vổ hÔn phƯn tỷ cừa A.
Nhên x²t 2.2.4. GiÊ sỷ (X, τ) l T1-khổng gian. Khi õ, x ∈ X l iºm tử cừa A khi v ch¿ khi x ∈ A\ {x}.
Chựng minh. iãu kiằn cƯn. GiÊ sỷ x l iºm tử cừa A v U l lƠn cên bĐt ký cừa x. Suy ra U chựa vổ hÔn phƯn tỷ cừa A, do õ U chựa vổ hÔn phƯn tỷ cừa têp A\ {x}. Nhữ vêy,
U ∩(A\ {x}) 6= ∅.
iãu n y k²o theo rơng x ∈ A\ {x}.
iãu kiằn ừ. GiÊ sỷ x ∈ A\ {x} v U l lƠn cên mð cừa x. Ta chựng minh rơng U chựa vổ hÔn phƯn tỷ cừa A. Thêt vêy, giÊ sỷ ngữủc lÔi rơng U chựa hỳu hÔn phƯn tỷ cừa A, giÊ sỷ rơng
U ∩(A\ {x}) = {x1, . . . , xn}.
Bði vẳ X l T1-khổng gian nản {x1, . . . , xn} õng trong X. Do õ, V = U \ {x1, . . . , xn}
l lƠn cên mð cừa x v
V ∩(A\ {x}) = ∅.
iãu n y mƠu thuăn vợi x ∈ A\ {x}.
ành lẵ 2.2.5 ([4]). GiÊ sỷ (X, τ) l mởt khổng gian dÂy. Khi õ, mội wcs∗-m¤ng trong X l m¤ng Pytkeev.
Chựng minh. GiÊ sỷ P l wcs∗-mÔng cừa X, A ⊂ X, x ∈ X l iºm tử cừa A v U l lƠn cên mð cừa x trong X. Khi õ,
• Theo Bờ ã 2.2.2(1), P l mÔng cừa x.
• Ta ch¿ cƯn chựng minh rơng tỗn tÔi P ∈ P sao cho P ⊂ U v P ∩A l têp vổ hÔn.
Thêt vêy, vẳ x l iºm tử cừa A nản theo Nhên x²t 2.2.4 ta suy ra rơng x ∈ A\ {x}. BƠy giớ, náu ta °t
D = (A\ {x})∪(X \U). (2.1) thẳ ró r ng rơng x /∈ D. Bði vẳ U ∈ τ nản X \U õng trong X. Do õ,
D = A\ {x} ∪X \U = A\ {x} ∪(X \U). (2.2) Nhữ vêy, x ∈ D \D k²o theo D khổng õng trong X. Bði vẳ X l khổng
gian dÂy nản tỗn tÔi dÂy {xn} ⊂ D sao cho xn → z /∈ D. M°t khĂc, ta cõ
◦ Bði vẳ z ∈ D \D nản theo (2.1) v (2.2) ta suy ra z /∈ X \U. Do õ, X \U chựa nhiãu nhĐt l hỳu hÔn phƯn tỷ cừa {xn}. Nhữ vêy, nhớ (2.1) ta cõ thº giÊ thiát rơng {xn} ⊂ A v xn 6= xm vợi mồi m 6= n.
◦ Bði vẳ X\U ⊂ D v z /∈ D nản z /∈ X\U, k²o theo z ∈ U. Hỡn nỳa, vẳ P l wcs∗-mÔng cừa X nản tỗn tÔi P ∈ P v {xnk} cừa {xn} sao cho
{xnk : k ∈ N} ⊂ P ⊂ U.
iãu n y chựng tọ rơngP∩Avổ hÔn v P ⊂ U. Do õ, P l mÔng Pytkeev cõa X.
Bờ ã 2.2.6 ([5]). GiÊ sỷ X l khổng gian Fr²chet-Urysohn. Khi õ, mội cs∗-mÔng trong X l mởt sp-mÔng.
Chựng minh. GiÊ sỷ P l cs∗-mÔng cừa X, x ∈ U ∩ A vợi U mð trong X v A ⊂ X. Bði vẳ X l khổng gian Fr²chet-Urysohn nản tỗn tÔi dÂy {xn} ⊂ A sao cho xn →x trong X. M°t khĂc, vẳ P l cs∗-mÔng v x ∈ U nản tỗn tÔi P ∈ P v dÂy con {xnk} ⊂ {xn} sao cho
{x} ∪ {xnk : k ∈ N} ⊂ P ⊂ U.
Do õ, ta suy ra rơng {xnk} ⊂ P ∩A, k²o theo x ∈ P ∩A. Nhữ vêy, P l mởt sp-mÔng cừa X.
ành lẵ 2.2.7 ([4]). ối vợi khổng gian topo (X, τ), cĂc kh¯ng ành sau l óng.
1) Cì sð ⇒ m¤ng Pytkeev ch°t ⇒ cs∗-m¤ng ⇒ wcs∗-m¤ng.
2) Cì sð ⇒ k-m¤ng ⇒ wcs∗-m¤ng.
3) M¤ng Pytkeev ch°t ⇒ m¤ng Pytkeev ⇒ wcs∗-m¤ng.
Chựng minh. GiÊ sỷ P l hồ n o õ gỗm cĂc têp con cừa X. Ta cõ
(1) GiÊ sỷ P l cỡ sð cừa X, x ∈ X v A l têp con cừa X tử tÔi x. Khi õ, bði vẳ U l lƠn cên cừa x v P l cỡ sð cừa X nản tỗn tÔi P ∈ P sao cho x ∈ P ⊂ U. M°t khĂc, vẳ x ∈ A\ {x} v P mð nản
P ∩(A\ {x}) 6= ∅.
BƠy giớ, ta ch¿ cƯn chựng minh rơng P ∩ A l têp vổ hÔn. Thêt vêy, giÊ
sỷ ngữủc lÔi rơng P ∩ A = F l têp hỳu hÔn. Bði vẳ F l têp hỳu hÔn, k²o theo F \ {x} l têp hỳu hÔn, do õ P \(F \ {x}) l lƠn cên mð cừa x. Hỡn nỳa, vẳ x ∈ A\ {x} nản
[P \(F \ {x})]∩(A\ {x}) 6= ∅.
Nhữ vêy, tỗn tÔi y ∈ (P ∩A)\(F ∪ {x}), k²o theo y ∈ P ∩A = F. iãu n y mƠu thuăn vợi y /∈ F.
GiÊ sỷ P l mÔng Pytkeev ch°t, x ∈ U ∈ τ v {xn} l dÂy hởi tử án x trong X. Ta °t
A = {xn : n ∈ N}.
Khi õ, x l iºm tử cừa A. Bði vẳ U l lƠn cên cừa x v P l mÔng Pytkeev ch°t nản tỗn tÔi P ∈ P sao cho P ∩ A vổ hÔn v
x ∈ P ⊂ U.
M°t khĂc, vẳ P ∩ {xn} l vổ hÔn nản tỗn tÔi dÂy con {xnk : k ∈ N} cừa {xn} sao cho {xnk : k ∈ N} ⊂ P. Nhữ vêy,
{x} ∪ {xnk : k ∈ N} ⊂ P.
Do â, P l cs∗-m¤ng cõa X.
Cuối cũng, nhớ ành nghắa 2.2.1 ta suy ra cs∗-mÔng l wcs∗-mÔng.
(2) Gi£ sû P l cì sð cõa X. Ta chùng minh P l k-m¤ng cõa X. Thêt vêy, giÊ sỷ K ⊂ U ∈ τ vợi K compact trong X. Khi õ, vẳ P l
cỡ sð cừa X nản vợi mội x ∈ U, tỗn tÔi Vx ∈ P sao cho x ∈ Vx ⊂ U.
Ró r ng hồ {Vx : x ∈ K} l phừ mð cừa K compact, do õ tỗn tÔi têp con F húu h¤n trong K sao cho K ⊂ Sx∈F Vx. Ta °t
F = {Vx : x ∈ F}, khi õ F l hồ con hỳu hÔn cừa P thọa mÂn
K ⊂ SF ⊂ U.
Nhữ vêy, P l k-mÔng cừa X.
BƠy giớ, giÊ sỷ P l k-mÔng cừa X, {xn} l dÂy hởi tử án x ∈ X v U l lƠn cên mð cừa x trong X. Khi õ, tỗn tÔi m ∈ N sao cho
{x} ∪ {xn : n≥ m} ⊂ U.
B¥y gií, ta °t
K = {x} ∪ {xn : n≥ m}.
Khi õ,K compact trongX v U l lƠn cên mð cừa K. Bði vẳ P l k-mÔng nản tỗn tÔi hồ con hỳu hÔn F ⊂ P sao cho
K ⊂ SF ⊂ U.
Hỡn nỳa, vẳ K l têp vổ hÔn v F l têp hỳu hÔn nản tỗn tÔi dÂy con {xnk : k ∈ N} ⊂ {xn : n ≥ m}
v P ∈ F sao cho {xnk : k ∈ N} ⊂ P. Nhữ vêy, tỗn tÔi dÂy con {xnk : k ∈ N} ⊂ {xn}
v tỗn tÔi P ∈ P sao cho
{xnk : k ∈ N} ⊂ P ⊂ U.
Nhữ vêy, P l wcs∗-mÔng cừa X.
(3) Ró r ng rơng mÔng Pytkeev ch°t l mÔng pytkeev. Do õ, ta ch¿
cƯn chựng minh rơng mÔng Pytkeev l wcs∗-mÔng.
Thêt vêy, giÊ sỷ P l mÔng Pytkeev, {xn} l dÂy hởi tử án x trong X v U l lƠn cên cừa x. Ta °t
A = {xn : n ∈ N}.
Khi õ, x l iºm tử cừa A. Bði vẳ U l lƠn cên cừa x v P l mÔng Pytkeev nản tỗn tÔi P ∈ P sao cho P ∩A vổ hÔn v P ⊂ U. M°t khĂc, vẳ P ∩ A l vổ hÔn nản tỗn tai dÂy con {xnk : k ∈ N} cừa {xn} sao cho {xnk :k ∈ N} ⊂ P. Nhữ vêy,
{xnk : k ∈ N} ⊂ P.
Do â, P l wcs∗-m¤ng cõa X.
ành lẵ 2.2.8 ([4]). GiÊ sỷ rơng (X, τ) l T1-khổng gian. Khi õ, cp-mÔng v m¤ng Pytkeev ch°t l t÷ìng ÷ìng.
Chùng minh. (1) Gi£ sû P l m¤ng Pytkeev ch°t. Ta chùng minh P l cp-mÔng. Thêt vêy, giÊ sỷ x ∈ X, khi õ
Trữớng hủp 1: x l iºm cổ lêp cừa X.
Bði vẳ x l iºm cổ lêp cừa X nản tỗn tÔi lƠn cên mð U cừa x sao cho U ∩X = {x}. M°t khĂc vẳ P l mÔng Pytkeev nản theo Bờ ã 2.2.2, P l mÔng cừa X. Do õ, tỗn tÔi P ∈ P sao cho x ∈ P ⊂U. Suy ra P = {x}, do â {x} ∈ P.
Trữớng hủp 2: x khổng l iºm cổ lêp cừa X.
GiÊ sỷ A ⊂X sao cho x ∈ A\A, W l lƠn cên mð bĐt ký cừa x trong X v W ∩ A = F. Khi õ, vẳ X l T1-khổng gian nản náu F l têp hỳu hÔn cừa X, thẳ F \ {x} l têp con õng trong X. Suy ra W \(F \ {x}) l
lƠn cên mð cừa x trong X. Bði vẳ x ∈ A\A nản h
W \(F \ {x})i∩A 6= ∅.
Suy ra tỗn tÔi z ∈ hW \(F \ {x})i∩A, k²o theo z ∈ W ∩ A= F v z /∈ F \ {x}.
Do õ, x = z ∈ A, mƠu thuăn vợi x ∈ A\A. Nhữ vêy, vợi mồi lƠn cên cừa x ãu giao vợi vổ hÔn phƯn tỷ cừa A, do õ x l iºm tử cừa A.
Bði vẳ P l mÔng Pytkeev ch°t nản tỗn tÔi P ∈ P sao cho x ∈ P ⊂ U v P ∩A l vổ hÔn.
(2) GiÊ sỷP l cp-mÔng cừaX. Ta chựng minh rơngP l mÔng Pytkeev cõa X.
Thêt vêy, giÊ sỷ x ∈ X, U l lƠn cên mð cừa x v A l tử tÔi x. Khi õ, theo Nhên x²t 2.2.4, x ∈ A\A. Suy ra vợi mồi lƠn cên W cừa x ta cõ
W ∩(A\ {x}) 6= ∅, k²o theo rơng
W ∩ (X \ {x}) 6= ∅,
Nhữ vêy, x khổng l iºm cổ lêp cừa X. Bới vẳ P l cp-mÔng cừa x, x ∈ A\A v U l lƠn cên cừa x trong X nản tỗn tÔi P ∈ P sao cho
x ∈ P ⊂ U
v P ∩A l vổ hÔn. Do õ, P l mÔng Pytkeev ch°t cừa X.
ành lẵ 2.2.9 ([5]). GiÊ sỷ rơng (X, τ) l khổng gian topo. Khi õ, mội cp-m¤ng l cn-m¤ng.
Chựng minh. GiÊ sỷ P l cp-mÔng, x ∈ X v U l lƠn cên cừa x. Ta ch¿
cƯn chựng minh rơng
S{P ∈ P : x ∈ P ⊂ U} l lƠn cên cừa x, nghắa l cƯn chựng minh rơng
x ∈ int(S{P ∈ P : x ∈ P ⊂ U}). Thêt vêy, giÊ sỷ ngữủc lÔi rơng
x /∈ int(S{P ∈ P : x ∈ P ⊂ U}). Khi õ, theo ành lẵ 1.5.5 ta suy ra
x /∈ X \X \(S{P ∈ P : x∈ P ⊂ U}), k²o theo
x ∈ X \(S{P ∈ P : x ∈ P ⊂U}) ⊂ X \ {x}.
Nhữ vêy, x khổng l iºm cổ lêp cừa X. Bði vẳ P l cp-mÔng nản tỗn tÔi P0 ∈ P sao cho x ∈ P0 ⊂ U v
P0 ∩hX \(S{P ∈ P :x ∈ P ⊂ U})i l têp vổ hÔn trong X. M°t khĂc, bði vẳ
P0 ⊂S{P ∈ P : x ∈ P ⊂U}
nản ta suy ra mƠu thuăn. Nhữ vêy, P l cn-mÔng cừa X.
ành lẵ 2.2.10 ([4]). GiÊ sỷ rơng (X, τ) l mởt k-khổng gian. Khi õ, méi k-m¤ng l m¤ng Pytkeev.
Chựng minh. GiÊ sỷ P l k-mÔng cừa k-khổng gian X. Ta chựng minh P l m¤ng Pytkeev cõa X.
Thêt vêy, giÊ sỷ x ∈ X, A ⊂X sao cho x l iºm tử cừa A. Ta cƯn ch¿
ra rơng vợi mồi lƠn cên Ux cừax, tỗn tÔi P ∈ P sao cho P ⊂ Ux v P∩A l têp con vổ hÔn cừa X.
GiÊ sỷ Mx l giao cừa tĐt cÊ cĂc lƠn cên cừa x trong X. Khi õ,
• Bði vẳ Ux l lƠn cên cừa x trong X nản Mx ⊂ Ux.
• Mx l têp compact trong X.
GiÊ sỷ U l phừ mð cừa Mx. Khi õ, vẳ x ∈ Mx nản tỗn tÔi W ∈ U sao cho x ∈ W. M°t khĂc, vẳ W mð nản W l lƠn cên mð cừa x, k²o theo Mx ⊂ W. Nhữ vêy, V = {W} l phừ con hỳu hÔn cừa U, v Mx compact.
• Bði vẳ Ux l lƠn cên cừa Mx v P l k-mÔng cừa X nản tỗn tÔi hồ con húu h¤n F ⊂ P sao cho
Mx ⊂SF ⊂ Ux. Trữớng hủp 1: Mx∩ A l vổ hÔn.
Bði vẳ Mx∩A vổ hÔn nản (SF)∩A vổ hÔn. M°t khĂc, vẳ F l hồ hỳu hÔn nản tỗn tÔi F ∈ F sao cho A∩ F l vổ hÔn. Do õ, tỗn tÔi F ∈ P sao cho A∩F vổ hÔn.
Trữớng hủp 2: Mx∩ A l hỳu hÔn.
Bði vẳ Mx∩A hỳu hÔn,
A = (Mx∩A)∪(A\Mx)
v x l iºm tử cừa A nản mội lƠn cên cừa x chựa vổ hÔn phƯn tỷ cừa A\Mx, do õ x l iºm tử cừa A\Mx. Thay thá A bði A\Mx ta cõ thº giÊ thiát rơng A∩Mx = ∅. Do õ, têp hủp
B = A∪(X \Ux) tử tÔi x, v do õ nõ khổng õng trong X.
Bði vẳ X l k-khổng gian nản tỗn tÔi têp con compact K ⊂ X sao cho K ∩ B khổng õng trong K. Do õ, tỗn tÔi z ∈ K \ B ⊂ Ux sao cho z ∈ K ∩BK. Bði vẳ K l khổng gian compact v T3-khổng gian, K ∩Ux l lƠn cên mð cừa z trong K nản tỗn tÔi lƠn cên Vz cừa z trong K sao cho
z ∈ Vz ⊂ VzK ⊂ K ∩Ux.
Ta °t Kz = VzK, khi õ Kz l lƠn cên compact cừa z trong khổng gian con K v thọa mÂn Kz ⊂ K ∩Ux.
Bði vẳ z /∈ Kz\B l chựa trong bao õng cừaKz\B v Kz l Hausdorff nản Kz \B l têp vổ hÔn. M°t khĂc, vẳ P l k-mÔng, Kz compact trong X v Ux l lƠn cên cừa Kz nản tỗn tÔi hồ con hỳu hÔn F ⊂ P sao cho
Kz \B ⊂ Kz ⊂ SF ⊂ Ux.
Hỡn nỳa, vẳ Kz \B l vổ hÔn v F hỳu hÔn nản tỗn F ∈ F sao cho F chựa vổ hÔn phƯn tỷ cừa Kz \B. M°t khĂc, vẳ
F \B = F ∩(X \B) =F ∩ ((X \A)∩Ux) =F ∩A l vổ hÔn.
ành lẵ 2.2.11 ([5]). ối vợi khổng gian topo (X, τ), ta cõ
Cì sð ⇒ sp-m¤ng ⇒ m¤ng Pytkeev ch°t ⇒ m¤ng Pytkeev, cn-m¤ng ⇒ m¤ng.
Chựng minh. (1) GiÊ sỷ P l cỡ sð cừa X. Ta chựng minh rơng P l sp-m¤ng cõa X.
Thêt vêy, giÊ sỷ A ⊂ X, U ∈ τ v x ∈ U ∩ A. Bði vẳ P l cỡ sð cừa X v x ∈ U nản tỗn tÔi P ∈ P sao cho x ∈ P ⊂ U. BƠy giớ, ta chựng tọ rơng P ∩A ⊂P ∩A.
GiÊ sỷ z ∈ P ∩ A v W l lƠn cên mð bĐt ký cừa x. Bði vẳ P mð nản
W ∩ P l lƠn cên mð cừa x. M°t khĂc, vẳ x ∈ A nản W ∩P ∩ A6= ∅.
Suy ra z ∈ P ∩A, do â P ∩A ⊂ P ∩A.
Nhữ vêy, x ∈ P ∩A ⊂P ∩A, v P l sp-mÔng cừa X.
(2) GiÊ sỷP l sp-mÔng cừa X. Ta chựng minh rơngP l mÔng Pytkeev ch°t. Thêt vêy, giÊ sỷ x l iºm tử cừa A v U l lƠn cên cừa x. Khi õ, vẳ x ∈ U ∩A\ {x} v P l sp-mÔng nản tỗn tÔi P ∈ P sao cho
x∈ P ⊂ U, x ∈ P ∩(A\ {x}). (2.3) BƠy giớ, ta ch¿ cƯn chựng minh rơng P ∩ A l vổ hÔn. Thêt vêy, giÊ sỷ ngữủc lÔi rơng P ∩A hỳu hÔn. Khi õ, P ∩(A\ {x}) cụng l têp hỳu hÔn, k²o theo P ∩(A\ {x}) l têp hủp õng. Do õ,
P ∩(A\ {x}) = P ∩(A\ {x}).
Tứ 2.3 ta suy ra
x ∈ P ∩(A\ {x}),
Ơy l mởt mƠu thuăn. Nhữ vêy, P l mÔng Pytkeev ch°t cừa X.
ành nghắa 2.2.12 ([4]). GiÊ sỷ (X, τ) l mởt khổng gian topo v P l mởt phừ gỗm cĂc têp con n o õ cừa X. Khi õ, P ữủc gồi l cs0-mÔng cừa X náu vợi mồi dÂy {xn} hởi tử án x ∈ U vợi U ∈ τ, tỗn tÔi P ∈ P v n∈ N sao cho
{x, xn} ⊂ P ⊂ U.
ành lẵ 2.2.13 ([5]). Mội cn-mÔng ho°c cs∗-mÔng trong khổng gian topo (X, τ) l cs0-m¤ng.
Chùng minh. Gi£ sû P l cn-m¤ng ho°c cs∗-m¤ng cõa X. Ta chùng minh rơng P l cs0-mÔng cừa X. Thêt vêy, giÊ sỷ {xn} ⊂ X l dÂy hởi tử án x v U l lƠn cên cừa x trong X. Khi õ,
(1) Náu P l cn-mÔng cừa x trong X, thẳ têp hủp
S{P ∈ P : x ∈ P ⊂ U}
l lƠn cên cừa x. Bði vẳ xn →x trong X nản tỗn tÔi m ∈ N sao cho {x} ∪ {xn : n≥ m} ⊂ S{P ∈ P : x ∈ P ⊂ U}.
Do õ, tỗn tÔi n≥ m v P ∈ P sao cho
x∈ P ⊂ U v xn ∈ P.
Nhữ vêy, tỗn tÔi n∈ N v P ∈ P sao cho {x, xn} ⊂ P ⊂ U.
Bði thá, P l cs0-mÔng cừa X.
(2) GiÊ sỷ P l cs∗-mÔng cừa X. Khi õ, tỗn tÔi m ∈ N,P ∈ P sao cho {x} ∪ {xn : n ≥m} ⊂ P ⊂U.
Suy ra tỗn tÔi n ∈ N v P ∈ P sao cho
{x, xn} ⊂ P ⊂ U, do â P l cs0-m¤ng cõa X.
ành lẵ 2.2.14 ([5]). Mội wcs∗-mÔng trong khổng gian dÂy (X, τ)l mÔng Pytkeev.
Chựng minh. GiÊ sỷ P l wcs∗-mÔng cừa X, x l iºm tử cừa A ⊂ X v U l lƠn cên mð cừa x trong X. Ta °t
B = (A\ {x})∪(X \U).
Bði vẳ x l iºm tử cừa A nản theo Nhên x²t 2.2.4, x ∈ A\ {x}, k²o theo x ∈ B. M°t khĂc, vẳ x ∈ U nản x /∈ X \ U, do õ x /∈ B. Nhữ vêy, x ∈ B \B, v B khổng l têp õng. Bði vẳ X l khổng gian dÂy nản tỗn tÔi dÂy {xn} ⊂ B hởi tử án z /∈ B. Ta cõ thº giÊ thiát rơng cĂc phƯn tỷ
cừa {xn} l phƠn biằt. Náu X \U chựa vổ hÔn phƯn tỷ cừa dÂy {xn}, thẳ z ∈ X \U. Bði vẳ U mð nản X \U õng. Suy ra
z ∈ X \U = X \U ⊂ B.
iãu n y mƠu thuăn vợi z /∈ B. Nhữ vêy, X \U ch¿ chựa hỳu hÔn phƯn tỷ cừa dÂy {xn}. Do õ, ta cõ thº giÊ thiát rơng {xn} ⊂ A. Bði vẳ X\U ⊂ B nản z ∈ U. M°t khĂc, vẳ P l wcs∗-mÔng cừa X nản tỗn tÔi P ∈ P v d¢y con {xnk} cõa {xn} sao cho
{xnk : k ∈ N} ⊂ P ⊂ U.
Nhữ vêy, P ∩A l vổ hÔn, do õ P l mÔng Pytkeev cừa X.
KT LUN
Sau mởt thới gian tẳm hiºu v nghiản cựu vã cĂc tẵnh chĐt mÔng v mối quan hằ giỳa chúng trản khổng gian topo, luên vôn  Ôt ữủc nhỳng kát qu£ nh÷ sau.
• Trẳnh b y lÔi mởt cĂch cõ hằ thống v chựng minh chi tiát mởt số kát quÊ cừa topo Ôi cữỡng nhơm phửc vử cho viằc chựng minh cĂc kát quÊ chẵnh cừa luên vôn.
• Trẳnh b y khĂi niằm, tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa mởt số khổng gian metric suy rởng v chựng minh chi tiát mởt số mối quan hằ giỳa chúng.
• Trẳnh b y khĂi niằm v tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa mởt số mÔng trong khổng gian topo v chựng minh chi tiát mởt số mối quan hằ giỳa chúng.
TI LIU THAM KHO
[1] A. V. Arhangel'skii (1963), Some types of factor mappings and the re- lations between classes of topological spaces, Dokl. Akad. Nauk SSSR.
153, 743746.
[2] T. Banakh (2015), B0-spaces, Topology and its Applications 195, 151173.
[3] R. Engelking (1989), General Topology, Heldermann Verlag, Berlin.
[4] X. Liu, S. Lin (2018), On spaces defined by Pytkeev networks, Filomat 32, 6115-6129.
[5] X. Liu, C. Liu, S. Lin (2019), Strict Pytkeev networks with sensors and their applications in topological groups, Topology and its Applications 258, 5878.
[6] S. Lin, X. Liu (2020), Notes on pseudo-open mappings and sequentially quotient mappings, Topology and its Applications 272, 107090.
[7] S. Lin, Z. Yun (2016), Generalized Metric Spaces and Mappings At- lantis Press.
BIÊN BẢN
HỌP HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ
1. Tên đề tài: Mối quan hệ giữa một số tính chất mạng trong không gian topo 2. Ngành: Toán giải tích Lớp K39.TGT
3. Theo Quyết định thành lập Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ số 2044/QĐ-ĐHSP ngày 28 tháng 10 năm 2021
4. Ngày họp Hội đồng: ngày 28 tháng 11 năm 2021 5. Danh sách các thành viên Hội đồng:
STT HỌ VÀ TÊN CƯƠNG VỊ TRONG HỘI
ĐỒNG
1. TS. Lê Hải Trung Chủ tịch
2. TS. Lê Văn Dũng Thư ký
3. TS. Phan Đức Tuấn Phản biện 1
4. PGS.TS. Nguyễn Văn Đức Phản biện 2
5. PGS.TS. Nguyễn Thành Chung Ủy viên
a. Thành viên có mặt: 5 b. Thành viên vắng mặt: 0
6. Thư ký Hội đồng báo cáo quá trình học tập, nghiên cứu của học viên cao học và đọc lý lịch khoa học (có văn bản kèm theo)
7. Học viên cao học trình bày luận văn
8. Các phản biện đọc nhận xét và nêu câu hỏi (có văn bản kèm theo) 9. Học viên cao học trả lời các câu hỏi của thành viên Hội đồng 10. Hội đồng họp riêng để đánh giá
11. Trưởng ban kiểm phiếu công bố kết quả 12. Kết luận của Hội đồng
a) Kết luận chung:
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
Luận văn đạt yêu cầu. Đề nghị hiệu trưởng Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng công nhận kết quả chấm luận văn của Hội đồng và cấp bằng thạc sĩ cho học viên.
b) Yêu cầu chỉnh, sửa về nội dung:
Bỏ phụ lục trong mục lục, Thống nhất các ký hiệu trong luận văn, bổ sung trích dẫn tài liệu tham khảo ở Chương 1, sửa lại các lỗi chính tả.
Sửa luận văn theo góp ý của các thành viên trong Hội đồng, đặc biệt là nhận xét góp ý của 2 phản biện.
c) Các ý kiến khác: không
d) Điểm đánh giá: Bằng số: 8,5 Bằng chữ: Tám lăm 13. Tác giả luận văn phát biểu ý kiến
14. Chủ tịch Hội đồng tuyên bố bế mạc THƯ KÝ HỘI ĐỒNG
Lê Văn Dũng
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG
Lê Hải Trung
=====&&&=====
BẢN NHẬN XÉT LUẬN VĂN THẠC SĨ (Dùng cho phản biện)
Đề tài: Mối quan hệ giữa một số tính chất mạng trong không gian topo Chuyên ngành: Toán giải tích Mã ngành: 8.46.01.02 Họ và tên học viên: Lê Thị Minh Linh
Người nhận xét: Nguyễn Văn Đức Đơn vị công tác: Trường Đại học Vinh.
NỘI DUNG NHẬN XÉT I. Tính cấp thiết của đề tài
Lý thuyết về không gian metric suy rộng có ứng dụng trong nhóm topo, lý thuyết không gian hàm, lý thuyết chiều và nhiều lĩnh vực khác của toán học. Lý thuyết này cũng thường xuyên xuất hiện trong lý thuyết khoa học về máy tính.
Một trong những hướng suy rộng của cơ sở là mạng và đang được nhiều nhà toán học quan tâm trong những năm gần đây, đặc biệt là mối liên hệ giữa các tính chất mạng trên không gian metric suy rộng và sự bất biến của các tính chất mạng qua các ánh xạ có tính chất phủ. Vì vậy, đề tài “Mối quan hệ giữa một số tính chất mạng trong không gian topo” mà học viên Lê Thị Minh Linh nghiên cứu có tính thời sự, cấp thiết, được nhiều nhà toán học quan tâm.
II. Cơ sở khoa học và thực tiễn
Hầu hết các kết quả trong luận văn được chứng minh chặt chẽ; các ví dụ trong luận văn cho thấy các nội dung trình bày trong luận văn ứng dụng được vào các tình huống khác nhau và trong thực tiễn. Vì thế, luận văn đảm bảo tính khoa học và thực tiễn.
III. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu phù hợp, dựa trên các tài liệu thu thập được, bằng cách tương tự hóa, khái quát hóa, phân tích, đánh giá, tổng hợp, tác giả đã viết thành luận văn có bố cục hợp lý và có tính logic cao.
IV. Kết quả nghiên cứu
Luận văn có độ dài 52 trang, bao gồm phần mở đầu, nội dung, kết luận và tài liệu tham khảo.
Phần nội dung, luận văn được chia làm hai chương:
Chương 1: Tác giả trình bày một số kiến thức về không gian topo, tập hợp mở, lân cận, tập hợp đóng, bao đóng của tập hợp, phần trong của tập hợp, một số tiên đề tách, không gian con, không gian compact, ánh xạ liên tục.
Chương 2: Tác giả trình bày khái niệm và tính chất cơ bản của một số không gian metric suy rộng, chứng minh chi tiết mối liên hệ giữa chúng. Tiếp theo, tác giả trình bày một số tính chất mạng trong không gian topo và chứng minh chi tiết mối liên hệ giữa các tính chất đó
Luận văn được trình bày rõ ràng, chứng minh chặt chẽ, có giá trị khoa học và thực tiễn. Tuy nhiên, luận văn có một số lỗi trình bày. Tác giả nên chỉnh sửa lại để luận văn được hoàn thiện hơn. Cụ thể, tôi có một số góp ý sau:
1. Trong phần mục lục có ghi phần phụ lục ở trang 54 nhưng trong Luận văn không có trang 54 và không có phần phụ lục.
2. Dòng đầu tiên của đoạn 2 trong mục Lý do chọn đề tài cần sửa chữ “nhiêu” thành chữ
“nhiều”.