Như ta đã biết đối ngẫu trên các không gian véctơ là một hàm tử có một số tính chất quan trọng như tuyến tính và đối ngẫu hai lần là phép đồng nhất. Với môđun ta cũng muốn xây dựng một hàm tử
với những tính chất như vậy. Tổng quát hoá các tính chất của hàm tử đối ngẫu trên các không gian véctơ, ta có định nghĩa đối ngẫu trên các môđun trên một vành giao hoán như sau.
Định nghĩa 3.1.1. Cho A là một vành giao hoán. Kí hiệu M odA là phạm trù các A - môđun hữu hạn sinh. Một hàm tử D : M odA −→
M odA được gọi là hàm tử đối ngẫu nếu D là hàm tử A - tuyến tính, phản biến, khớp và đối ngẫu hai lần là phép đồng nhất.
Sau đây ta sẽ đi xây dựng ví dụ cụ thể hàm tử đối ngẫu trên các môđun trên một đại số hữu hạn trên một trường. Giả thiết k là một trường và A là một k - đại số địa phương chiều không và là k - không gian véctơ hữu hạn chiều. Kí hiệu m là iđêan cực đại của A. Với M là A - môđun hữu hạn sinh, để xây dựng một môđun đối ngẫu của M, một cách tự nhiên ta có thể nghĩ tới hàm tử M 7−→ HomA(M, A).
Tuy nhiên, hàm tử này nhìn chung không bảo toàn tính khớp và nếu tác động vào hàm tử này một lần nữa ta không có đồng nhất M ∼= HomA(HomA(M, A), A).
Ví dụ 3.1.2. Cho k là trường, A = k[x, y]/(x, y)2 là vành địa phương chiều không với iđêan cực đại m= (x, y)/(x, y)2. Cho dãy khớp
0−→ A/(0 :A x) −→∗x A −→ A/xA −→0.
Do (0 :A x) =m nên dãy khớp
0−→ A/m −→A −→ A/xA −→0.
cảm sinh dãy
0 →HomA(A/xA, A) →HomA(A, A) → HomA(A/m, A) →0 (∗)
Ta có
HomA(A/xA, A) ∼= (0 :A x) = m và
HomA(A/m, A) ∼= (0 :A m) = m.
Khi đó dãy (∗) trở thành 0−→ m−→ A −→m −→0. Do dimkA = 3 và dimkm= 2 nên dãy này không là dãy khớp. Suy ra hàm tử H(−) = HomA(−, A) không bảo toàn tính khớp. Ta cũng có H(A/xA) = mvà H(A/m) = m. Vì vậy H(H(A/xA)) = H(m) và H(H(A/m)) = H(m).
Kéo theo H2 không phải là phép đồng nhất.
Như vậy nói chung HomA(M, A) không thể đóng vai trò là đối ngẫu của A - môđun M. Thay cho HomA(M, A) ta xét D(M) :=
Homk(M, k). Không gian véctơ này là một A - môđun với phép nhân vô hướng cho bởi (aϕ)(m) = ϕ(am) với ϕ ∈ D(M), a ∈ A, m ∈ M. Mệnh đề sau cho thấy hàm tử D xây dựng như vậy là một hàm tử đối ngẫu theo Định nghĩa 3.1.1.
Mệnh đề 3.1.3. Hàm tử D xác định như trên là hàm tử đối ngẫu trên phạm trù các A - môđun hữu hạn sinh.
Chứng minh. Dễ thấy D là hàm tử tuyến tính, phản biến. Ta chứng minh D là hàm tử khớp và D2 là hàm tử đồng nhất. Cho dãy khớp 0−→ M0 −→f M −→g M00 −→ 0. Xét dãy cảm sinh
0 −→ D(M00) −→g∗ D(M) −→f∗ D(M0) −→ 0
Giả sử α ∈ Ker(g∗), suy ra α ◦ g = 0. Vì g là toàn cấu nên với mọi m00 ∈ M00 đều tồn tại m ∈ M sao cho g(m) = m00, do đó
α(m00) = α(g(m)) = α ◦ g(m) = 0. Suy ra α(M00) = 0, kéo theo α = 0 hay Ker(g∗) = 0. Vậy g∗ là đơn cấu.
Ta có g ◦f = 0, mà (g ◦f)∗ = f∗ ◦g∗, suy ra f∗ ◦g∗ = 0, do đó Im(g∗) ⊆ Ker(f∗). Ngược lại, xét β ∈ Ker(f∗), suy ra β ◦f = 0, do đó Im(f) ⊆ Ker(β), kéo theo Ker(g) ⊆ Ker(β). Do g là toàn ánh nên với mỗi x ∈ M00 đều tồn tại phần tử y ∈ M sao cho x = g(y). Xét tương ứng ϕ: M00 −→ k cho bởi x 7−→ β(y).Giả sử x1 = x2 ∈ M00, do g toàn ánh nên tồn tại y1, y2 ∈ M sao cho x1 = g(y1) = g(y2) = x2. Suy ra g(y1−y2) = 0, kéo theo y1−y2 ∈ Ker(g) = Im(f). Do đó tồn tại m0 ∈ M0 sao cho f(m0) = y1 − y2. Từ đó ta có 0 = β ◦f(m0) = β(y1−y2) =β(y1)−β(y2), kéo theo β(y1) =β(y2) hay ϕ(x1) =ϕ(x2).
Suy ra ϕ là ánh xạ. Hơn nữa, β = ϕ ◦g = g∗(ϕ) ∈ Im(g∗), do đó Ker(f∗) ⊆ Im(g∗). Vậy Im(g∗) =Ker(f∗).
Dok là trường nên k là k - môđun nội xạ. Suy ra với mỗi đơn cấu f : M0 −→ M, với mọi α ∈ D(M0) luôn tồn tại đồng cấu β ∈ D(M) sao cho α = β ◦f = f∗(β). Do đó f∗ là toàn cấu. Vậy D là hàm tử khớp.
Vì M hữu hạn chiều trênk nên ánh xạ tự nhiên M −→ D(D(M)) biến mỗi phần tử m ∈ M thành hàm số ϕ 7−→ ϕ(m), với ϕ ∈ Homk(M, k) là đẳng cấu giữa các không gian véctơ, và thực tế nó là đẳng cấu giữa các A - môđun. Do đó D2 là hàm tử đồng nhất.
Định nghĩa 3.1.4. Cho M là A - môđun hữu hạn sinh, ta định nghĩa đối ngẫu của M là D(M) := Homk(M, k).
Hàm tử D dường như phụ thuộc vào trường k nhưng không phải thế. Trong trường hợp đặc biệt, giả sử A là một mở rộng trường hữu
hạn trên trường k, V là không gian véctơ hữu hạn chiều trên A thì đối ngẫu của V cũng chính là HomA(V, A).
Mệnh đề 3.1.5. Với các giả thiết như trên, ta có đẳng cấu các A - không gian véctơ
D(V) ∼= HomA(V, A).
Chứng minh. Do V là A - không gian véctơ hữu hạn chiều và A là mở rộng trường hữu hạn trên trường k nên V ∼= An và A∼= kr. Lại có An là A - môđun nên HomA(V, A) ∼= HomA(An, A) ∼= An.
Theo lý thuyết đối ngẫu của không gian véctơ ta cóHomk(V, k) ∼= V ∼= An. Do đó Homk(V, k) ∼= HomA(V, A) như các A - không gian véctơ.
Nhận xét 3.1.6.
(i) D(0) = 0.
(ii) Với M là A - môđun hữu hạn sinh, M 6= 0 thì D(M) 6= 0.
(iii) Đối ngẫu của môđun đơn là một môđun đơn.
Thật vậy, nếu D(A/m) không phải là môđun đơn thì nó sẽ có một môđun con thực sự M nào đó và D(M) sẽ đẳng cấu với một môđun con thực sự của A/m, điều này là vô lý vì A/m là môđun đơn. Do đó D(A/m) là môđun đơn hay D(A/m) ∼= A/m.
(iv) Định nghĩa một môđun nội xạ có thể nhận được từ định nghĩa của môđun xạ ảnh bằng cách đổi chiều hướng của mũi tên. Do đó đối ngẫu của môđun nội xạ là môđun xạ ảnh và ngược lại.
Trong phần tiếp theo, ta sẽ chứng minh một số tính chất cơ bản của hàm tử đối ngẫu như bảo toàn độ dài, bảo toàn iđêan linh hoá tử
hay bảo toàn môđun các đồng cấu. Cho đến hết tiết ta luôn xét A là một vành giao hoán bất kì và D : M odA −→ M odA là một hàm tử đối ngẫu nào đó. Trước hết ta liệt kê một số tính chất đơn giản của hàm tử đối ngẫu.
Định lý 3.1.7. Cho M, N là các môđun hữu hạn sinh. các đối tượng sau được bảo toàn qua đối ngẫu
(i) Độ dài của môđun, nghĩa là `A(M) =`A(D(M));
(ii) Iđêan linh hoá tử, nghĩa là AnnA(M) = AnnA(D(M));
(iii) Môđun các đồng cấu, nghĩa là HomA(N, M) ∼= HomA(D(M), D(N)).
Chứng minh.
(i) Cho dãy các A - môđun
0 = M0 ⊂ M1 ⊂ M2 ⊂ ...⊂ Mn = M,
với Mi/Mi−1 ∼= A/m. Lấy đối ngẫu của dãy 0 = M0 ,→ M1 ,→ . . . ,→ Mn = M ta được dãy các toàn ánh
D(M) =D(Mn) D(Mn−1) ... D(M1) D(M0) = 0.
Đặt Pi = Ker(D(Mn) −→D(Mn−i)). Ta chứng minh 0 = P0 ⊂ P1 ⊂... ⊂ Pn = D(Mn) (∗)
là dãy hợp thành của D(M). Từ dãy khớp ngắn 0 −→ Mn−i −→
Mn −→ Mn/Mn−i −→ 0, qua đối ngẫu ta được dãy khớp 0−→ D(Mn/Mn−i) −→D(Mn) −→D(Mn−i) −→0.
Suy ra Pi ∼= D(Mn/Mn−i). Lại có dãy khớp
0 −→ Mn−i/Mn−(i+1) −→ Mn/Mn−(i+1) −→ Mn/Mn−i −→ 0.
Qua đối ngẫu ta được dãy khớp
0 →D(Mn/Mn−i) →D(Mn/Mn−(i+1)) →D(Mn−i/Mn−(i+1)) →0.
Theo nhận xét 3.1.6(iii) ta có D(Mn−i/Mn−(i+1)) ∼= A/m. Do đó dãy 0 −→ Pi −→ Pi+1 −→ A/m −→ 0 là khớp. Từ đó, Pi+1/Pi ∼= A/m. Vậy (∗) là dãy hợp thành của D(M). Nói riêng, `A(M) = n =
`A(D(M)).
(ii) Giả sử a ∈ AnnA(M), do D là A - tuyến tính nên aD(M) = D(aM) = 0. Suy raAnnA(M) ⊆ AnnA(D(M)).Từ đóAnnA(D(M)) ⊆ AnnA(D(D(M))) = AnnA(M). Vậy AnnA(M) =AnnA(D(M)).
(iii) Xét các ánh xạ
ϕ : HomA(N, M) −→ HomA(D(M), D(N)) f 7−→ ϕ(f) = D(f)
và
ψ :HomA(D(M), D(N)) −→HomA(N, M) g 7−→ψ(g) =D(g)
Chú ý là ở đây ta dùng đẳng cấu
HomA(N, M) ∼= HomA(D2(N), D2(M)).
Khi đó
ϕ◦ψ(g) =ϕ(ψ(g)) = ϕ(D(g)) =D(D(g)) = g, ψ◦ϕ(f) =ψ(ϕ(f)) =ψ(D(f)) = D(D(f)) = f,
với mọi f, g. Vậy ϕ là đẳng cấu.