Luôn giả thiết (A,m, k) là vành Artin địa phương. Trong tiết này chúng tôi trình bày định nghĩa và một số tính chất của môđun chính tắc ωA của một vành địa phương chiều không A. Môđun này rất quan trọng, trước hết vì nó là cơ sở để định nghĩa vành Gorenstein địa phương chiều không. Hơn nữa, môđun chính tắc cho phép ta xây dựng được tất cả hàm tử đối ngẫu trên phạm trù môđun.
Trước hết ta có bổ đề đơn giản sau.
Bổ đề 3.3.1. Mọi A - môđun M đều chứa một môđun con đơn. Nói cách khác, socle(M) 6= 0.
Chứng minh. Do A là vành địa phương chiều không nên mọi iđêan nguyên tố đều tối đại. Suy ra Spec(A) ={m}. Khi đó Ass(M) = {m}
với m= AnnA(x), x ∈ M nào đó. Xét ánh xạ x :A −→ M, a 7−→ ax.
Ta có Ker(x) = {a ∈ A | ax = 0} = AnnA(x) = m. Suy ra Im(x) ∼= A/m. Đặt Im(x) =N, khi đó N là môđun con đơn của M.
Mệnh đề 3.3.2. Cho F là hàm tử đối ngẫu bất kì từ phạm trù các A- môđun hữu hạn sinh đến chính nó. Khi đóF(−) ∼= HomA(−, F(A)).
Hơn nữa F(A) là bao nội xạ của A/m. Hệ quả là, nếu hàm tử đối ngẫu tồn tại thì nó là duy nhất.
Chứng minh. Vì F2 là phép đồng nhất nên ánh xạ HomA(M, N) −→ HomA(F(N), F(M)), cho bởi ϕ7−→ F(ϕ) là đẳng cấu. Do đó ta có
F(M) ∼= HomA(A, F(M)) ∼= HomA(F(F(M)), F(A)) ∼= HomA(M, F(A)).
Suy ra F(−) ∼= HomA(−, F(A)).
Theo Bổ đề 3.2.2 ta có socle(M) chứa tất cả các môđun con đơn của M, do đó nó giao với mọi môđun con của M đều khác rỗng, vì thế M là mở rộng cốt yếu của socle(M). Thật vậy, do A có chiều bằng không nên theo bổ đề 3.3.1 ta có mọi môđun N trên A đều chứa một môđun con đơn, suy ra socle(N) 6= 0. Giả sử N ⊆ M là môđun con, khi đó socle(N) ⊆ socle(M). Mà socle(N) ⊆ N nên socle(M) ∩N = socle(N) 6= 0. Vậy M là mở rộng cốt yếu của socle(M).
Ta có Alà môđun xạ ảnh nênF(A) là môđun nội xạ. Dotop(A) = A/m là môđun đơn nên socle(F(A)) cũng là môđun đơn, hay
socle(F(A)) ∼= A/m . Từ đó suy ra k ∼= A/m ∼= socle(F(A)) ⊆ F(A).
Theo chứng minh trên ta có F(A) là mở rộng cốt yếu của socle(F(A)) nên nó cũng là mở rộng cốt yếu của A/m.
Từ mệnh đề trên, ta đưa ra định nghĩa môđun chính tắc của vành địa phương chiều không như sau.
Định nghĩa 3.3.3. Môđun chính tắc ωA của một vành Artin địa phương A là bao nội xạ của trường thặng dư của A, hay ωA = EA(A/m).
Trước khi đưa ra công thức cho hàm tử đối ngẫu, ta cần bổ đề sau.
Bổ đề 3.3.4. Ta có HomA(A/m, ωA) ∼= A/m.
Chứng minh. Do ωA là bao nội xạ của A/m và socle(ωA) là hợp của tất cả các môđun con đơn của ωA nên A/m = socle(ωA) ⊆ ωA. Xét đồng cấu ϕ : A/m ,→ ωA cho bởi λ 7−→ ϕ(λ). Ta có mλ = 0 nên mϕ(λ) = 0. Vì thế ϕ(λ) ∈ (0 :ωA m) = socle(ωA). Suy ra HomA(A/m, ωA) ∼= HomA(A/m, socle(ωA)) ∼= HomA(A/m, A/m) ∼= A/m.
Định lý sau cho ta ví dụ cụ thể một hàm tử đối ngẫu trên phạm trù môđun trên vành A.
Định lý 3.3.5. Hàm tử M 7−→ D(M) =HomA(M, ωA) là hàm tử đối ngẫu trên phạm trù các A - môđun hữu hạn sinh.
Chứng minh. Dễ thấy D là A - tuyến tính và là hàm tử khớp do ωA
là A - môđun nội xạ. Ta chứng minh D2 là phép đồng nhất. Cho α : 1 −→D2 là ánh xạ tự nhiên cho bởi tương ứng
αM : M 7−→ HomA(HomA(M, ωA), ωA)
biến mỗi phần tử m ∈ M thành đồng cấu ϕ ∈ HomA(M, ωA) đến ϕ(m). Khi đó α là đẳng cấu bởi mỗi αM là đẳng cấu. Thật vậy, ta chứng minh quy nạp theo độ dài môđun M.
Giả sử `(M) = 1, suy ra M ∼= A/m với m là iđêan cực đại của A.
Theo Bổ đề 3.3.4, HomA(A/m, ωA) ∼= A/m. Do đó
HomA(HomA(A/m, ωA), ωA) ∼= HomA(A/m, ωA) ∼= A/m.
Với 1 ∈ A/m là phần tử đơn vị, xét đồng cấu
αA/m : A/m −→ HomA(HomA(A/m, ωA), ωA),
biến 1 thành đồng cấu nhúng i ∈ HomA(A/m, ωA) đến i(1). Suy ra αA/m 6= 0 và αA/m là đẳng cấu.
Giả sử `(M) > 1 và định lý đúng với các môđun có độ dài nhỏ hơn độ dài của môđun M. Gọi M0 là môđun con thực sự của M và đặt M00 = M/M0. Do α là ánh xạ tự nhiên, D2 là hàm tử khớp nên ta có biểu đồ sau giao hoán với các dòng là khớp
0 //M0
αM0
f //M
αM
g //M00
αM00
//0
0 //D2(M0) f
0 //D2(M) g
0 //D2(M00) //0
Vì M0 và M00 có độ dài nhỏ hơn độ dài của M nên theo giả thiết quy nạp ta có αM0 và αM00 là đẳng cấu. Ta chứng minh αM là đẳng cấu. Giả sử x ∈ Ker(αM), kéo theo (αM00 ◦g)(x) = (g0 ◦ αM)(x) = g0(αM(x)) = 0. Suy ra g(x) ∈ Ker(αM00) = 0 hay g(x) = 0. Do đó x ∈ Ker(g) = Im(f), vì thế tồn tại y ∈ M0 : x = f(y). Suy ra f0(αM0(y)) = αM(x) = 0 hay αM0(y) = 0 do f0 là đơn cấu. Kéo theo y = 0 và x = f(y) = 0. Vậy αM là đơn cấu.
Giả sử y ∈ D2(M). Nếu g0(y) = 0 suy ra y ∈ Ker(g0) = Im(f0), do đó tồn tại x ∈ M0 : y = (f0 ◦αM0)(x) = (αM ◦f)(x) = αM(f(x)).
Nếu g0(y) 6= 0 suy ra tồn tại z ∈ M : g0(y) = (αM00 ◦ g)(z) = (g0 ◦ αM)(z) = g0(αM(z)). Do đó ta có αM(z) −y ∈ Ker(g0) = Im(f0). Vì thế tồn tại x ∈ M0 : αM(z) −y = (f0 ◦αM0)(x) = αM(f(x)). Suy ra y = αM(z−f(x)). Vậy αM là toàn cấu.
Từ Mệnh đề 3.3.2 và Định lý 3.3.5 ta có ngay hai hệ quả sau.
Hệ quả 3.3.6.Luôn tồn tại duy nhất một hàm tử đối ngẫu trênM odA.
Hệ quả 3.3.7.
(i) D(A) =ωA và D(ωA) = A;
(ii) socle(ωA) ∼= A/m.
Hệ quả sau được suy ra trực tiếp từ Hệ quả 3.3.7và Định lý 3.1.7.
Hệ quả 3.3.8.
(i) AnnA(ωA) = 0;
(ii) `A(A) = `A(ωA);
(iii) EndA(ωA) ∼= A.
Nếu vành địa phương chiều không A là không gian véctơ hữu hạn chiều trên k thì môđun chính tắc có thể biểu diễn bởi các phần tử của trường như sau: Một hàm tử đối ngẫu của không gian véctơ có dạng Homk(−, k), vì thế ta cóωA ∼= Homk(A, k). Tiếp theo ta sẽ thấy chỉ với sự thay đổi nhỏ có thể thay thế một trường bởi một vành địa phương bất kì.
Mệnh đề 3.3.9. Cho (B,mB) là vành địa phương, A là B - đại số và là B - môđun hữu hạn sinh. Giả thiết mB ⊆ mA và E là bao nội xạ của trường thặng dư của B. Khi đó ωA ∼= HomB(A, E). Đặc biệt, nếu B có chiều bằng không thì ωA ∼= HomB(A, ωB).
Chứng minh. Đặt M = HomB(A, E). Theo Mệnh đề 2.2.10 ta có M là A - môđun nội xạ. Để chứng minh M là bao nội xạ của trường thặng dư của A ta chứng minh nó là mở rộng cốt yếu kA.
Do A là B - môđun hữu hạn sinh suy ra kA là không gian véctơ hữu hạn chiều trên kB. Từ đó ta có kA ∼= ωkA ∼= HomkB(kA, kB) như
kA - môđun (đây là trường hợp đặc biệt của mệnh đề với A, B là một trường).
Giả sử S ⊆ M là A - môđun con màKer của mỗi đồng cấu trong S chứa mA, hay mAf = 0 với f ∈ S. Ta có socle(M) = (0 :M mA) = {f ∈ M : fmA = 0}. Với a ∈ mA, đồng cấu af : A −→ E cho bởi u 7−→af(u) = f(au). Do đó af = 0 khi và chỉ khi af(u) = 0, với mọi u ∈ A, tương đương f(a) = 0, hay a ∈ Ker(f). Suy ra mAf = 0. Mà S là tập thoả mãn điều kiện mAf = 0 với f ∈ M, do đó S = socle(M).
Với f ∈ S, do mB ⊆ mA ⊆ Ker(f) nên mBf = 0, suy ra mBIm(f) = 0. Do đóIm(f) ⊆socle(E). Lại có E là bao nội xạ củakB nênsocle(E) = kB vàIm(f) ⊆ kB. Ta có đồng cấuf ∈ S khi và chỉ khi mA ⊆ Ker(f). Từ đó ta có đồng cấu cảm sinh f : kA −→ E xác định bởi a 7−→f(a). Suy ra S ∼= HomB(kA, E) ∼= HomB(kA, kB) ∼= kA.
Ta có kA ∼= S ∼= socle(M), do đó để chứng minh M là mở rộng cốt yếu của kA ta chứng minh nó là mở rộng cốt yếu của S.
Xét N = Af với 0 6= f ∈ M là môđun con của M. Vì A là vành Artin nên tồn tại n ∈ N : mnA = 0, suy ra mnAf = 0. Do đó tồn tại t ∈ N : mtAf 6= 0 và mt+1A f = 0. Vì vậy tồn tại a ∈ mtA : af 6= 0.
Đặt g = af ∈ Af = N, suy ra mAg = mAaf ⊂ mAmtAf = 0, do đó g ∈ socle(M) = S. Suy ra S ∩N = g 6= 0. Vậy M là bao nội xạ của kA hay ωA = HomB(A, E).
KẾT LUẬN
Khóa luận nghiên cứu về "Môđun chính tắc trên vành Artin địa phương" gồm các nội dung chính sau:
(1) Trình bày khái niệm và một số tính chất cơ bản của vành, iđêan và môđun.
(2) Trình bày khái niệm và một số tính chất cơ bản của hàm tử đối ngẫu trên phạm trù các không gian véctơ; môđun nội xạ, môđun xạ ảnh, bao nội xạ của một môđun trên một vành.
(3) Xây dựng hàm tử đối ngẫu trên các môđun trên một đại số hữu hạn trên một trường. Đưa ra một số tính chất của hàm tử đối ngẫu trên phạm trù môđun như bảo toàn độ dài, bảo toàn iđêan linh hóa tử và bảo toàn môđun các đồng cấu.
(4) Định nghĩa khái niệm đỉnh, đế của một môđun, một số tính chất quan trọng của đỉnh và đế qua đối ngẫu và đưa ra một số ví dụ tính toán cụ thể tìm đỉnh và đế của một môđun.
(5) Định nghĩa và chứng minh một số tính chất cơ bản của môđun chính tắc của vành Artin địa phương. Xây dựng công thức cụ thể của hàm tử đối ngẫu trên các môđun thông qua môđun chính tắc.
Mặc dù đã rất cố gắng, nhưng do thời gian và kiến thức của bản thân còn hạn chế nên khóa luận của tôi không thể tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp từ thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Một lần nữa tôi xin được cảm ơn sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của thầy giáo - Thạc Sĩ Đỗ Văn Kiên, các thầy cô trong khoa toán,
các bạn sinh viên đã giúp tôi hoàn thành khóa luận này.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Tác giả khóa luận
Đỗ Thị Kim Dung