Nhữ chúng ta  ã cêp án ð trản, lỵ thuyát tỗn tÔi vã bÊn chĐt nghiản cựu vã h m liản tửc ho°c nỷa liản tửc dữợi C[u(ã)] trản mởt têp compact Um[0, T].Vẵ dử, náuUm[0, T]ữủc trang bà topo yáu cừaL2[0, T]thẳUm[0, T] l compact theo dÂy - Ơy l nởi dung cừa ành lỵ 1.3 cừa chữỡng 1. Yảu cƯu cừa cĂc ành lỵ ð chữỡng n y (VD ˆf(t,x,Ω) lỗi) ữủc thiát lêp º suy ra h m C[u(ã)] l nỷa liản tửc dữợi theo topo yáu n y.
Náu chúng ta hÔn chá cĂc iãu khiºn ch¿ lĐy giĂ trà trong mởt số têp con
°c biằt cừa Um[0, T] thẳ cõ thº chồn cĂc têp con º chúng l compact ối vợi topo mÔnh hỡn,... ch¯ng hÔn topo sinh bði chuân. Khi õ chúng ta cõ thº giÊm sỹ hÔn chá trảnf0 v f m Êm bÊoC[u(ã)] nỷa liản tửc dữợi. iãu n y l ởng lỹc sau ành lỵ 2.1 dữợi Ơy, trong õ xỷ lỵ vợi hai lợp iãu khiºn
°c biằt Uλ v Ur. Lợp Ưu tiản l mởt têp con compact cừa Um theo chuân Sup, lợp thự hai l compact theo chuân L1.
Vợi λ > 0 Â cho ta ành nghắa Uλ ⊂ Um l hồ nhỳng iãu khiºn thọa mÂn iãu kiằn Lipschitz trản khoÊng xĂc ành cừa chúng:
|u(t)−u(s)| ≤ λ|t−s|.
Vợi mởt số nguyản r ≥ 0, ta ành nghắa Ur ⊂Um l hồ cĂc iãu khiºn hơng tứng khúc vợi nhiãu nhĐt r iºm giĂn oÔn trản khoÊng xĂc ành cừa chúng.
ành lẵ 2.1. Cho[0, T] l mởt oÔn cố ành. GiÊ sỷ rơng lợp iãu khiºn thổng thữớng Um[0, T] ữủc thay thá bði mởt trong hai lợp Uλ[0, T] ho°c Ur[0, T] vợi mởt số cố ành λ > 0 ho°c số nguyản r ≥ 0 v giÊ sỷ ∆(T) 6= ∅. GiÊ sỷ f0 v f l liản tửc v cĂc phÊn hỗi th nh cổng thọa mÂn mởt Ănh giĂ tiản nghiằm (2.3). Khi õ s³ tỗn tÔi mởt iãu khiºn tối ữu.
Chựng minh. Trong phƯn Ưu cừa lêp luên sau Ơy Ăp dửng cho cÊUr v Uλ. Vẳ |x[t]| ≤ α vợi mồi phÊn hỗi th nh cổng, v f0 liản tửc trản têp compact
Khõa luên tốt nghiằp Ôi hồc nguyạn thà thỡ
[0, T]ì[−α, α] ì[−1,1], cho nản f0(t,x[t],u(t)) l bà ch°n ãu ối vợi tĐt cÊ cĂc iãu khiºn th nh cổng trản [0, T]. Do chúng ta ch¿ hÔn chá trản [0, T], nản C[u(ã)] bà ch°n dữợi vợi u(ã) ∈ ∆(T). º {uk(ã)} l mởt dÂy cỹc tiºu ối vợi C[u(ã)] thuởc lợp thẵch hủp Ur ho°c Uλ, tực l
C[uk(ã)] ↓ c = infC[u(ã)], uk(ã) xĂc ành trản [0, t1(k)]
Trong õ cên dữợi úng ữủc lĐy trản lợp iãu khiºn ang ữủc sỷ dửng, Ur ho°c Uλ. Vẳ cĂc iºm {t1(k)} thuởc [0, T], nản ta cõ thº giÊ sỷ t1(k) → t1 ∈ [0, T]. Chúng ta s³ ch¿ ra cÊ hai dÂy {uk(ã)} v dÂy cĂc phÊn hỗi liản kát {xk[ã]} ãu l cĂc hồ bà ch°n ãu v liản tửc ỗng bêc trản [0, t1], vẳ thá
bơng cĂch chuyºn qua cĂc dÂy con ( văn kỵ hiằu l {uk} v {xk}) ta s³ cõ uk(t) →u∗(t),xk(t) → x∗(t) ãu theo t, ối vợi mởt c°p liản tửc u∗(tã), x∗[ã]
n o â. Nh÷ng xk[t] = x0+
t
Z
0
f(s,xk[s],uk(s))ds, nản bơng cĂch lĐy giợi hÔn khi k → ∞ chóng ta s³ câ
x∗[t] = x0 +
t
Z
0
f(s,x∗[s],u∗(s))ds, 0 ≤t ≤ t1.
Do õ, x∗[ã] thỹc sỹ s³ l mởt phÊn hỗi ựng vợi u∗(ã) v u∗(ã) s³ l tối ữu, vẳ u∗(ã) cỹc tiºu hõa xk(ã) →x∗(ã) v uk(ã) → u∗(ã) ãu, v h m chi phẵ f0 liản tửc.
º ho n th nh chựng minh, tiáp theo chúng ta phÊi chựng minh rơng vợi cÊ hai lợp Ur v Uλ, cĂc dÂy {uk(ã)} v {xk[ã]} bà ch°n ãu v liản tửc ỗng bêc. Ưu tiản chúng ta phÊi ữa ra lới bẳnh kÿ thuêt. BĐt cự khi n o t1(k) ≤ t1, chúng ta mð rởng uk(ã) lản [t1(k), t1] nhữ l mởt vector hơng uk(t1(k)), v chúng ta mð rởng xk[ã] bơng hơng số xk[t1(k)]. Chúng ta khổng mð rởng xk[t] nhữ l mởt nghiằm cừa x˙k = f(t,xk,uk), bði vẳ nõ cõ thº vữủt quĂ mởt Ănh giĂ tiản nghiằm.
GiÊ sỷ chúng ta ang giÊi quyát vợi lợp Uλ[0, T]. Khi õ to n bở lợp õ l liản tửc ỗng bêc v bà ch°n ãu (u(t) ∈ Ω), nản {uk(ã)} cụng vêy. CĂc phÊn
Khõa luên tốt nghiằp Ôi hồc nguyạn thà thỡ
Hẳnh 2.3: vợi k lợn, uk(ã) õng, gƯn u∗(ã) cĂch xaσ, τ
hỗi liản kát thọa mÂn x˙k = f(t,xk,uk), x(0) = x0 trản [0, t1(k)], x˙k = 0 trản [t1(k), t1] v
(t,xk[t],uk(t)) ∈ [0, T]ì[−α, α]ì[−1,1], trản[0, t1].
Vẳ f l liản tửc, cho nản {|x˙k|} bà ch°n ãu, iãu n y suy ra {xk[ã]} liản tửc ỗng bêc v bà ch°n ãu trản [0, t1].
Nhữ vêy ta ho n th nh chựng minh cho lợp Uλ[0, T].
ối vợi lợp Ur[0, T], ta giÊ sỷ r = 2 cho tẵnh xĂc ành. Khi õ vợi mội u(ã) ∈ Ur[0, t1] ta cõ
u(t) =
a, 0 ≤t < σ;
b, σ < t < τ; c, τ < t ≤t1,
trong õ(a,b,c, σ, τ) phử thuởc v o u(ã). Dắ nhiản, chúng ta cõ thº cõσ = τ (mởt bữợc nhÊy) ho°cσ = τ = t1 ( khổng bữợc nhÊy). Náu {uk(ã)}l dÂy cỹc tiºu vợi t1(k) → t1, thẳ mội uk(ã) ữủc mổ tÊ bði bở 5 số (ak,bk,ck, σk, τk).
Chúng ta cõ thº giÊ sỷ rơng cĂc dÂy hởi tử σk → σ∗, τk →τ∗,ak → a∗,bk → b∗,ck → c∗, vẳ tĐt cÊ cĂc vector ãu thuởc hẳnh cƯu ỡn và Rm, trong khi σk, τk thuởc [0, t1] (chúng ta bọ qua dĂng iằu cừa uk(ã) sau t1). Ta ành nghắa u∗(t) trản [0, t1] bði (a∗,b∗,c∗, σ∗, τ∗). Thỹc tá uk(ã) → u∗(ã) ãu trản têp (Hẳnh 2.3 )
Sε = [0, σ∗ −ε]∪[σ∗ +ε, τ∗ −ε]∪[τ∗ +ε, t1]
Khõa luên tốt nghiằp Ôi hồc nguyạn thà thỡ
vợi ε > 0 nhọ. (Vợi σ = τ, chựng minh thêm chẵ cỏn ỡn giÊn hỡn). CĂc phÊn hỗi {xk[ã]} ựng vợi {uk(ã)} bà ch°n ãu v liản tửc ỗng bêc, lỵ luên tữỡng tỹ nhữ vợi Uλ (xk[0] = x0, |x˙k| bà ch°n) cõ mởt dÂy con (văn kỵ hiằu l {xk[ã]}) hởi tử ãu án mởt giợi hÔn x∗(t) trản [0, t1]. Náu Sεc l phƯn bũ cừaSε trong [0, t1],thẳ do f(t,x[t],u(t)) liản tửc v (t,xk[t],uk(t)) nơm trong mởt têp compact, nản R
Sεc
|f(t,xk[t],uk(t))|dt cõ thº ữủc l m nhọ tũy ỵ bơng cĂch chồn ε nhọ.
Vẳ uk(ã) →u∗(ã) ãu trản Sε, v xk[t] = x0+
t
Z
0
f(s,xk[s],uk(s))ds chóng ta cõ thº cho k → ∞, sau õ ε → ∞ º kát luên rơng
x∗(t) = x0 +
t
Z
0
f(s,x∗[s],u∗(s))ds.
Do õ, x∗[ã] l phÊn hỗi ối vợi u∗(ã).
Nhên x²t 2.1.
1. PhÊn hỗi tối ữu cõ thº Ôt ữủc mửc tiảu 0 trữợc thới gian t1. Khi õ, nõ phÊi mĐt chi phẵ cao hỡn ho°c bơng.
2. ành lỵ 2.1 văn úng ối vợi b i toĂn cõ thới iºm Ưu cuối cố ành, nghắa l cÊ thới gian Ưu t0 v thới gian cuối t1 cố ành trữợc.
3. Chóng ta câ thº cho ph²p t0 thay êi trong [0, T].
4. Chúng ta cõ thº bọ hÔn chá thới gian trản mởt khoÊng cố ành [0, T], náu chúng ta ngưt phÊn hỗi khi nõ i quĂ lƠu, º ngôn t0 ho°c t1 trð th nh vổ hÔn. Vẵ dử náu t0 = 0 cố ành v t1 ch¿ hÔn chá bði t1 ≥ 0 thẳ ta cƯn giÊ sỷ f0(t,x,v) ≥ η(t) vợi t lợn v R∞
t0 η(t)dt = +∞. Náu t0 thay ời, chúng ta cƯn hÔn chá f0(t,x,v) ≥ η(t) vợi t Ơm v lợn, vợi Rt1
−∞η(t)dt= +∞.
5. Chựng minh cừa ành lỵ 2.1 thỹc hiằn ữủc m khổng cƯn thay ời cốt yáu náu tĐt cÊ cĂc phÊn hỗi th nh cổng ữủc yảu cƯu cõ giĂ trà trong
Khõa luên tốt nghiằp Ôi hồc nguyạn thà thỡ
mởt têp con compact xĂc ành cừa Rn. Trữớng hủp n y ổi khi ữủc gồi l " B i toĂn vợi hÔn chá hằ tồa ở pha". Ch¯ng hÔn chúng ta cõ thº yảu cƯu mởt Ănh giĂ tiản nghiằm cởng vợi
hi(x1, x2, ..., xn) ≤ 0, i = 1,2, ..., r.
ối vợi cĂc h m liản tửc hicử thº. iºm quan trồng l giỳ(t,x(t),u(t)), 0 ≤ t ≤ t1 trong mởt têp compact cố ành vợi tĐt cÊ cĂc phÊn hỗi th nh cổng.
6. Chựng minh cừa ành lỵ 2.1 khổng thay ời cỡ bÊn náu hẳnh lêp phữỡng ỡn và Ω - têp giĂ trà cừa cĂc iãu khiºn chĐp nhên ữủc - ữủc thay thá bði têp compact bián ờn liản tửc Ω(t,x) (tẵnh lỗi cừa Ω l khổng liản quan).
7. Ngữới ta cõ thº thảm số hÔng cõ dÔng φ(x[t1]) v max[t0,t1]ψ[x(t)] v o chi phẵ vợi φ, ψ liản tửc.
8. CÊ hai trÔng thĂi Ưu x0 v trÔng thĂi mửc tiảu T (t) ≡ 0 cõ thº ữủc thay thá bði cĂc têp õng khĂc rộng bián thiản liản tửc theo thới gian X0(t), X1(t) trong Rn.