ành lẵ 2.2. X²t b i toĂn (2.1) (2.2) trản mởt oÔn cố ành [0, T] vợi x0
 cho, T (t) ≡ 0 v f(t,x,u), f0(t,x,u) liản tửc. GiÊ sỷ ∆(T) 6= ∅ v cĂc phÊn hỗi th nh cổng thọa mÂn mởt Ănh giĂ tiản nghiằm (2.3). Náu thảm v o õ, têp cĂc iºm ˆf(t,x,Ω) = {(f0(t,x,v),fT(t,x,v))T |v ∈ Ω} l mởt têp lỗi trong Rn+1, thẳ tỗn tÔi mởt iãu khiºn tối ữu.
Trữợc khi chựng minh ành lỵ n y, chúng ta b n vã giÊ thiát vã tẵnh lỗi.
Vector ˆf thữớng ữủc gồi l vector vên tốc mð rởng.
Vẵ dử 2.4. [CĂc vẵ dử vã ˆf(t,x,Ω)]
a) X²t b i toĂn vổ hữợng x˙ = |u|12, C[u(ã)] =
t1
Z
0
|u(s)|12x(s)ds. Khi â
Khõa luên tốt nghiằp Ôi hồc nguyạn thà thỡ
Hẳnh 2.4:ˆf(t,x,Ω)
ˆf(t, x,Ω) = {(|v|12x, |v|12)| −1 ≤v ≤ 1} l lỗi (Hẳnh 2.4 a ).
b) Cho hằ vổ hữợng x˙ = u, C[u(ã)] =
t1
Z
0
[u(s)]2ds, ˆf(t, x,Ω) = {(v2, v)| −1≤
v ≤ 1} khổng lỗi (Hẳnh 2.4 b) m°c dũ f tuyán tẳnh v f0 lỗi.
c) Náu f(t,x,u) =A(t,x)u+g(t,x), f0(t,x,u) = a(t,x)Tu+g0(t,x) vợi A l ma trên cĐp nìn, g l n - vector, a l m - vector v g0 l giĂ trà thỹc thẳ ˆf(t,x,Ω) = {(aTv+ g0, Av + g)| v ∈ Ω} l lỗi. Do õ ành lỵ 2.1 phừ cÊ
trữớng hủp khi f v f0 ãu l tuyán tẵnh theo iãu khiºn.
Ngữới ồc cõ thº nhẳn thĐy tứ Vẵ dử 2.4 rơng giÊ thiát " ˆf(t,x,Ω) l lỗi "
l mởt phĂt biºu hẳnh hồc vã mối quan hằ giỳa f0 v f. GiÊ thiát n y khổng suy ra ữủc f0 ho°c f l cĂc h m lỗi cừa u (Vẵ dử 2.4 a), v ngữủc lÔi cụng khổng úng ( Vẵ dử 2.4 b).
Chựng minh. Nhữ Â b n luên trong chựng minh cừa ành lỵ 2.1, phiám h m chi phẵ C[u(ã)] bà ch°n dữợi trản têp ∆(T) cĂc phÊn hỗi th nh cổng. Do õ, c = inf∆C[u(ã)] tỗn tÔi. Gồi {uk(ã)} l mởt dÂy cỹc tiºu cừa C[u(ã)] :
C[uk(ã)] ≡ck ↓ c.
Vợi iãu khiºn bĐt ký u(ã) ∈ ∆(T) ta xĂc ành vector phÊn hỗi mð rởng trong Rn+1
xˆ =
"
x0 x
#
, trong â x˙0 = f0(t,x,u), x0(0) = 0,
Khõa luên tốt nghiằp Ôi hồc nguyạn thà thỡ
khi â x0[t] =
t
Z
0
f0(s,x[s],u(s))ds, x0[t1] = C[u(ã)]. Mội c°p (uk(ã), xˆk[ã]) xĂc ành trản mởt khoÊng [0, t1(k)] v ta cõ thº giÊ sỷ rơng t1(k) → t1 ≤ T.
BĐt cự khi n o m t1(k) < t1 ta mð rởng xˆk[ã] lản [t1(k), t1] bði vector khổng êi xˆk[t1(k)].
ởng lỹc cừa hằ mð rởng l dˆx
dt = ˆf(t,x,u), x(0) =ˆ
"
0 x0
#
, trong â ˆf =
"
f0 f
#
Chúng ta s³ ch¿ ra rơng cõ mởt phÊn hỗi xˆ∗[t] cừa hằ n y thọa mÂn ˆ
x∗[t1] =
"
c 0
# ,
cõ nghắa l iãu khiºn liản kát u∗(ã) l tối ữu. Chựng minh ữủc thỹc hiằn bði cĂc mằnh ã sau Ơy:
i) DÂy {ˆxk[ã]} bà ch°n ãu v liản tửc ỗng bêc trản [0, t1] vẳ vêy mởt dÂy con (văn kỵ hiằu l {ˆxk[ã]} ) hởi tử ãu án mởt giợi hÔn liản tửc xˆ∗(t). Vẳ ˆ
xk[t1(k)] = (ck,0)T, v t1(k) → t1, nản ta cõ xˆ∗(t1) = (c,0)T. Náu xˆk[ã] l mởt phÊn hỗi thẳ nõ tối ữu.
ii) H m xˆ∗[t] l liản tửc tuyằt ối v R
A
dˆxk dt → R
A
dˆx∗
dt vợi mồi têp con o
ữủc A cừa [0, t1]. ( Tữỡng ữỡng: dˆxk
dt hởi tử yáu trong L2[0, t1] án dˆx∗ dt , nghắa l
t1
Z
0
φ(t)dˆxk
dt →
t1
Z
0
φ(t)dx∗
dt , vợi mồi φ(ã) ∈ L2[0, t1]. ) iii) H m xˆ∗[t] thọa mÂn phữỡng trẳnh vi phƠn suy rởng
dˆx∗
dt ∈ ˆf(t,x∗(t), Ω) vợi 0 ≤t ≤ t1.
iv) ( Bờ ã Fillipov) Tỗn tÔi mởt iãu khiºn u∗ ∈ Um[0, t1] sao cho dˆx∗ dt = ˆf(t,x∗,u∗). Do õ u∗(ã) l tối ữu vợi phÊn hỗi x∗[t].
Khõa luên tốt nghiằp Ôi hồc nguyạn thà thỡ
CM
i) Vẳ ˆf l liản tửc, {dˆxk
dt } bà ch°n ãu trản [0, t1], vợi xˆk[0] = (0,x0)T nản {ˆxk[ã]} bà ch°n ãu v liản tửc ỗng bêc. Chúng ta chồn mởt dÂy con ( văn kỵ hiằu l {ˆxk[ã]} ) hởi tử ãu trản [0, t1] án mởt giợi hÔn liản tửc xˆ∗(ã). Nhữ
nhên x²t trản, xˆ∗(t1) = (c,0)T.
ii) ành nghắa ˆfk[s] ≡ ˆfk(s,xk[s],uk(s)). Khi õ vẳ xˆk(t) = ˆx0 +
t
Z
0
ˆfk[s]ds,
nản ta cõ |ˆxk[t]−xˆk[t0]| ≤ l.|t− t0| trong õ l l hơng số bĐt ký thọa mÂn:
|ˆf(t,x,u)| ≡ |f0(t,x,u)| + |f(t,x,u)| ≤ l trản [0, T]ì[−α, α] ì[−1,1]. Do õ xˆ∗(t) l liản tửc tuyằt ối trản [0, t1], vẳ vêy dˆx∗
dt tỗn tÔi hƯu khưp nỡi v khi k → ∞
xˆk[t]≡ xˆ0 +
t
Z
0
ˆfk[s]ds → xˆ∗(t) = ˆx0 +
t
Z
0
dˆx∗ ds ds.
iãu n y cõ nghắa l
t
Z
0
ˆfk[s]ds →
t
Z
0
dˆx∗
ds ds vợi bĐt ký 0 ≤ t ≤ t1, iãu n y suy ra R
I
ˆfk → R
I
dˆx∗
ds vợi khoÊng bĐt ký I ⊂ [0, t1]. iãu õ k²o theo R
A
dˆxk dt ≡ R
A
ˆfk → R
A
dˆx∗
ds vợi bĐt ký têp o ữủc A ⊂ [0, t1].
iii) °t S = {t | dˆx∗
dt ∈/ ˆf(t,x∗(t),Ω)}. Chúng ta muốn ch¿ ra rơng ở o cừa S l 0, |S| = 0. GiÊ sỷ ngữủc lÔi, |S| > 0 vẳ vợi mội t ∈ S, têp ˆf(t,x∗(t),Ω) lỗi v compact nản cõ vector b(t)ˆ v số α(t) sao cho siảu ph¯ng P(t) = {ˆx | < b,ˆ xˆ >= α} t¡ch dˆx∗
dt vợi têp n y trong Rn+1 (Hẳnh 2.5). Do õ ( xem phử lửc toĂn) bˆTdˆx∗
dt > α, bˆTˆf(t,x∗(t),v) ≤ α vợi v ∈ Ω, vẳ vêy
Khõa luên tốt nghiằp Ôi hồc nguyạn thà thỡ
Hẳnh 2.5:(n = 2)
bˆT(t)dˆx∗
dt > max
v∈Ω
bˆT(t)ˆf(t,x∗(t),v)
≥ lim
j→∞sup ˆbT(t)ˆf(t,x∗(t),uj(t)) (2.4)
= lim
j→∞sup ˆbT(t)ˆf(t,xj(t),uj(t))
(do ˆf liản tửc v xj[t] → x∗(t) ãu). Vẳ bĐt ¯ng thực trản l ng°t, nản ta cõ thº giÊ sỷ b(t)ˆ gỗm to n cĂc phƯn tỷ hỳu t. Têp tĐt cÊ cĂc vector cõ thº b(t)ˆ l khổng ám ữủc, trong khi |S| > 0, do õ cõ mởt vector cố ành bˆ0 thọa mÂn (2.4) trong mởt têp A ⊂ S,|A| > 0. Do õ (nhợ rơng dˆxj
dt = ˆf(t,xj,uj)) Z
A
bˆT0(dˆx∗ dt ) >
Z
A
j→∞lim sup ˆbT0ˆf(t,xj,uj)dt > lim
j→∞sup Z
A
bˆT0 dˆxj dt ,
(bĐt ¯ng thực cuối l do Bờ ã Fatou). Những iãu n y mƠu thuăn vợi sỹ hởi tử yáu cừa dˆxj
dt án dˆx∗
dt . Do â, dˆx∗
dt ∈ fˆ(t,x∗[t],Ω) hƯu khưp nỡi v vẳ vêy chúng ta cõ thº xĂc ành lÔi dx∗
dt trản mởt têp cừa ở o 0 v bọ qua chỳ h¦u khp nìi.
Cuối cũng º chựng minh iv) chúng ta phĂt biáu v chựng minh:
Khõa luên tốt nghiằp Ôi hồc nguyạn thà thỡ
Bờ ã 2.1. Bờ ã Fillipov. Cho Ω ⊂Rm l compact, g(t,ˆ u) l h m liản tửc tứ RìΩ v o Rn+1. GiÊ sỷ ψ(ã)b l mởt h m o ữủc bà ch°n tứ R v o Rn+1 vợi ψ(t)b ∈ g(t,ˆ Ω). Do õ cõ mởt h m o ữủc u(ã) vợi u(t) ∈ Ω vợi ∀t, sao cho ψ(t) = ˆb g(t,u(t)).
Mằnh ã iv) Suy ra tứ bờ ã n y bơng cĂch lĐy ψb = dˆx∗
dt ,g(t,ˆ u) = ˆf(t,x∗(t),u).
Chựng minh Bờ ã Fillipov: Vợi t∈ [0, t1] cố ành, °t
C = {v ∈ Ω | ψ(t) = ˆb g(t,v)} khĂc rộng. Gồi C1 l têp con cừaC gỗm nhỳng vector v cõ v1 nhọ nhĐt cõ thº. Do Ω l têp compact v gˆ liản tửc, nản C l compact v C1 khĂc rộng. Gồi C2 l têp con cừa C1 gỗm nhỳng vector v sao cho v2 nhọ nhĐt cõ thº. Tiáp tửc quĂ trẳnh n y, chúng ta thu ữủc mởt têp khĂc rộng Cm. º ỵ rơng Cm ch¿ gỗm mởt vector, v chúng ta xĂc ành u(t) l vector n y.
Chúng ta ch¿ ra rơng h m u(ã) l o ữủc trản [0, t1]. Ta chựng minh iãu n y bơng cĂch ch¿ ra Lα = {t| u1(t) ≤ α} õng vợi mồi số thỹc α ( quy nÔp theo cĂc th nh phƯn cừa u ta cõ iãu phÊi chựng minh). Ưu tiản chúng ta chú ỵ rơng, theo ành lỵ Lusin vợi mồi số nguyảnk > 0,ψ(t)ˆ liản tửc trản têp con õngFk cừa[0, t1]vợi |[0, t1] Fk| < 21k. Chúng ta s³ ch¿ raLα∩Fk l õng vợi mồi α v số nguyản k > 0. GiÊ sỷ trĂi lÔi, khi õ cõ dÂy {tj} ⊂ Lα ∩ Fk hởi tử án t /∈ Lα ∩ Fk, u1(tj) ≤ α < u1(t). Vẳ Fk õng, t ∈ Fk v vẳ Ω compact, nản ta cõ thº giÊ sỷ rơng dÂy vector {u(tj)} hởi tử án mởt giợi h¤n v ∈ ω. Khi â u1(tj) →v1, v1 ≤ α < u1(t).
BƠy giớψ(tb j) →ψ(t)b vẳψ(ã)b liản tửc trảnFk.Cụng thá,ψ(tb j) = ˆg(tj,u(tj)) vẳ vêy
ψ(t) = ˆb g(t,v), vợi
v1 ≤α < u1(t).
Khõa luên tốt nghiằp Ôi hồc nguyạn thà thỡ
iãu n y mƠu thuăn vợi cĂch xƠy dỹng u(ã), vêy Lα∩ Fk õng vợi mồi α v k.
Do õ Lα∩ Fk o ữủc v vẳ vêy S∞
k=1
(Lα∩ Fk) = Lα∩(
∞
S
k=1
Fk) o ữủc.
Nh÷ng S∞
k=1
Fk khĂc vợi [0, t1] mởt têp cừa ở o khổng, vẳ Lα∩(
∞
S
k=1
Fk) kh¡c vợi Lα∩ [0, t1] mởt têp o ữủc nản Lα cụng o ữủc.
CĂc nhên x²t sau chựng minh ành lỵ 2.1 cụng úng vợi ành lỵ 2.2.
GiÊ thiát trong ành lỵ 2.2: ˆf(t,x,Ω) l mởt têp con lỗi cừa Rn+1. K²o theo iãu õ dạ thĐy nhớ lêp luên phÊn chựng cĂc têpf0(t,x,Ω) v f(t,x,Ω) tữỡng ựng lỗi trong R v Rn. Hằ quÊ sau ành lỵ 2.2 ch¿ ra rơng bĐt cự khi n o f(t,x,Ω) l lỗi thẳ têp khÊ Ôt K(t;x0) l lỗi, compact v liản tửc theo t.
Hằ quÊ 2.1: Cho b i toĂn (2.1), (2.2), dữợi cĂc giÊ thiát cừa ành lỵ 2.2, têp khÊ Ôt K(t;x0) l compact v bián thiản liản tửc theo thới gian.
Chựng minh. Tẵnh lỗi nhên ữủc ngay tứ cổng thực phÊn hỗi x[t] = x0 +
t
Z
0
f(s,x[s],u(s))ds v tẵnh lỗi cừa f(s,x[s],Ω).
Vẳ cĂc phÊn hỗi thọa mÂn mởt Ănh giĂ tiản nghiằm nản têp K(t,x0) bà ch°n. º ch¿ ra K(t,x0) õng, nản compact ta lĐy {xk} ⊂ K(t,x0) vợi xk → x∗ ∈ Rn. Khi õ mội xk l giĂ trà cừa mởt phÊn hỗi xk[s] tÔi s = t. BƠy giớ chúng ta l°p lÔi chựng minh cừa cĂc Mằnh ã (i)-(iv) cừa ành lỵ tứng tứ mởt, ch¿ bọ kỵ hiằu mụ, tực l ta l m viằc vợi x[t],f(t,x,u) chự khổng phÊi x[t],ˆ ˆf(t,x,u). Kát luên rơng dÂy cừa cĂc phÊn hỗi {xk[s]} hởi tử án mởt h m x∗(s) vợi x∗(t) = x∗, v x∗(s) thỹc sỹ l phÊn hỗi cừa mởt v i iãu khiºn chĐp nhên ữủc, tực l x∗ ∈ K(t,x0).
º chựng minh K(t;x0) l liản tửc, chúng ta phÊi ch¿ ra rơng K(t;x0)
ữủc chựa trong mởt ε− lƠn cên cừa K(t∗,x0) v ngữủc lÔi vợi |t−t∗| nhọ.
Khõa luên tốt nghiằp Ôi hồc nguyạn thà thỡ
BƠy giớ cho trữợc mởt iãu khiºn ta cõ:
|x[t]−x[t∗]| ≤
t∗
Z
t
|f(r,x[r],u(r))|dr < ε náu |t−t∗| < δ(ε).
( Náu iãu khiºn ch¿ tỗn tÔi trản oÔn ngưn hỡn cĂc oÔn [0, t],[0, t∗] thẳ chúng ta cõ thº mð rởng nõ bơng 0 v văn cõ |x[t] −x[t∗]| < ε vợi |t−t∗| nhọ). Do õ K(t;x0) ữủc chựa trong mởt ε− lƠn cên cừa K(t∗,x0) vợi bĐt ký t∗ ừ gƯn t, v ngữủc lÔi.
Cuối cũng, chúng ta trẳnh b y v khổng chựng minh mởt ành lỵ tỗn tÔi tờng quĂt hỡn nhiãu so vợi ành lỵ 2.2. Thay cho têp ˆf(t,x,Ω) chúng ta x²t siảu têp:
Q+(t,x) = {(y0,yT) | vợi mởt số v ∈ Ω, y = f(t,x,v), y0 ≥ f0(t,x,v)}
Vẵ dử 2.5. X²t b i toĂn vổ hữợng x˙ = x+u, C[u(ã)] =
t1
Z
0
[u(s)]2ds.
Khi õ (Hẳnh 2.6 ) vợi bĐt ký (t, x) :
Q+(t, x) = {(y0, y) |y = x+v, y0 ≥ v2 vợi mởt v ∈ Ω}.
Chú ỵ rơng ˆf(t, x,Ω) khổng lỗi trong khi Q+(t, x) lỗi
Náuˆf(t,x,Ω) lỗi, thẳ Q+(t, x) cụng lỗi. Tuy nhiản nhữ vẵ dử trản ch¿ ra iãu ngữủc lÔi khổng úng. Do õ ành lỵ sau tờng quĂt hỡn ành lỵ 2.2.
ành lẵ 2.3. X²t b i toĂn (2.1), (2.2) trản mởt oÔn cố ành [0, T]. GiÊ sỷ rơng ∆(T) 6= ∅ v tĐt cÊ cĂc phÊn hỗi th nh cổng x[ã] thọa mÂn mởt Ănh giĂ tiản nghiằm (2.3). GiÊ sỷ f liản tửc, f0 nỷa liản tửc dữợi, v Q+(t,x) lỗi vợi (t,x) ∈ [0, T]ì {|x| ≤ α}. Do õ tỗn tÔi mởt iãu khiºn tối ữu.
Mởt vẵ dử quan trồng vã lợp b i toĂn Ăp dửng ữủc ành lỵ 2.3 l hằ tuyán tẵnh vợi chi phẵ bêc hai:
˙
x = A(t)x+B(t)u+b(t),
Khõa luên tốt nghiằp Ôi hồc nguyạn thà thỡ
Hẳnh 2.6: Q+(t, x)vợi (a) x= 0, (b)x= 1
C[u(ã)] = λ1
t1
Z
0
|x[t]−y(t)|2dt+ λ2
t1
Z
0
|u(t)|2dt,
trong õ y(t) Â cho. Chi phẵ o ở lằch bẳnh phữỡng trung bẳnh cừa x[t] so vợi mởt quÿ Ôo mong muốn y(t) cụng nhữ nỡi tiảu thử nhiản liằu ( giÊ
sỷ t lằ thuên vợi |u(t)|2 ). ành lỵ 2.2 khổng Ăp dửng ữủc cho b i toĂn n y - l tẳnh huống trong Vẵ dử 2.4 (b), trong õ f0 l bêc hai, cỏn f l tuyán tẵnh theo iãu khiºn. Tuy nhiản, ành lỵ 2.3 Ăp dửng ữủc cho b i toĂn n y.