a) Cho L - không gian vectơ hữu hạn chiều trên trường K. L đuợc gọi là dại số Lie (trên K) nếu trong L có thêm luật hợp th à n h (X, Y) -> [X, Y] thỏa các tiên đề :
(i) Tuyến tính.
[ccX + pY, z] = a[x, z] + p[Y, Z] Va, p e K
X, Y, z e L (ii) P h ản xứng :
[X, Y] = - [Y, X]
(iii) K ết hợp Jacobi :
rx.tY .zn + [Y,[Z,X]] + [Z,[X,Y]] = 0 .
Luật hợp th à n h nói trê n [X,Y] còn được gọi là phép nhân Lie. Rõ ràn g phép n h ân Lie nói chung là không kết hợp theo nghĩa thông thường.
Nếu K là trường số thực R (phức C) thì L tương ứng là đại sô Lie thực (phức). Đại số Lie là giao hoán (Abel) nếu IX.Y] = 0 V X,Y.
Xét 2 tập con M, N các vectơ trong L và ký hiệu [M, N] - tập (bao t u y ế n tính) các vectơ dạng [X, Y], X e M, Y e N. Nếu M, N - không gian con tuyến tính của L thì :
[Ml + M2, N] c [Ml, N] + [M2) N]
[M, N] = [N, M]
[U M , NI] c [M, [N,L]] + [N,[L,M]]
Ta dễ dàng kiểm nghiệm các hệ thức này bằng cách sư dụng 3 tiên đề trê n kia.
Không gian con N c L dược gọi là đại số con nếu ỊN, N] c N, và ideal nếu [L, N] c N. Dĩ n h iê n ideal tự động là đại số con.
Ideal cực đại N thỏa điều kiện [L, N] = 0 được gọi là tâm của đại số L, và vì [N, N] = 0 n ên tâ m bao giờ cũng giao hoán.
Đại số Lie được gọi là đơn nếu như nó không có ideal nào khác với chính nó, và nửa đơn nếu nó không có ideal giao hoán nào kể cả chính nó.
Đại số Lie 1 chiều L’ = {aX laeR , X - p h ần tử cố định 6 L) dĩ nhiên là đơn vì mọi ideal khác 0 của nó đều trù n g với chính nó, nhưng lại không là nửa đơn vì b ản th â n L' là một ideal giao hoán. Ngoài đại số đặc b iệ t này mọi đại số Lie đơn đều đồng thời là nữa đơn.
b) Trong không gian n chiều L cho hệ vectơ cơ sở leih i = 1,..., n. Ta có
X = x' e,
Tích Lie Z = [X,Y] = Z1e¡ có th ể diễn tả qua th à n h phần như sau :
¿ - [X, YV = cịkx jy k
<*ô>¿4iT'
^ với lej’ ekJ = cjke i ; các lượng Cjk được gọi là các hằng số cấu trúc.
Từ các tiê n đề (ii), (iii) ta dễ dàng thấy :
< Cjk - ckj ằ
c Fsc jk + c j>sc ki + c L c y = 0-
Ngoài ra sự tồn tạ i của dại số Lie con và ideal của đại số L dẫn đến các h ạ n chế thêm lên các hằng số cấu trúc.
Cụ th ể nêu hệ cơ sở của dại số con là {ei, ek|, k < n thì cfj = 0 với i, j :£ k, s > k.
Còn nêu đó là hệ cơ sớ của ideal thì cfj = 0 với i < k, s > k, j b ấ t kỳ.
Ví dụ :
1. Cho L - tập các m a tr ậ n 2 x 2 phản H erm ite có vết
= 0. Thứ nguyên n = 3. Chọn hệ cơ sở
và định nghĩa phép n h ân Lie [X, Y] = XY - YX (giao hoán tử).
Dễ dàng thấy rằn g các tiên đề (i), (ii), (ni) được thỏa, và
[ei, ekl = Eiid ei
£iki - tenxơ hoàn toàn phỗn xứng. Các m a trậ n
Đại sô Lie trên đây được ký hiệu là su(2) hay 0(3).
2. Cho L - tập các m a trậ n thực n X n trê n trường R.
Với phép nhân Lie như trong ví dụ trê n , L cũng là m ột đại sò Lie, gọi là đại sô L ie thực tuyến tín h tổng quát, ký hiệu g](n. R).
Tập con M = |X |X T = - X} cũng kín đối với phép nhân Lie đó, do đó là đại số con, ký hiệu 0(n). Đối với tập con N = (Âl| ta có ngay
[gl(n,R),N] = 0
tức N là đại số con 1 chiều nằm tro n g tâm của đại số gl(n,R).
3. Mở rộng phức của đại S<J Lie gl(n,R) là đại số Lie phức tuyến tinh tổng quát gl(n,C). T ập con các m a trậ n phức n X n với vết = 0 là m ột đại số con của gl(n,C), ký hiệu sl(n.C) hay A„_1.
4. Cho <!>(Ê,, rỗ) - dạng song tuyến tớn h trong khụng gian vectơ phức m chiều vm . Các phép biến đối tuyên tín h X tác dụng trong V"1 và thỏa điều kiện
<t>(X4, r|) + <t>(Ç,Xri) = 0 V £ ,,rie V m
tạo nên một đại số Lie L. T h ật vậy nếu điều kiện trê n thỏa đối với X và Y thì
ộ([x,Y]‘ ,n) = ôKXYạ>n ) - ộ ( Y x ạ ,n )
, -<í>(¡í,[x,Y]n). ĐPCM
Nếu dạng <|) là không suy biến, tức nếu <ị>(4, r|) = 0 Vr| =>4 = 0 íhoặc i a¡j I * 0, với <ị> = 4' a¡j <1J ) và đối xứng, thì L được gọi là đại số Lie trực giao. Với m = 2n+ l, n = 1,2,...
ta ký hiệu các dại số này là 0(2n+l, C) hay Bn, còn khi m = 2n : 0(2n,C) hay Dn.
Các đại sô liên quan với dạng (ị) phản xứng (chỉ tồn tại với m chắn) được gọi là các đại sổ Lie symplectic sp(n,C) hay c„, rn = 2n.
$2. ĐẠI SỐ LIE VÀ NHÓM LIE.
a) Cho v¡, i = 1,..., k - các không gian vectơ, và xét tập D = Idl,
T.k
d = X v i > V ị G v i •
i = l
Nếu mỗi vectơ d e D đều biểu diễn được duy nhất dưới dạng này thì ta nói D là tổng trực tiếp các không gian vectơ (con) Vi :
D = X ị Vi .
Nếu đại số Lie L với tư cách không gian vectơ được viêt dưới dạng tổng trực tiếp các không gian Lị, và ngoài ra
|Lj, Lj| c Lị, [Lị, Lj] = 0, i, j = l,...,k
thì đại sô Lie L được gọi là tổng trực tiếp các đại số Lj : L = X © Li
Rõ ràng các đại số con Li là các ideal trong L. Ngoài ra, nêu N là ideal trong Li nào đó thì nó cũng là ideal t ro n g L
b) Cho N - đại số con của L. Ta đưa vào hệ thức trong L
X a Y (mod N)
khi X - Y G N, hay X = Y + n, n G N. Hệ thức n ày th ỏ a (i) X a X
( ii) X a Y = > Y a X (iii) X a Y , Y a Z = > X a Z
tức là môt quan hệ tương đương. Vì vậy to àn bộ đại số L dược phân th à n h các lớp rời nhau K[X] = X + N gồm các phần tử tương đương.
Trường hợp N là ideal th ì ta dễ d àn g th ấ y được là tậ p các lớp {K[X]1 thỏa điều k iện của m ột đại số Lie, gọi là đại số factơ của L theo N, ký hiệu L/N.
Ví dụ : Cho p — đại sô Poincaré với các hệ thức n h â n Lie :
[Mmv , M pr, ị= g upM vo + g vơ-^up — g vp^no — g|iơM vp [M ,.v.P<t] = gv0P„ -g p a P v
[Pu>Pv] = 0 . P, V,p,ơ = 0 ,1,2,3.
ơ đây = - Mni, gMk = diag (1, - 1 , - 1 , - 1 )
Tập t 4 = {p^Ị là ideal trong p. Đưa vào quan hệ tương đương X ^ Y (mod t 4), X, Y e p thì tập các lớp tương đương KlXI = X + t4 sè tạo nên dại số - factơ p /t4, đẳng cấu so (3,1 ) - đại số Lorentz.
Bây giờ giả th iế t đại số Lie L có m ột đại số con B và một ideal J , đồng thời không gian L là tổng trực tiếp của 2 không gian B và J . Khi đó đại số L là tổng nửa trực tiếp của dại số con B và ideal J :
L = J +> B
Ví dụ : Đại số Poincaré p là tổng nửa trực tiếp p = t 4 +)S0 (3,1).
c) Trong-bài trước ta đã thấy các vi tử của nhóm Lie G tẹo nên đại SÔ Lie L cùa nhóm G.
Người ta chứng m inh được :
- Đại số Lie cúa nhom Lie đèn {nửa đơn) cũng \ầ đại số dơn (nửa dơn).
- Đại số Lie L' của nhóm Lie con G' c G là đại số con L' c L, còn đại sô N của nhóm con b ât biên H <1 G sẽ là ideal của L.
- Đại số Lie cúa một tích trực tiếp (nửa trực tiếp) cua 2 nhóm Lie là tông trực tiếp (nửa trực tiếp) của 2 đại số Lie tương ứng. Điều ngược lại cùng dung.
Nói cách khác đại sô Lie của nhóm Lie hoàn toàn được xác định bới nhóm Lie đó. Tuy nhiên ngược lại đại số Lie chỉ xác dịnh nhóm Lie sai khác một phép đẳng cấu dịa phương, tức có nhiều nhóm Lie cùng nhận 1 đại số Lie làm đại sô Lie cúa m ìn h t và các nhóm này đẳng cấu địa phương với nhau. Người ta c h ứ n g m i n h được rằng tương ứng với 1 đại sô Lie cho trước có tồn tại một nhóm Lie đơn liên lớn n h ấ t G , gọi là nhóm ph ủ p h ổ dụng y nhân đại sô đó làm đại
số Lie cùa m ình. Các nhóm Lie liên , th ô n g khác G, ứng cùng đại số Lie đó đều có dạng
Gi = GA/i,
với '2\ - tấ t cả những nhóm con rời rạc, giao h o án thuộc tâm của G.
V i dụ :
1. Tâm của nhóm s u (3) gồm các m a trậ n dạng e1<pl3,
(Ọ = . do đó nhóm con rời rạc cực đại của tâ m chỉ có th ê
3 '
là nhóm Z 3 gồm các căn bậc 3 của đơn vị. B án th â n s u (3) là đơn liên và là 1 nhóm phủ phố dụng. Đế tìm những nhóm liên thông có cùng đại sô Lie ta cần tìm t ấ t cả các nhóm con rời rạc; ở đây chỉ duy n h á t có Z3. Vậy tấ t cá những nhóm liên thông phải tìm là :
G = SU(3I . Gj = S U ( 3 ) /Z 3.
2. Xét S U (4), các nhóm con giao h o án rời rạc là
z 4 = 11, -1. i, - il 3 z2 = 11, -11
vì vậy các nhóm liên th ô n g có cùng dại sô Lie là : G = su<4) , Gị = SU(4) / z4 , G 2 = SU(4) / z2
§3. BIỂU DIỄN ĐẠI SỐ LIE.
a) Gọi L - dại số Lie của nhóm Lie G. ứ n g với X e L ta co t o á n tư D(X) tu y ế n t í n h tá c d ụ n g t r o n g m ột k h ô n g g ian vectơ n à o đó. A n h x ạ X D(X) sè là m ột biểu dien cua L nếu
D(ẦiXi + A.2X2) = A,ịD(Xi) + A.2D1X2), D([Xlf X2J) = [D(Xi), D(X2)] , Xx , X 2 6 K
Ta dễ dàng th ấy ngay rằn g nếu g h-> D(g) là m ột biểu diễn cùa nhóm G th ì Xi D(Xi) s Yị, Xi - vi tử của nhóm G, là m ột biểu diễn của đại số L của nhóm Lie đó, và ngược lại. Việc xác định biểu diễn nhóm Lie qua biểu diễn của đại số Lie tương ứng là rấ t tiện lợi, vì cơ sở của đại số Lie chi gồm m ột số hữu h ạn các phần tử độc lập. Chẳng h ạn trong trường hợp nhóm SO(3) đại số Lie tương ứng gồm 3 phẩn tứ độc lập Xi, X2, X3; ta chỉ cần tìm 3 toán tử biểu diễn
= D(X,), i = 1,2,3 là đủ. Biểu diễn cúa nhóm SO(3) sẽ dươc xấc ciliilợ qua
D[s(ai>a2>a3)] = exp|i(ai^i + <*2Y2 + a3Y3)Ị
b) Một trong các biểu diễn quan trọng của dại số Lie là biểu diễn p h ó, được định nghĩa như sau.
Cho đại số Lie L, và định nghĩa phép biến đổi trong không gian L.
X -> X' = (ad.A) X = [A,X], A,X,X’ € L Ánh xạ A (-) adA là một an h xạ đồng cấu, tức là
ad(/iA ịliB) = Ằ..adA + padB, ad[A ,B| = ỊadA ,adB Ị, e R
Nói cách k h á c , A ad.A thực h i ệ n m ộ t p h é p biêu d iền gọi là biểu diễn phó cúa đ ại sô Lie L. C ấ n chú ý L ờ đáv đong 2 vai trò : đối tươ ng được biếu d iễn vá k h ỏ n g g ia n bióu d iển .
Ta hãy tín h m a trậ n của biểu diễn phó ad.A tro n g cơ sớ x„ i = 1,..., r
Ta có :
A = a 'X j, X = xi Xj.
X X' = íad.A) X = [A,X1 = a ¡ x’rXiJXjl
= a ‘x, c-jXk , ck - h ằn g số cấu trúc M ặt khác, với X' = x,kXk ta th ấy ngay x’k = a'x* cỊj từ đây (ad.A )k = a icỊj
Nói riêng, với A = Xi : a* = ôị vá ( a d . X j ) ^ cỊj
c) Dạng K illing xác định trê n đại sô Lie được định nghĩa
(A,B) = (B,A) ĩ Sp(adA.adB) = (adA)Ă(adB)‘ , VA, l'ỉc L
Với A = a* x „ B = ỹ Xj :
( A ,B ) = gij a V
ơ dây m etric gij = c|í cjk - gj¿, còn được gọi là tenxơ Cartan.
Người ta chứng m inh được (C artan) :
<i) Điéu kiện cần và đủ dê m ột đại sô" Lie là nửa đơn la dang Killing xác định trê n nó là không suy biến ídet g * 0).
(ii) Điều kiện cần và đủ để m ột nhóm Lie là compăc là dạng K illing xác định trê n đại số Lie của nó là xác đ ịn h âm (ta có th ế chọn cơ sở sao cho gij = - 8ij). M ặt khác theo h ằn g đẳng thức Jacobi lượng Cjji = g ik C ji là hoàn to àn phản xứng đối với mọi cặp chỉ số, n ên đối vđi nhóm compăc ta có
cji = ~cijl
tức các h ằn g sô cấu trúc là hoàn to àn phản xứng. Ví dụ : e,ji của nhóm SO(3).
§4. ĐẠI SỐ KHẢ GIẢI, NILPOTENT.
a) Cho N - ideal của đại sô" L.
Ta có
ỊL,[N,N]] c [N,[L,N]] + [N,[N,L]] c [N,N]
tức [N, NI cũng là ideal của L. Nói riêng L là ideal của chính nó, do dó IL,L] cũng là ideal, có th ể nhỏ hơn L. Vì vậy có th ế xảy ra trường hợp là dãy các ideal
L(0) = L L(1> = [L101, L(0’], L<2) = [L(1), La>],... bị cắt dứt tại m ọt giá trị n nào dó, tức L(n> = 0
Đ ịn h n g h ĩa : Đại sô Lie L dược gọi là khả giải nếu với một giá trị n nguyên, dương nào đó ta có L(n) = 0.
Ví dụ : Xét đại sỏ Lie e(2) của nhóm chuyển động 2 chiều, bao gồm các phép tịn h tiế n trê n m ặ t p h ăn g và phép quay quanh trục th ẳ n g góc m ặ t phẳng. Các vi tử cua nhóm này thỏa
[Xi, x 2] = 0, [Xi, x 3] = x 2. [X3, x 2] = Xi
Ta thấy ngay :
L '1 = t" - đại sô Lie với p h ần tử Xi, Xa.
L'2’ = 0. Vậy đại số e(2) k h ả giải'
Tính chất k h ả giải là di truyền, có n g h ĩa là các đại số con cũng khá giải.
Đại sô khả giải luôn luôn có ideal giao hoán, cụ th ê là L'"“1': vì ÍL(n-,), L,n- 1,l = L 'n’ = 0.
b I Báy giờ x ét dãy các ideal
L(0) = L, L(1> = [L(0),L1, L(2i = [Lri,, Ll,...
Đ ịn h n g h ĩa : Đai số Lie L được gọi là nilpotent nêu với giá trị n nguỵên dương nào đó ta có L(ni = 0.
Ta kiểm nghiệm rằ n g Lm) <z L(nj.
T hật vậy ta có Lt0) = L(0); giả th iế t điều này đúng cho (n - 1 ) th ì
L"1’ = tL"1- 1’, L,n_1,l c [L<n-1),L] = L,n, ĐP_£M Như vậy đại số n ilp o ten t là k h á giải, nhưng điểu kháng định ngược lại nói chung không đúng. Ví dụ đại số e(2l nói trẽ n không nilpotent.
Mọi đại số nilpotent đều có tâm không tầm thường:
Li 111 = 0, Lm. 11 * 0
-rằ ỊL(„_1|, LI = 0 => L |„-1) — tõ m của L.
C I Như vậy lớp các dại số Lie k h á giải (chứa ideal giao hoán) trong một ý nghĩa náo đó là bồ sung cho lớp các đại sỏ nưa đơn (không có ideal giao hoán). Và do đó việc phân
loại tấ t cả các đại sô Lie quy về việc phân loại các đại số khá giải và các đại sô nửa đơn. Cụ th ê như sau.
Đối với dại sô Lie L b ấ t kỳ, nếu tồn tai một ideal N kha giải lớn n h ấ t sao cho mọi ideal k h ả giải khác cùa L dều chứa trong N, th ì N được gọi là radical. Hiển nhiên đại số Lie nứa đơn phải có radical N = 0. Người ta còn khắng định được là nếu N là radical của đại số Lie L thì đai số facto L/N sẽ là nửa đơn.
Vi dụ : dại số Poincaré p. Tập t 4 = IP J là radical cùa p. Đại số factơ M = p /t4 là nửa dơn (chính là đại 3Ố L orentz).
Ta cổ các đ ị n h iý :
Đ in h lý ĩ.átìi - M n ltso v :Cho L - đại sô Lie b ấ t kỳ (trêp trường R hay C) với radical N. Khi đó sẽ tồn tại đại sô con nứa đơn s của L sao cho L là tống nửa trực tiếp
L = N -ằs.
Người tạ thường gọi đáy là khai thức Levi cùa đại sô L, con đại sô con s - s ô hạng Lévi. Đ ịnh lý trê n ngầm hiếu là
|N ,N1 c N, [S,S1 c s, [N,S] c N.
Vi du : dại sô p có khai thức Lévi p = t4 -© M , M = so (3,1) Rò r a n g
| t \ t 'ì = O c t 4, (M.M1 c M, ft4. Ml c t 4
Đ ịn h lý C a r ia n : Đ ại sô" Lie nửa đơn có th ể kh ai triên th à n h tổng trực tiếp các đại số con đơn, trực giao từng đôi, và k h ai triể n này là duy n h ấ t.
“Trực giao” ở đây theo n g h ĩa “tích vô hướng”
(X, Y) = Sp(adX.adY) (dạng Killing).
Hai định lý trê n cho phép quy việc p h â n loại t ấ t cả các đại số Lie về việc:
- P h ân loại các đại số Lie k h ả giải, và - P h ân loại các đại số Lie (nửa) dơn.
Bài toán đầu mới chỉ giải quyết được từng ph ần , còn bài toán sau đã giải quyết được h o àn toàn.
§5. PH ÂN LOẠI CÁC Đ Ạ I s ố LIE N Ử A ĐƠ N
a) Dạng chính tắc của m ột đại số Lie ta th u dược bằng cách giải bài to án trị riê n g
[A, X] = sX ,
A = al Xi, X = bj Xj, |Xj, j = 1, M rl • hệ vi tử của dại số Lie L. Bài toán Ẹiky dẫn đến diều kiện
d e t | a l c Ị j - s 5 j ị = 0 ,
với cỊj - các hàn g số cấu trúc. Đây là phương tr ìn h đại số bậc r, với nghiệm là các tr ị riên g (phức) s, mỗi tr ị riêng dĩ
nhiên tương ứng với m ột vectơ riêng.
Đối với dại số Lie nửa dơn C artan đã chứng m ình rằng ta có thể chọn A sao cho phương trìn h dại sô trê n có một số tối da các nghiệm khác nhau. Khi đó :
(i) Nghiệm s = 0 là suy biến bậc 1, và 1 dược gọi là hạng của nhóm nửa đơn. Tương ứng ta có 1 vectợ riêng độc lập tuyến tín h H i, H2,..., Hi giao hoán từng cặp và
[A, Hj] = 0 , j = 1, ..., 1.
(ii) Các nghiệm s = a * 0 đều đơn (không suy biến); có tấ t r - 1 nghiệm a , tương ứng với các vectơ riêng Ea :
[A, E J = a E a.
Tập (Hjl lập nên m ột đại sô con giao hoán 1 chiều gọi là đại sô' Cartan.
[Hi, H k] = 0 , i, k = 1,2,..., 1.
N g oải r a , vì À giao h o á n Hi (tức Á cùng th u ộ c d ạ i số C artan) nên ta có th ể v iết :
A = H Hj, và tương tự a = yỉ dj.
Ta thu dược [Hj, Ea] = (Xj E a.
Bây giờ sử dụng h ằn g đẳng thức Jacobi ta dễ dàng thấy được là giao hoán tử [Ea, Ep] phụ thuộc trực tiếp vectơ a + p trong không gian 1 chiều, cụ th ể là
(iii) Nếu a + p không phải nghiệm : Ea và Ep giao hoán nhau,
(iv) a + p là nghiệm * 0 :
[Ea ,Ep] = NapEa + p.
( v ) a + p = 0 : [Ea ,Ep] e dại số C artan : [E(í, E_a ] = c^(_a)H j .
Các phần tử {Hj, E J thỏa các hệ thức trê n thường được gọi là hệ cơ sở C artan - Weyl của đại số’ Lie nửa đơn.
b) Biếu thức a = XẪai, i = 1,2,..., 1 được gọi là vectơ nghiệm với thành phần a, trong không gian trọng 1 chiều.
Hai tính chất cơ bản của vectơ nghiệm được th ể hiện trong định lý sau đây.
Đ ịn h lý : Nếu a, p là 2 nghiệm * 0 thì
0 p) A , *' , p
• 2 = p nguyên (sô nguyên C artan) (a, a)
• p - pa cũng là nghiệm .
Định lý trên đây giúp ta vẽ được các gián dồ nghiệm , mồi giản đồ tương ứng với m ột hệ vectơ nghiệm trong không gian trọng 1 chiều, từ đó có th ế phân loại được tấ t cả các đại sô Lie.
Trước hết xuất p h át từ 2 nghiệm 0) a , p ta định nghĩa 2 số nguyên C artan
p = 2
[ a , a ) q (a.P)
(P,P) từ đáy xác định góc giữa 2 nghiêm đo •
(u p ) 2 2 pq
( a , a ) ( p , p ) 4
Dễ dàng thấy trong phần tư thứ n h ấ t góc cọ chỉ có thê có giá trị 30°, 45'\ 60° và 90°; gọi ị\ nghiệm dài, ta co :
cp = 30° : (P,P> = 3 (a ,a ) cp = 45° : (P,P) = 2 (a ,a ) q) = 60° : (P, P) = ( a ,a )
ự) = 90° : (P, p) = không xác định.
P h ầ n th ứ hai của định lý chỉ th ể hiện phép đối xứng lên gian dồ nghiệm .
H iến n h iên với số chiều của không gian trọng 1 > 2 ta không th ế vẽ các giản đồ nghiệm trê n m ặt phẳng dược. Tuv nhiên việc suy rộng cho các trường hợp này là không có gì khó kh ăn , và C artan và những người khác đà thực hiện việc phân loại hoàn toàn các đại số Lie đơn th à n h 4 lớp chính và 5 dại số ngoại lệ. Các lớp chính là :
- Ai : 1(1 + 1) nghiệm * 0 cùng môđun.
Thứ nguyên r = 1 (nghiệm 0) + 1(1 + 1) = 1(1 + 2).
- Bi : 21 nghiệm ngắn. 21(1-1) nghiệm dài. Thứ nguyên r = 1 + 21 + 21(1 - 1) = 1(21 + 1)
- C| : 21 nghiệm dài. 21(1 - 1) nghiệm ngán. Thứ nguyên cũng là r = 1(21 + 1).
- Dị : chi 21(1—1) nghiệm cùng môđun.
Thứ nguvén r = 1 + 21(1 - 1) = 1(21 - 1).
Bằng phép quay trong không gian trọng ta thấy được một số dẳng câu giữa các dại số Lie thuộc 4 lớp trên.
1 = 1 : Ai ~ Bi ~ c 1
1 = 2 : B2 ~ C2 1 = 3 : A3 ằ D3
Ngoài ra D2 ằ Ai đ Ai , tức D2 k h ụ n g đơn.
5 đại số Lie ngoại lệ (exceptional) là :
- G2 : h ạn g 1 = 2; ngoài 8 nghiệm của A2 còn th ê m 6 nghiệm khác nữa. T hứ nguyên r = 14.
- F4 : 1 = 4 ; 36 nghiệm của B4 + 16 nghiệm khác.
Thứ nguyên r = 52.
- Ee : 1 = 6 ; r = 78
- E7 : 1 = 7; 63 nghiệm của A7 + 70 nghiệm khác. Thứ nguyên r = 133
- Es : 1 = 8; 120 nghiệm của Ds + 128 nghiệm khác.
Thứ nguyên r = 248.
c) Ta hãy xét kỹ th êm các nghiệm . M ột nghiệm được gọi là dương nếu trong m ột hệ cơ sở b ấ t kỳ nào đó tọ a độ đầu tiên * 0 của nó là dương. Ví dụ tro n g 8 nghiệm = 0 ứng với đại số B2 có 4 nghiệm dương : (1, 0), (1, 1), (0, 1), (1, - 1). Nói chung m ột nửa số nghiệm khác không tro n g gian đồ nghiêm là dương.
Một nghiệm được gọi là đơn nếu nó là dương và không thê phân th à n h tổng của 2 nghiệm dương được.
Trong trường hợp B2, ta có
<1, 0) = (1, -1) + (0. 1); (1, 1) = (1, 0) + (0, 1)