a) Ta dà b iết m a trậ n biểu diễn của nhóm S0(3) có thế viết dưới dạng
D [ s ( a l > a 2 > a 3 ) ] = + a 2 Y 2 + CX3Y3)}
với Yj = D(Xj) và thỏa cùng hệ thức giao hoán như các Xj.
Vì SO(3) là compăc nên ta chỉ xét các biểu diễn unita, đối với các biểu diễn này, như đã thấy, các ma trậ n Yj là tự liên hợp.
Yì1 j = Yi1 j
Tương tự trên kia, đ ặt Y+ = Yi + 1Y2, Y- = Yi - iY2 và ký hiệu v„, là vectơ riêng của Y3 ứng với trị riên g m :
Y3vm = mvm.
Từ các hệ thức giao hoán giữa Y+, Y. và Y3 ta sẽ xác đỉnh hệ toàn bộ các voctơ vm . Ta có :
Y3Y. vm = (Y4y8 + Y. )vm = Y+(rnvm + v m ) =
= (m + l)Y ^vm Đối với Y_vm ta cũng có
Y3Y-Vm = (m - 1) Y_vm
Điều này có nghĩa Yt vm cũng là hàm riên g của Y3, với trị riêng tương ứng là m ± 1, tức Y+ làm tă n g tr ị riê n g lên 1 dơn vị, còn Y- làm giảm 1 đơn vị.
Cũng cần nhắc lại là toán tử Y3 là tự liên hợp nên các trị riêng của nó là thực, và các vectơ riên g ứng với những trị riêng khác nhau là trực giao nhau.
b) Già th iế t các vectơ riêng vm đều được chuẩn hóa về đơn vị. Khi đó ta có thế’ viết :
Y+ vm = òii)Vm+i , Y_vm — ctmvm_i Vì Y+ và Y_ liên hợp H erm ite với nhau nên
tY+ vm, vm+i) — òmlVjn+1, vm+i) = òm —
= Y. vm+l) = a m+i(v,n, vm) = a m+i
M ặt khác vì biểu diễn unita b ấ t k h ả quy là hữu h ạn chiểu, tức tập lvm| là hữu hạn, nên m có m ột trị số lớn n h ấ t mà ta ký hiệu là j. Điều này có nghĩa
Y+Vj = 0, tức òj = O.
\\
Với m < j ta có
Y + V m = Y + — — Y _ v i n + 1 = - i — ( Y _ Y + + 2Y ; j ) v m + 1
ccn.lrl a m^-l
= —“— (òm + 1^111+9 + 2(m + l))v 111+1 = ò nlvmhi a m + l
Suy ra ò?n + ] + 2(m + 1) = òm • Với m = j- 1 : òj_i - 2j
Ta có chuỗi các đẳng thức : òỹ,.i - 2(m - Il = òn, òn., 2 + 2(m + 2) = ò L i òj-> ~ 2(j - 1) = ò j-2
ò“ , 2.j = òf j , òf --- 0 2[j + (j - l)+ ...(m + 2) + (m + 1)] = òf„
(j - mi số hạng Vậy :
òn, 2(j + m 41) ^ m = j(j + 1) - m(m + 1) v¿i a ni = òm-1 “ (j - m + l)(j + m) = j(j + 1> - m(m - 1'
Tóm lại ta có được tác dụng của các vi tử lên không gian biếu diễn :
Ị Y+Vm = vũ + m i- ixj - m) vm+l
ị Y-Vm = vơ - m + l)(j - mĩ vm_, jY3vm =rnvm
Bằng cách tác dụng liên tiếp Y_ lên V j ta thu được m ột dày các vectơ riêng V j, V j _ i , V j _2, .... v_j; vectơ riê n g cuốỉ cùng là v.j vì Y_v_j = 0 theo hệ thức trê n . N hư vậy toán tử Y;ỉ có trị riêng lớn n h ấ t là j, nhỏ n h ấ t là (-j), và số vectơ riêng rõ ràng là 2j + 1. Từ đây suy ra j chĩ có th ể lấy giá trị nguyên hoặc bán nguyên.
Không gian E = |vni) rõ rà n g thực hiện m ột biểu diễn bất kha quy (2j + 1) chiều của nhóm SO(3), ký hiệu Q với j - trọng số cùa biểu diễn. Các vectơ {vai) được gọi là cơ sớ chính tắc cua không gian E.
Dề dàng chứng tó được rằn g các vectơ vm còn là hàm riêng cùa toán tứ Y2 = Y'( + Yọ +■ Y | :
Y2V„, = j(j+ l )vn, : m = - j,...j.
c) Từ Y,., Y_ ta cũng dề dàng tin h được dạng cụ th ế cua cac ma trận Yi, Y-2 (và Y.j) cùa biếu diễn ' / u' trong cơ sơ chính tắc <V,J, rối từ đó xác định mọi ma trậ n biếu diễn
D ' =. expỊiỊuiY! - U¿Y2 - U ;<Ỵ,)Ị ( ’hăng hạn D '1 lí), 0. u.'j) = exp(iu:jY;J) , với
°ì1
Y3 = ; j - 1
0 - i )
Vì mọi lũy thừa của m a trậ n chéo là ma trậ n chéo, nên sau khi viết exp(iaaY3) dưới dạng chuỗi rồi cộng lại, ta dược ngay
Đê tín h dặc biểu của biểu diễn 05'Jl ta nhớ lại răn g mỗi lớp của nhóm quay bao gồm mọi phép quay quanh các trục khác nhau với cùng 1 góc quay cp. Do đó ta có th ế lấy dại diện cúa lớp là phép quay m ột góc quanh trục z, và
lớp này có dặc biểu là
ì
0 e _ljư;i j
■/^(fl)) - ^ e lU)> = 1 + 2cos(p 2cos j(í)
sin — 2
§3. CÁC B IỂ U D IỄ N LƯỠNG T R Ị
a) Ma trận DÍJ' (0, 0, ọ) ứng với phép quay m ột góc <p quanh trục z. Với ẹ = 0 hiển n h iên ta được m a trậ n đơn vị.
Với (P = k2n ta vẫn có phép quay đơn vị, tuy nhiên m a trậ n D J| i0,0.k2jt) = I chi khi j nguyên, còn khi j bán nguyên ta lại có
D(j’ (0,0, k.2jr) = ± I
Và như vậy, khi j bán nguyên mỗi p h ần tứ của nhóm quay SO(3) đều tương ứng với 2 m a trậ n ± Dy) : người ta nói rằng đây là một biểu diễn lưỡng trị của nhóm SO(3).
b) Ta hãy xét ví dụ cụ th ê j = — . Ta diễn tá phép quay không bằng a i, Ct2, CC3 m à bằng 3 góc Euler ứng các phép quay liên tiếp : Ọi quanh Oz, 0 quanh Ox, rồi (P2 quanh Oz. Như vậy ta có thé viết :
Dn /2’((ị),,0. <p2 ) = D(1 /2)(0,0, cp2 )Dn /2)(0,0 0)D<1/2)(0,0, qằ!) theo thư tự tác dụng lần lượt.
Ta hày tính các ma trâ n thừa số ờ 'ế tay m ặt. Trước tiên tư còng thức chung ta có ngay
; -.iĩp/ 2 . Dtl/2’(0,0, (p) = 0
VO e i,p/2J
ỉ1iep theo để tính DÍƯ2,(0, 0,0) ta hây tín h Yị. Từ các hệ thưc
Ị ^ " v n> “ í ’ĩ n v -:.^l = a m - l _ t A m v n ì - l
ta thu được ngay
Y i V , n — 2 + l v m + l + a m v m - l )
Các yếu m a tr ậ n có dạng
(Yj )m = (v k , Yj vm ) = — (ctm + l^k.m *1 + cfa£k.m-l) Với j = ị , k và m chỉ có th ể là ± ị . Sữ dụng biểu
J 2 2
thức cụ th ế ciia a m ta dễ dàng tìm được
Từ dây
D<1/21 (0,0,0) = exp(i0Y1) = I + ìOYị + — (iOYx) + . . . (1 ì . £ ( I ) _ i ( ẹ ) 2 f i ì ' I / 2 I1 J 2! 12J 1 1J
A a \
, 0 . . 0
Ị cos ^ i sin I
. 0 0
,i s i n 2 c° 2 ' Vặ\ cuối cúng ta được
D,1/2'(q>Jfe , ọ 2) =
cos ^ . e 0 z
I 2
-<lằl Ị . . 0 * 2 i s i n 2 ị
I . <Pl + ^2IPv I
Ị i sin - . e 2 cos - e
\ 2 ^
Ma trận này là unita và có định thức bằng 1. Dễ dàng kiểm nghiệm là mọi m a trậ n unita h ạ n g 2 có det = 1 đều biểu diễn được dưới dạng trê n , tức ứng với m ột phép quay tro n g không gian 3 chiều. N hư vậy m ột lần nữa ta th ấ y lại tín h đẳng cấu (địa phương) giữa 2 nhóm SO(3) và SU(2).
§4. TÍCH CÁC B IỂ U D IỄ N
a) Xét tích 2 biểu diễn <g> D^2) với j i < Ĩ2 cho cụ thế. Đặc biếu của tích này có dạng
Ta viết lại :
k = - J 2
= e ^ ị l
J2
(<p) = Ẽ * ik’ '
*—jt k=-j2
e “ij2<p + e_i(j2"1)<p+...+ ei(j2
e i<r + e i2<p+...+ e 2ij2<p) iioíA 6
= e _ w
i(2j2 *!)((> - 1 e i(j2+1,<p _ e " ^ 2<p e ‘v - 1 e i<p - 1 o c ’2 "'1 _ a ' Ì2
a - 1 với a = eil(’.
Do đó :
X,J’w j2i(cp) = ỷ a1 5 ^ Ị Í Li ô ± = a - 1
= — - ( a Jl ‘ -i ỉ + 1 + a j l 'f j 2 + . . . + a - ’2 ~-i l + 1 _ a - J i _ t ó a -1*
J 2 T j l 1 , . _ J l
■ S x ' % ằ
J2 “ j l J - j 2 “ j l
Trường hợp ji > ta cũng có tổng tương tự, b ắt đầu từ j] - j 2. Vì vậy nói chung ta được khai thức Clebsh - Gordan
cho nhóm SO(3) như sau :
r/ji> 8 í / j2) _ Jl£ © ( ý i \
| j l - J2|
mồi biếu diễn b ấ t k h ả quy đều chỉ có m ặt một lần. Ta cũng th ấy ngay là tích 2 biểu diễn lưỡng trị sẽ là một biểu diễn đơn trị, tích 1 đơn trị với 1 lưỡng trị sẽ là lưỡng trị.
T a cũng tìm được vi tử của tích biểu diễn như san. X át khai thức
D“" đD*> - ( ! ằ . ,
■= I2„.1 ♦ ta ,(Y íi'> ® i 2js„ + I2ji. , ®y;ì!’) ♦...
Suy ra
b) Gọi khụng gian biểu diờn </ằ*' là El2jl = ju'k1, ' Ị , không gian biểu diễn n T-, ( ) TT . ,
* là E (2j2+1, = ỊvỊj| , Ị . Vectơ cơ sớ
riêng (k + m).
Thật vậy
r , * * • ô ,ằ . - ^ " ô 1% . , + I2i,*l đ Y ^ ’)uk v „
= Y3J‘ 'uk ® I2 j , . l Vm - l 2 j , . l U k ® Y ^ ’vm
= k u k vm + u km vm = <k + m )u kv m.
Vì - ji < k < ji, - j2 á m < j2 n ên
— ji — j2 — M = k+m < j i + j 2,
tức M có 2(ji + jỉ> + 1 giá trị khác nhau. M ặt khác vì số vectơ ukvm là (2jj + lX2j2 + 1) > 2(j2 + j 2 ) + 1 do đó m ột số trị rièng M là suy biến.
Đê làm ví dụ, xét trường hợp j i = 1, j2 = —. Ta có : u kvm : u l vl/2 u l v -l/2 u ov l/2 u ov -l/2 u - l vl/2 u - l v -l/2
M : 3/2 1/2 1/2 -1 /2 -1 /2 -3 /2 3
Giá trị Jớn n h ấ t và nhỏ n h ấ t M = ± — là không suy
¿t biến, còn M = ±1/2 dều suy biến bậc 2.
Đê tìm các vectơ riên g ta làm như sau :
Từ = u, v,,2 (ứng với M = — ) bằng cách tác dụng3 2
toán tứ Y_ 1-21 ta sẽ thu được trạ n g th á i w ,13/2> ứng với
2
M = —. trạn g th ái này là tổ hợp tuyến tín h của Uịv
2
U CIV J ; tò hợp tuyõn tín h còn lại, trực giao với w (13/22>
ỉ và
2
ta ký
hiệu là vviy2'. Tiếp tục tác dụng y!1'1/2) lên ta thu được w ^ '/2/, và cứ thê tiếp tục. Cuối cùng ta cộ thê viết
3 1 l 3
được hệ vectơ w'.| ' vứi M = - • các vectơ
v 7 M 2 2 2 2
này biến đối theo biêu diễn Còn các vectơ w ' , y , M = 2
Ị_
2 (trực giao với w <2'"') sẽ tạo nên biêu diễn ũ ? h~‘. Kết quả là ta được
< T ' ® < J m ' =
phù hợp biêu thức tông quát cua khai thức Klebsch - Ciorđan trèn kia.
Ta cùng thây rõ là trường hợp dàc biệt, khi Ji = u hay jj = 0. tích biêu diễn Q'iÌ! ® ữ 'j2' sẽ là bất khá quy.
ci Cơ sơ chính tắc w'j^ cùa biếu diễn £&'u như vậy la
tổ hợp t u v ế n tín h của các tích Người ta thường viẽt
lll * X ( j l k ’ J2 m ỉJ M V k '’v m k.in
ỏ dây (ịìk, ¡'¿m i JM ) được gọi là các hệ số CỊebsch - Gọr^Ịqn (hay W igner) đối với nhóm quay. Dĩ nhiên ta có vài hệ
'vvm Í V(^i J khác nhau, mồi hệ thưc hiện một biêu điền bàt kha quy.
T rơ lại ví (lụ Q fl ' 3 Q tx l ' tr ê n k ia ta có được các hộ sò ( ’(ĩ n h ư sau :
ảa các hệ số KG :
(_l)ii^Ì2-J (j2ni2, jim i |JM)
- M) = (j1m i,j2 m 2 ÍJM) ( - l ) j2+m2 J f f l * \ (j2 - m 2, jm Ijim i).
V 2ji + 1
Để tiệ n lợi người ta còn dùng các hệ số KG đối xứng hóa, gọi là ký hiệu 3j.
j j i Ì2 Ịni! m2 m a định n g h ĩa n h ư sau :
( j i m i ,j 2m2 |jm ) = ( - l ) il-j2+m \ / 2 j + r | ^ 32 J 1.
[mị - m2 -m J
§5. Ứ N G D Ụ N G
a) T a đã b iết h ạ t chuyển động trong trường xuyên tâm có m ôm en quỹ dạo L th ỏ a L3 = k m , L2 = /j2l(l+l).
Trường hợp 2 h ạ t độc lập ta có
L m :L ? 1) = í ỉ l1(lI +1); C 2):Iq2) = ft2l2(l2 +1) •
— > — > —>
Mômen to àn p h ần của hệ 2 h ạ t đó sẽ là L = L (1)+L(2), mómen này tốc dụng lên hàm sóng toàn phần của hệ
theo quy tắc.
—► ị
L<2ằ Vl2iTio^r2 J Rõ ràn g L tỷ lệ với vi tử của tích 2 biểu diễn
vì vậy vấn để tìm trị riêng của L L2 = ft2l(l + 1) quy về việc tìm khai thức CG của tích biểu diên đó
Kết quả, như dã biết, là 1 có th ê n h ận các giá trị 1 = II, - ụ \ . |1, - 12| - 1 ...1, - ụ .
Đây chính là nội dung bài toán cộng mômen quen thuoe trong ('ơ lượng tư.
b, Nếu h ạt là electron có spin ,s = - thi ta phai sứ 2
dụng đến biêu (liền lường trị. Cụ thè hàm sóng electron là một dại lượng 2 th à n h phần (spinơ)
I V | t " r > ị
—> ị '¡/•¿( r )j
biên dõi khi quay hệ tọa độ theo quy luật
‘•'ỉ '■ 2l u ì) 1S ,vi’j: r : j
với r - g r , g € SO (3), và (ajj) = Díl,2>(g) . V iêt lại • r ị = ^ a y ( g ) V j ( g - ! Ị hay /< r > = Dtl,a,(g)iii Ị g 1 r ì .
bạc
Xét phép quay quanh Ox3, ta có th ê v iết ớ gấn đúng Ị X,
Oix i iu.<x.,). x._, X
Ta đả biét vi tư Xg = ị
i
0 1 0^
-1 0 o!
0 0 oJ
do đó biêu thức trên thành
!ịí’ í r Ị =(12x2 +ĩa3Y31/2))v (X l -CtgXa.OtgX! +X2 ,Xg)
* (12 2 + iagY^172’) vụ(x1 , x2 ,Xg) + a 3ị - x2 + Xj
■ V ƠXi Ỡx*2 '
T -\T (1 '91 [ Ổ ở \
I ọ v •> ■ +■ ux 0, Y.> -+- ũt 3 — X ọ “ X1 - ì
' V '-*-2 •
Từ dây ta suy ra vi tử Y3 toàn phần
ằ ---r \
U' 1 r •
Yg= Y ^ 2' + ĨỊX2 c - * 1 - ¿ Hẽ \
dx ơx ;
sỏ hạng sau chính là thành phán L.3 cua mômen quỳ đao.
—>
Tòng quat gọi mòmen toàn phần là J ta có . 7 -= L
toán tứ này tác dụng lên hàm sóng toàn phần
—} , —►
Ví V , a r- (0. r ;/(ơ) theo quy luật
> > N í' —> '\ ->
J Vịi r , CT — ^ ( c r ) Lằ <|) 1 r 1 cpỉ r ! s xlơ) >
' / V
ơ = cûa
1 ±
1 —^
± - - đối số spin. Điều n ày có n g h ĩa J tỷ lệ với vi tử
tích 2 biểu diễn :
<jị{)0 <y/1/2) = O0(1+1/2) © í / / 1' 172'
1 -*
2 chính là trị riê n g j của J 2 :
J 2 = Â2j(j + 1) , j = 1 ± I .