Không chỉ trên Nhóm hay trên vành mà cả trên các cấu trúc đại số khác, các đồng cấu thường đóng vai trò khá quan trọng. Các đồng cấu thường quyết định một số tính chất đặc trưng trong không gian đó. Trong phần này chúng tối trình bày một số bổ đề và định lý liên quan nhằm mô tả một số tính chất và mối quan hệ giữa các đồng cấu của môđun chéo.
2.2.1 Mệnh đề. Giả sử (C, R, ∂) là R- môđun chéo, khi đó:
i) Ker∂ là iđêan của C,
ii) Cả C/C2 và Ker∂ đều có cấu trúc R/∂C - môđun tự nhiên.
Chứng minh. i) Với ∀c ∈ C, a ∈ Ker∂, khi đó :
ac = ∂a.c = 0.c= 0 = c.0 =c.∂a = c.a ⇒ac = ca ∈ Ker∂
Suy ra Ker∂ là iđêan của C.
ii) Dễ thấy rằng ∂C là tác động tầm thường trên ker∂ và C/C2. Thật vậy, Với a ∈ Ker∂, ∂c ∈ ∂C được xác định bởi ∂c.a = c.a = c.∂a = c.0 = 0, do đó ∂C là tác động tầm thường lên Ker∂.
Ta cũng có với ∂c ∈ ∂C, c′ +C ∈ C/C2 thì:
∂c.(c′+C2) = ∂c.c′ +C2 = c.c′ +C2 = 0,
do vậy, ∂C cũng là tác động tầm thường lên C/C2. Từ đó ta có thể xác định các ánh xạ:
R/∂C ×Ker∂ −→ Ker∂,(c+∂C, a) 7−→ra, R/∂C ×C/C2 −→ C/C2,(cr +∂c, c+C) 7−→ rc+C2
dễ dàng đễ kiểm tra được tính giao hoán của các nhóm Ker∂ và C/C2 trong R/∂C-môđun.
Vì vậy Ker∂ và C/C2 có cấu trúc R/∂C-môđun.
2.2.2 Định lí. Giả sử f :C −→ B là đồng cấu của R- môđun chéo. Khi đó, C/Kerf ∼= Imf.
Chứng minh. Xét ánh xạ như sau:
θ :C/Kerf −→Imf c+Kerf 7−→ f(c).
Ta chứng minh θ là đẳng cấu.
θ đồng cấu, thật vậy: ∀x = c + Kerf ∈ C/kerf, x′ = c′ + Kerf ∈ C/Kerf. Khi đó vì f là đồng cấu của R- môđun chéo nên
θ(x+x′) = θ(c+c′+ Kerf) = f(c+c′) = f(c) +f(c′).
Suy ra θ là đồng cấu.
θ đơn cấu và toàn cấu thật vậy, ta có
Kerθ = {x ∈ C/Kerf|θ(x) = 0} = {x ∈ C/kerf|f(c) = 0}
= {0 +Kerf} = 0C/kerf. Do đó θ là đơn cấu.
Hơn nữa,
Imθ = {b ∈ Imf|θ(x) = b,∀x ∈ C/Kerf}
={b ∈ Imf|f(c) = b,∀c ∈ C} = Imf.
Do vậy θ là toàn cấu. Vậy θ là ánh xạ đẳng cấu, hay C/Kerf ∼= Imf. Đối với môđun chéo trên đại số, tính chất của các dãy phức và khớp trong lý thuyết đồng điều có kết quả hoàn toàn tương tự. Ở mệnh đề sau đây chúng tôi trình bày tính chất các dãy khớp cho đồng cấu các môđun chéo.
Trước hết chúng tôi nhắc lại lý thuyết quan trọng trong đại số đồng điều.
Cho M, M′ và M′′ là các đại số. Chuỗi ánh xạ M′ −−→f M −→g M′′
gọi là khớp tại M nếu Imf = Kerg. Một chuỗi các ánh xạ (có thể dài vô hạn)
. . . Mn+1 fn+1
−−→ Mn fn
−−−−→ Mn−1 −−−→. . .
là dãy khớp nếu các cặp ánh xạ liền kề của nhau là ánh xạ khớp.
Từ kết quả trên chúng ta có hai dãy khớp
0 −→Ker∂ −→ C −→ Im∂ −→0 0 −→Im∂ −→ R −→R/Im∂ −→0.
Từ kết quả trên ta có mệnh đề sau đây.
2.2.3 Mệnh đề. Dãy khớp
0 −→Ker∂ −→ C −→ Im∂ −→0 cảm sinh ra dãy khớp sau:
Ker∂ −→C/C2 −−−−→∂ I/I2 −→0 trong đó I = Im∂.
Chứng minh. Trước hết, vì I = Im∂ nên đồng cấu ∂ : C/C2 −→ I/I2 là ánh xạ lên ( hay toàn ánh) tức là ∂(C/C2) = I/I2.
Tiếp theo, ta thấy rằng Ker∂ là hạt nhân của ánh xạ lên ∂ tức là mỗi phần tử c+C2 trong hạt nhân của ∂ có dạng k+C2, với mỗi k ∈ Ker∂. Ta thấy rằng biểu đồ sau đây là giao hoán:
0 //Kerf //C ∂ //I //
0
C/C2 ∂ //I/I2 //0
và ∂ là ánh xạ lên, do đó ∂ cũng là ánh xạ lên và ảnh của Ker∂ −→ C/C2 được chứa trong Ker∂ (1).
Hơn nữa, nếu c+C2 ∈ Ker∂, thì:
∂(c+C2) = ∂(c) +I2 = I2 ( do ∂(c) ∈ I2)
Do đó ∂(c) = ∂(b)∂(b′) = ∂(bb′), với mỗi b, b′ ∈ C. Điều này có nghĩa là : (c−bb′) ∈ Ker∂ tức là (c−bb′) = k, k ∈ Ker∂, nhưng mà c+C2 = k+C2 vì vậy Ker∂ −→Ker∂ là ánh xạ lên. (2)
Từ (1) và (2) suy ra Ker∂ −→ C/C2 −−−−→∂ I/I2 −→ 0 khớp.
2.2.4 Mệnh đề. Giả sử ψ : (C, R, ∂) −→ (B, R, β) là đồng cấu của R- môđun chéo khi đó (C, B, ψ) là một B-môđun chéo, trong đó B tác động lên C bởi β.
Chứng minh. Vì ψ : (C, R, ∂) −→ (B, R, β) là đồng cấu giữa hai R-môđun chéo, nên ta có biểu đồ sau là giao hoán
C ∂ //
ψ
R
id
B β //R
và ψ(cr) = ψ(c).id(r) ψ(r.c) = id(r).ψ(c) (1) Từ biểu đồ trên ta suy ra biểu đồ sau đây giao hoán :
C
@@
@@
@@
@@
@@
@@
@@
@@
∂@@@@@@
@@
////
ψ //B
~~~~~~~~
~~~~~~~~
β
~~~~~~~~
R
trong đó ψ là cấu xạ của R- đại số. Do (B, R, β) là R- môđun chéo nên β(b).b′ = bb′ (2)
và B tác động lên C bởi β tức là ∀c ∈ C và b ∈ B chúng ta có cb = c.β(b) và bc = β(b).c. Bây giờ, chúng ta kiểm tra ψ là đồng cấu của B- đại số và
thỏa mãn hai điều điều kiện (C1) và (C2) của môđun chéo trên đại số. Thật vậy, với c ∈ C, b ∈ B ta có:
ψ(c.b)(2)= ψ(c.β(b))(1)=ψ(c)id(β(b)) = ψ(c)β(b) = ψ(c)b.
Tương tự ta cũng có ψ(b.c) = b.ψ(c). Hơn nữa,∀c, c′ ∈ C thì
ψ(c).c′(1)=β(ψ(c)).c′ = (βψ)(c).c′ = (id∂)(c).c′ = ∂(c).c′ = c.c′. c.ψ(c′)(1)=c.β(ψ(c′)) =c.(βψ)(c′) = c.(id∂)(c′) =c.∂(c′) =c.c′. Vậy (C, B, ψ) là B- môđun chéo.
2.2.5 Mệnh đề. Cho (C, B, ∂) là một B-môđun chéo và (B, R, β) là R- môđun chéo sao cho tác động từ R vào C là tương thích với tác động từ B vào C, khi đó (C, R, β∂) là một R- môđun chéo.
Chứng minh. . Trước tiên, ta thấy rằng với mọi c ∈ C, r ∈ R, ta có β∂(r.c) = β(∂(r.c)) = β(r∂(c)) = r.β(∂(c)) = r.β∂(c) β∂(c.r) = β(∂(c.r)) = β(∂(c)r) = β(∂(c).r) = β∂(c).r.
Tiếp theo, ta kiểm tra đồng nhất thức Peiffer, với ∀c, c′ ∈ C, khi đó c.(β∂c′) = c.β(∂c′) = c.∂c′ = c.c′.
Tương tự (β∂c).c′ = c.c′.
Do vậy (C, R, β∂) là R- môđun chéo.