Môđun con chéo, iđêan chéo và môđun chéo thương- 123docz.net

Ta biết rằng các cấu trúc như dàn con, nhóm con, trường con, và không gian con của không gian tôpô,. . . thông thường chúng đóng vai trò khá quan trọng. Vì vậy trong các nghiên cứu của môđun chéo việc xác định được định nghĩa của các môđun con chéo và các iđêan chéo là rất cần thiết và quan trọng.

Phần này chúng tôi trình bày các khái niệm về môđun con chéo, iđêan chéo, môđun chéo thương, và mối quan hệ giữa các khái niệm này cùng một số tính chất liên quan.

2.3.1 Định nghĩa. Môđun con chéo (C′, R′, ∂′) của một R-môđun chéo (C, R, ∂) là một R-môđun chéo trong đó C′ là đại số con của C và ∂′ =

∂|C′ : C′ −→ R là thu hẹp của ∂ trong C′.

Nhận xét. i) Nếu không nói gì thêm khi nói một môđun chéo C thì ta hiểu đó là (C, R, ∂) và C′ tương ứng là môđun chéo (C′, R, ∂′). Giả sử C′ là một môđun con chéo của C, khi đó ∀c ∈ C, x ∈ C′ thì cx = ∂c.x ∈ C′, tương tự xc ∈ C′. Do đó C′ là một iđêan của C. Như vậy một môđun con chéo C′ là một iđêan của C cùng với ánh xạ thu hẹp: ∂′ = ∂|C′ : C′ −→ R.

ii) Một môđun con chéo phải là một vật con trong cùng một ý nghĩa của phạm trù.

2.3.2 Ví dụ.

i) Cho I là iđêan bất kì của vành R, khi đó (I, R, i) là một môđun con chéo của môđun chéo (R, R, idR). Trong đó i là ánh xạ bao hàm từ I vào R, idR là ánh xạ đồng nhất từ R vào R.

ii) Các môđun con M′ của môđun M bất kì trên R khi đó, ta có thể xem môđun chéo (M′, R,0) như môđun con chéo của (M, R, ∂).

Một khái niệm khá quan trọng trong đại số đó là iđêan. Để tìm hiểu mối liên hệ giữa khái niệm iđêan và môđun con chéo của một môđun chéo chúng ta sẽ đưa vào khái niệm iđêan chéo. Trong phần tiếp theo, chúng tôi mô tả về iđêan chéo của một môđun chéo trên đại số.

Như chúng ta biết khái niệm iđêan và hạt nhân đã được sử dụng trong lý thuyết vành. Theo lý thuyết vành thì mỗi iđêan của vành R là hạt nhân của đồng cấu chính tắc v : R −→ R/I nào đó, và mỗi hạt nhân của đồng cấu vành là một iđêan của vành.

Giả sử ở đây chúng ta xác định được một iđêan chéo là một môđun con chéo C′ của C là hạt nhân của đồng cấu của R -môđun chéo:

∂>>>>>>

////

v //C/C′

yyyyyyyy

∂′

yyyyyyyy

trong đó v(c) = c+C′ và ∂(c+C′) =∂(c),∀c∈ C.

Rõ ràng∂ được xác định khi và chỉ khiC′được chứa trongKer∂. Thật vậy, vì C′ là iđêan của C nên theo lý thuyết vànhC′ = Kerv với v : C −→C/C′. Khi đó, với ∀x ∈ C′ ⇒x ∈ Kerv ⇒ v(x) = 0.

Mặt khác, x ∈ C′ ⊂ C nên ∂(x) = ∂(x+C′) = ∂(v(x)) = ∂(0) = 0. Suy ra ∂(x) = 0⇒ x ∈ Ker∂, ∀x ∈ C′. Do đó C′ ∈ Ker∂.

Như vậy, các iđêan chéo của các môđun chéo ∂ : C −→ R là các môđun con chéo C′ của C. Hơn nữa, mỗi môđun con chéo bất kì của một môđun chéo đều là hạt nhân của một đồng cấu

∂@@@@@@

////

f //B

~~~~~~~~

R và được chứa trong Ker∂ vì βf = ∂.

Từ đó ta có các kết quả sau:

2.3.3 Mệnh đề. Cho (C, R, ∂)là một R-môđun chéo và (C′, R′, ∂′) là môđun con chéo của (C, R, ∂) khi đó (C/C′, R, ∂′) được gọi là một R-môđun chéo thương khi và chỉ khiC′ được chứa trong Ker∂, với∂ được cho bởi ∂′(c+C′) =

∂c,∀c ∈ C′.

Lưu ý rằng không phải lúc nào cũng xác định được môđun chéo thương, ví dụ điển hình nhất là trong biểu đồ giao hoán sau đây

∂@@@@@@

////

idc //C

~~~~~~~~

∂

~~~~~~~~

thương (C/C, R, ∂) không phải là R- môđun chéo.

Còn nếu f : C −→B là đồng cấu của R-môđun chéo sao cho (B/Imf, R, β) là môđun chéo thương giữa B- môđun và Imf thì Imf ⊆ Kerβ.

2.3.4 Mệnh đề. Mỗi đồng cấu của R-môđun chéo được biểu diễn duy nhất dưới dạng tích của toàn cấu chính tắc và đơn cấu.

Chứng minh. Giả sử f : C −→ B là một đồng cấu của R-môđun chéo.Từ Kerf ⊆Ker∂ do đó chúng ta có thể xác định đồng cấu:

∂ : C/Kerf −→ R

∂(c+ Kerf) = ∂(c)

trong đó C/Kerf có cấu trúc của R- môđun chéo. Theo Mệnh đề 2.3.2 tồn tại một đồng cấu chính tắc:

p: C −→C/Kerf của một R-môđun chéo.

Đặt:

T = C ×Kerf = {(c, m) : c ∈ C} và m ∈ Ker∂

là tích trực tiếp giữa C và Kerf, chúng ta xác định cấu trúc của một R- môđun chéo trên T với các phép toán đưa vào như sau.

Xác định phép nhân: với bất kì (c, m),(c′, m′) ∈ T thì

(c, m)(c′, m′) = (cc′, cm′ +mc′) = (cc′,0) vì mc′ = ∂m.c= 0 = cm′ Rõ ràng vành R tác động lên T bởi cấu xạ τ : T −→ R với τ(cm) = ∂(c) thỏa mãn điều kiện (C1) và (C2). Hơn nữa vì

τ(c, m).(c′, m′) = ∂c.(c′, m′) = (∂c.c′, ∂c.m′) = (cc′,0) = (c, m)(c′, m′) Do đó (T, R, τ) là một R- môđun chéo.

Xác định hai đồng cấu s, t : T −→ C được xác định bởi s(c, m) = c và t(c, m) =c+m. Hai đồng cấu này là đồng cấu của R-môđun chéo thỏa mãn

ps = pt.

Mặt khác

s((c, m)(c′, m′)) = s(cc′,0) = cc′ = s(c, m)s(c′, m′) t((c, m)(c′, m′)) = s(cc′,0) = cc′ = cc′ +mm′ +cm′ +mc′

= (c+ m)(c′+m′) =t(c, m)t(c′, m′).

Do đó cả s và t là hai đồng cấu R- đại số.

Tiếp theo, giả sử có đồng cấu g : C −→ D của R-môđun chéo thỏa mãn gs= gt khi đó tồn tại duy nhất một đồng cấu g′ : C/Kerf −→ D thỏa mãn

g′(c+Kerf) = g(c).

Lưu ý rằng đồng cấu f : C −→B thỏa mãn điều kiện f s= f t thì tồn tại duy nhất đồng cấu à: C/Kerf −→B xỏc định bởi à(c+Kerf) = g(c).

Bõy giờ chỳng ta sẽ kiểm tra đồng cấu à là một đơn cấu. Thật vậy, giả sử cú hai đồng cấu h, h′ : X −→ C/Kerf của R-mụđun chộo sao cho àh = àh′, giả sử h 6= h′ khi đó, ∃x ∈ X để

h(x) = x+Kerf 6= h′(x),∀x, x′ ∈ X nhưng àh(x) = àh′(x) tức là

à(x+Kerf) = à(x′ +Kerf)

suy ra (x−x′) ∈ Kerf do đó x = x′+ m với mỗi m ∈ Kerf. Suy ra x+Kerf = (x′+m) +x′ +Kerf.

Do đú à là một đơn cấu. Vậy f = àp. 2.3.5 Ví dụ.

(1) Với mọi iđêan I của vành R. Khi đó, (I, R,0) là môt R -môđun chéo và xem như đó là một iđêan chéo của R-môđun chéo (R, R,0), trong đó i : I −→R là một ánh xạ bao hàm từ I vào R .

(2) Với M là môđun con của mộtR- môđun, khi đó có thể xem như (M, R,0) là iđêan chéo của R-môđun chéo , với 0 là ánh xạ tầm thường.

(3) Mỗi môđun con chéo chưa hẳn là iđêan chéo. Thật vậy, với (Z,Z, idZ) và (nZ,Z, i) là các môđun con chéo của (Z,Z, ∂) Z- môđun chéo, với n∈ Z khi đó biểu đồ sau giao hoán

BB BB BB BB

∂BBBBBB BB

////

i //Z

Ta thấy ngay rằng nZ chưa hẳn là một hạt nhân của đồng cấu Z-môđun chéo nên (Z,Z, ∂) chưa hẳn là iđêan chéo.

Từ các kết quả trên cho chúng ta thấy được rằng: Một môđun con chéo của một môđun chéo (C, R, ∂) bao gồm:

(i) C′ là đại số con của C và R′ là vành con của vành R. (ii) Một tác động R lên C cảm sinh ra tác độngtừ R′ vào C′. (iii) (C′, R′, ∂′) là một môđun chéo.

(iv) Sơ đồ cấu xạ của các môđun chéo sau đây là giao hoán:

C′ u //

∂′

∂

R′ v //R trong đó u và v là các phép nhúng.

Nhận xét. Một môđun con chéo (C′, R′, ∂′) của môđun chéo (C, R, ∂) được gọi là iđêan chéo nếu:

(i) C′C ∪CC′ ⊆ C′ và R′ là iđêan trong R. (ii) CR′∪R′C ⊆ C′.

(iii) C′ là đóng dưới tác động của R, tức là RC′, CR′ ⊆ C′.

4. Môđun chéo(R, R, i) có môđun con chéo được cho bởi tất cả các cặp(I, J) trong đó I là iđêan của R, J là vành con của R và I ⊆J với i là ánh xạ bao

hàm đi từ R vào R.

5. ChoI là iđêan bất kì của vànhR, khi đó(I, I, i)là iđêan chéo của(R, R, i).

6. Nếu I, I′ là iđêan hai phía củaR thì ta có thể xem như(I, R, i)và (I′, R, i) là hai môđun chéo. Khi đó((I∩I′), I, v)và((I∩I′), I′, v′) tương ứng là iđêan trong (I′, R, i1) và (I′, R, i2), trong đó i1 : I −→ R, i2 : I′ −→ R tương ứng là các đồng cấu bao hàm.

2.3.6 Mệnh đề. Giao của một họ tùy ý các môđun con chéo (tương ứng các iđêan chéo){Ii, Ji, ∂i} của môđun chéo là một môđun con chéo (tương ứng iđêan chéo) của (C, R, ∂).

Chứng minh. Giả sử V là tập hợp các chỉ số, Xét

(I, J, S) = \

i∈V(IiJi, ∂i).

Hiển nhiên I là iđêan của R, J là vành con của R và x, y ∈ I và c ∈ C thì x−y ∈ J và xc ∈ C, x, y ∈ Ji ⊂ R với mọi i ∈ V. Hơn nữa, dễ dàng có thể thấy rằng I là đại số con của C. Do vậy giao họ tùy ý các môđun con chéo ( iđêan cheo) tương ứng là môđun con chéo( iđêan chéo).

KẾT LUẬN

Trên cơ sở các tài liệu tham khảo chính [2],[3] và [4] và một số tài liệu liên quan về môđun chéo, luận văn đã tìm hiểu và trình bày được các kết quả chính sau:

• Từ các tài liệu tham khảo có được. Hệ thống các khái niệm của môđun chéo trên các cấu trúc đại số. Đưa ra một cách nhìn tổng quan hơn về môđun chéo.

• Xây dựng khái niệm môđun chéo trên nhóm, phân lớp các mở rộng nhóm kiểu môđun chéo theo ngôn ngữ của lý thuyết cản trở của Gr− hàm tử giữa các nhóm phạm trù chặt chẽ.

• Mở rộng khái niệm môđun chéo trên nhóm cho trường hợp trên vành, đưa ra khái niệm E- hệ.

• Xây dựng môđun chéo trên đại số, mô tả các cấu trúc con gồm: iđêan chéo, môđun con chéo và môđun chéo thương và một số mối quan hệ giữa chúng.

• Một số kết quả của Luận văn đã được nhận đăng trên tạp chí khoa học trường đại học Vinh và ra trên tập 44 năm 2015.