Phương trình Schrodinger phi tuyến là phương trình cơ bản mô tả quá trình lan truyền của chùm ánh sáng năng lượng cao dọc theo chiều dài môi trường phi tuyến [7]. Phương trình được biểu diễn dưới dạng:
∂A
∂z +β1∂A
∂t +iβ2 2
∂2A
∂t2 =iγ|A2|A (1.2)
Từ phương trình (1.2) ta mở rộng thành phương trình Schrodinger phi tuyến suy rộng như sau:
∂A
∂z =Σm≥2
im+1
m! βm∂mA
∂Tm+iγ(1+iτshock ∂
∂T)×[A(z, T) Z ∞
−∞
R(τ1)|A(z, T−τ1)|2dτ1]−α 2A (1.3) Trong đó:
- Số hạng thứ nhất trong 1.3 mô tả hiệu ứng tán sắc.
- Số hạng thứ hai trong 1.3 thể hiện các hiệu ứng phi tuyến bậc cao như: tự biến điệu pha, tán xạ Raman,...
+ γ = cAω0n2
ef f là hệ số phi tuyến, Aef f là diện tích hiệu dụng của mode, ω0 là tần số trung tâm của xung.
+ τshock mô tả tần số phụ thuộc vào diện tích hiệu dụng của mode dẫn.
+ Hàm R(r1) = (1−fr))δ(τ1) +frhr(τ1) : độ đáp ứng phi tuyến bao gồm hiệu ứng tức thời và trễ của vật liệu với fr là đóng góp Raman đến hiệu ứng Kerr, hr(τ1) là hàm mô tả độ đáp ứng trễ Raman.
Sau khi đã biết ý nghĩa của các thành phần trong phương trình Schrodinger suy rộng, ta sẽ đi tìm hiểu cụ thể các hiệu ứng phi tuyến xảy ra trong quá trình lan truyền.
Trong môi trường phi tuyến bậc ba thì chiết suất phụ thuộc vào cường độ của sóng điện từ:
n=n0+n2I(t) (1.4)
vớin0 là chiết suất của môi trường khi không có sự tham gia của trường ánh sáng và n2 = (2π/n0)2χ(3)(ω;ω, ω,−ω) là chiết suất phi tuyến, χ(3)(ω;ω, ω,−ω) là độ cảm phi tuyến bậc ba, I(t) là cường độ bức xạ laser.
Xét sự lan truyền của xung ánh sáng trong môi trường phi tuyến nêu trên thì pha của xung bị thay đổi. Sự thay đổi pha của xung ở khoảng cách L phụ thuộc vào cường độ của xung và tăng theo khoảng cách lan truyền được thể hiện như sau:
Φ(t) = ω
cn2I(t)L (1.5)
Do sự phụ thuộc vào thời gian của pha phi tuyến nên tần số tức thời của xung sẽ biến thiên. Khi đó tần số tức thời của xung sẽ khác với tần số trung tâm ω0 của xung một lượng ∆ω(t):
∆ω(t) = ω
cn2L∂I
∂t (1.6)
Đưa đến kết quả mở rộng phổ của xung được ước tính như sau:
∆ω= ω cn2LI0
τ (1.7)
với I0 là cường độ đỉnh của xung ánh sáng và τ là khoảng thời gian xung.
Tiếp theo, ta biểu diễn quá trình lan truyền xung laser trong môi trường phi tuyến qua phương trình Schrodinger như sau:
∂A
∂z + 1 u
∂A
∂t =ieγ|A|2A (1.8)
với A là hàm bao biến thiên chậm A(t,z) của xung laser, u là vận tốc nhóm và eγ = 2n3πω2
0cχ(3)(ω;ω, ω,−ω)là hệ số phi tuyến.
Trường hợp hệ qui chiếu trôi chậm, ta tiến hành đổi biếnz0 =z vàη=t−z/u và giải phương trình1.8 được:
A(η, z) = A0(η)exp[ieγ|A0(η)|2z] (1.9)
với A0(η)là hàm bao của xung ở điểm đầu. Khi bỏ qua đạo hàm bậc nhất theo thời gian của hàm bao trong phương trình 1.8, hình dạng hàm bao của xung vẫn không thay đổi nhưng pha lại thay đổi vì ϕnl phụ thuộc vào cường độ xung lan truyền. Vậy ta có sự biến đổi pha trong quá trình lan truyền là:
ϕnl(η, z) = γSP MI0(η)z (1.10)
với γSP M = 2πn2/λ và I0(η) là cường độ ban đầu của đường bao.
Khi đó tần số tức thời của xung được cho bởi công thức:
δω(η, z) =−∂ϕnl(η, z)
∂t =−γSP M
∂I0(η)z
∂η (1.11)
Lấy giá trị gần đúng bậc hai của đường bao xung thì I0(η) ≈ I0(0)(1− ητ22
0), trong đóτ0 là độ rộng xung, có giá trị xung quanh giá trị cực đại của xung laser, tạo nên chirp tuyến tính của xung:
δω(η, z)≈ −2γSP MI0(0)
τ02 ηz (1.12)
Kết quả cho ta phổ của xung do chịu ảnh hưởng của hiệu ứng tự biến điệu pha là:
S(ω) = | Z ∞
0
I(η)exp[iωη+iϕnl(η)]dη|2 (1.13)
Kết luận: Trong quá trình xung lan truyền trong môi trường phi tuyến bậc ba, các thành phần tần số mới liên tục được sinh ra. Như vậy hiệu ứng tự biến điệu pha (SPM) làm phát sinh thành phần tần số mới, làm mở rộng phổ của xung và cho
Soliton
Khi xung laser lan truyền trong môi trường phi tuyến xảy ra quá trình tự biến điệu pha, quá trình này cân bằng với tán sắc vận tốc nhóm dẫn đến xung lan truyền với hình dạng bất biến hoặc biến thiên tuần hoàn thì được gọi là soliton. Các soliton là các sóng đặc biệt. Chúng là các sóng trực giao theo nghĩa khi hai sóng lan truyền qua nhau trong môi trường thì hàm bao biên độ không đổi mà xảy ra sự dịch pha qua quá trình tương tác. Do vậy, nó vẫn tiếp tục lan truyền như những xung độc lập. Đặc biệt phát xạ sóng tán sắc của soliton là phần quan trọng của việc tạo ánh sáng trắng trong sợi quang phi tuyến [8].
Phương trình Schrodinger phi tuyến thể hiện hiệu ứng soliton như sau:
i∂q
∂ξ +1 2
∂2q
∂τ2 +|q|2q= 0 (1.14)
Giải phương trình (1.14) ta được dạng chính tắc của soliton cơ bản:
q(ξ, τ) = sech(τ)exp(iξ
2) (1.15)
Công suất bức xạ đỉnh cung cấp cho soliton có giá trị:
P0 =|β2|/(γτ02) (1.16)
Biến điệu chéo pha
Biến điệu chéo pha (XPM) là kết quả của quá trình tương tác phi tuyến của hai xung ánh sáng có tần số, phân cực và cấu trúc mode khác nhau. Nguyên nhân là do sự tham gia của xung bơm làm thay đổi chiết suất của môi trường dẫn đến biến điệu pha của xung dò [8].
Diễn biến của quá trình chéo pha giữa xung bơm với tần sốω1 và xung dò với tần số ω2 gây ra biến đổi pha của xung dò:
ΦXP M(η, z) = 3πω22
c2k2 χ(3)(ωs;ωs, ωp,−ωp)× Z z
0
|Ap(η− ξ
σ,0)|2dξ (1.17) với χ(3)(ωs;ωs, ωp,−ωp) là độ cảm phi tuyến bậc ba của môi trường; 1σ = u11
1 − u1
2; u1, u2 tương ứng là vận tốc nhóm của xung bơm và xung dò;k2 là số sóng của xung bơm. Ta thực hiện lấy đạo hàm theo thời gian của biến đổi pha phi tuyến thì độ chênh lệch tần số của xung dò được tính theo công thức sau:
δωXP M(η, z) =−3πω22
c2k2 χ(3)(ωs;ωs, ωp,−ωp)×σ[|Ap(η,0)|2− |Ap(η− z
σ,0)|2] (1.18)
Hiệu ứng biến điệu chéo pha có thể được dùng để nén xung. Sự phụ thuộc của chirp xung dò vào cường độ xung bơm được áp dụng để điều khiển tham số của xung cực ngắn. Biến điệu chéo pha mở ra nghiên cứu động lực học của quá trình phi tuyến cực nhanh, bao gồm sự ion hoá nhiều photon và đặc tính của xung ánh sáng cực nhanh thông qua đo pha với điều kiện xung dò ngắn [8].
Tự tụ tiêu
Hình 1.8: Môi trường phi tuyến bậc ba có tác dụng như một thấu kính.[9]
Một trong những quá trình có thể xuất hiện như hệ quả của chiết suất phụ thuộc vào cường độ là hiện tượng tự tụ tiêu. Chùm sáng có cường độ lớn truyền qua môi trường phi tuyến thì do hiệu ứng Kerr nên chiết suất của môi trường đó thay đổi. Chiết suất này phụ thuộc cường độ I(r) theo phương ngang được biểu diễn như
Môi trường phi tuyến có tác dụng như một thấu kính có chiết suất thay đổi dùng để truyền sóng có độ dịch chuyển pha hình thành độ cong của mặt đầu sóng. Tiêu cự của thấu kính phụ thuộc vào công suất của sóng tới, hình 1.8.
Trộn bốn sóng
Quá trình ba trường laser với tần sốω1, ω2vàω3lan truyền đồng thời trong môi trường phi tuyến Kerr tạo ra trường thứ tư với tần sốω4(hayωF W M) có giá trị bằng ωF W M =ω1±ω2±ω3, quá trình này được gọi là hiệu ứng trộn bốn sóng (FWM), hình1.9a. Hoà âm bậc ba (THG) là trường hợp đặc biệt của quá trình trộn bốn sóng ở đó ω1 =ω2 =ω3 =ω và ωF W M = 3ω (hình1.9b). Khi hai trường laser được điều chỉnh trong miền tần số thoả ω1−ω2 cộng hưởng với một tần số Raman kích thích của môi trường phi tuyến thì quá trình FWM lúc nàyωF W M =ω1−ω2+ω3 =ωCARS liên quan đến tán xạ Raman anti-Stokes. Một trường hợp khác của hiệu ứng trộn bốn sóng là trộn bốn sóng suy biến (DFWM) khi đóωDF W M =ω=ω−ω+ω[1,8].
Hình 1.9: Trộn bốn sóng.[8]
Phân cực phi tuyến bậc ba là nguyên nhân gây nên quá trình FWM, đồng thời hợp pha là chìa khoá để quá trình biến đổi tần số trong FWM đạt hiệu quả cao. Hợp pha trong quá trình FWM đạt được bằng cách chọn góc thích hợp giữa véc tơ sóng
của trường laser và véc tơ sóng của tín hiệu phi tuyến hoặc sử dụng sóng truyền dẫn không hợp pha có tán sắc vật liệu cân bằng với thành phần tán sắc ống dẫn sóng.
Sự hợp pha quang học
Hợp pha quang học hiểu một cách chung nhất là tạo ra trường quang học với nghịch đảo thời gian sóng ban đầu, hoặc tạo ra một pha liên hợp. Hiệu ứng này có thể được sử dụng để hiệu chỉnh quang sai của hệ thống quang. Giả sử rằng chùm ánh sáng với một sóng phẳng ban đầu lan truyền trong môi trường quang sai, ta thay đổi áp suất hoặc vật liệu với tính dị hướng của chiết suất thì chùm sóng ban đầu lan truyền trong môi trường bị méo. Chúng ta sử dụng quá trình hợp pha quang học để tạo ra trường với sóng nghịch đảo thời gian sóng ban đầu của chùm lan truyền thông qua hệ thống quang sai. Chùm hợp pha bây giờ lan truyền trong môi trường quang sai theo hướng ngược lại, sóng ban đầu được phục hồi.
Hình 1.10: Trộn bốn sóng suy biến.[8]
Hợp pha có thể được đưa ra thông qua quá trình trộn bốn sóng suy biến (DFWM) của trường ánh sáng. Hợp pha dạng hình học của DFWM được thể hiện qua hình 1.10. Trong phần này, hai trường bơm lan truyền ngược nhau với điện trường tương ứng là E1 và E2 với cùng tần số ω, véc tơ sóng k1 và k2 =−k1 chiếu vào môi trường có độ phi tuyến bậc baχ(3)DF W M =χ(3)(ωF W M;ω1, ω2, ω3). Tương tác DFWM của hai trường bơm với tín hiệu yếu có cùng tần số ω và véc tơ sóng tuỳ ý k3 dẫn đến trường với tần số ω lan truyền theo hướng đối diện với tín hiệu bơm, đó là hợp pha của trường tín hiệu. Hợp pha được tạo ra thông qua DFWM có thể nghĩ là kết quả làm tan nhiễu của trường bơm phía trước do trường bơm phía sau và trường tín hiệu hoặc kết quả của sự phân tán nhiễu của trường bơm phía sau do trường bơm và trường tín hiệu phía trước [8].
Tán xạ Raman kích thích
(SRS)[8] và được phát hiện bởi Raman và Krishnan cùng thời điểm với Mandelstam và Landsberg năm 1928.
Trong vùng SRS, các mode kích hoạt Raman của vật liệu có vai trò như bộ biến điệu quang học, cưỡng bức trường laser dịch chuyển để phát ra tần số mới. Điều kiện trường laser mạnh, hiệu ứng này không chỉ tạo ra photon ở tần số mới thông qua tương tác với mode kích hoạt Raman mà còn khuếch đại ánh sáng của photon.
Bên cạnh đó ảnh hưởng của SRS thể hiện mạnh mẽ nhất trong trường hợp soliton lan truyền trong môi trường phi tuyến. Khi đó SRS gây ra một số hiện tượng như phá vỡ và tự dịch chuyển tần số của soliton.
1.3.2 Hiệu ứng ánh sáng trắng
Hàng loạt các hiệu ứng phi tuyến nêu trên như tự biến điệu pha, biến điệu chéo pha, trộn bốn sóng, tán xạ Raman kích thích, hiện tượng soliton,....tham gia vào quá trình mở rộng phổ một cách liên tục của xung laser lan truyền trong môi trường phi tuyến. Hiện tượng đó được gọi là hiệu ứng ánh sáng trắng. Xung ánh sáng trắng được tạo ra có đặc điểm độ rộng phổ lớn (có thể lên trên 1000 nm) và thời gian xung ngắn (có thể rút xuống cỡ dưới một trăm femto giây). Với những đặc điểm nổi bật đó thì xung ánh sáng trắng đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu khoa học, đặc biệt là trong kĩ thuật đo phổ quang học phân giải theo thời gian.
Kết luận chương 1
Thông qua quá trình tìm hiểu về laser xung ngắn và kĩ thuật tạo xung laser cực ngắn, chúng tôi nhận thấy rằng: laser xung có công suất trung bình thấp nhưng có công suất đỉnh rất cao. Ngoài đặc điểm nêu trên thì laser xung ngắn còn có một độ rộng phổ nhất định. Để tạo được laser phát xung cực ngắn thì người ta sử dụng phương pháp khóa mode. Phương pháp này gồm hai loại: khóa mode chủ động và khóa mode bị động. Trong đó khóa mode bị động thì ưu việt hơn khóa mode chủ động vì tạo ra xung cực ngắn và ổn định hơn mà không cần sự đồng bộ của các thiết bị ngoại vi.
Quá trình lan truyền của xung laser trong môi trường phi tuyến được mô tả bằng phương trình Schrodinger phi tuyến. Đồng thời qua phương trình Schrodinger, chúng tôi tìm hiểu về những hiệu ứng quang phi tuyến như SPM, XPM, SRS, soliton,...Mỗi hiệu ứng có những đặc điểm riêng và các hiệu ứng này có thể xảy ra đồng thời trong quá trình tương tác giữa xung ánh sáng và môi trường phi tuyến.
Chương 2
Tạo xung ánh sáng trắng bằng laser femto giây
Ánh sáng trắng có thể được tạo ra trong môi trường nước, thuỷ tinh,...nhưng cần phải kích thích bằng những xung laser có năng lượng cao. Để cung ứng đủ mức năng lượng trên thì phải sử dụng tới những hệ laser khuếch đại. Nhược điểm của việc sử dụng nguồn laser năng lượng cao là chi phí lớn, phải dùng kết hợp với các phương tiện hỗ trợ thoát nhiệt để ổn định SC, ví dụ như trường hợp tạo SC bằng tinh thể CaF2. Còn tạo SC bằng sợi PCF chỉ cần những xung laser có năng lượng nhỏ. Điều đó cho phép đơn giản hoá khi xây dựng thí nghiệm và hạ giá thành. Chính vì những lí do đó nên trong đề tài này chúng tôi chọn tạo xung SC bằng laser femto giây và sợi PCF. Tuy nhiên, để có thể sử dụng PCF như một nguồn phát xung ánh sáng trắng cho các ứng dụng thì các thông số của SC ở đầu ra phải thỏa mãn các yêu cầu khắc khe về mặt kĩ thuật.