2.3. Vành hữu hạn trực giao và đếm đợc linh hóa tử phải
2.3.1. Điều kiện hữu hạn trực giao của vành
Trong mục này chúng ta sẽ xét mối quan hệ giữa tính hữu hạn trực giao và
điều kiện chuỗi tăng (ACC) đối với linh hóa tử phải và điều kiện chuỗi giảm (DCC) đối với linh hóa tử phải. Trớc tiên ta định nghĩa một vài khái niệm.
Định nghĩa 4. Tập hợp {ei, i ∈ I} các phần tử lũy đẳng của một vành R đợc gọi là tập hợp các lũy đẳng trực giao nếu eiej = 0, với i ≠ j.
Vành R đợc gọi là thỏa mãn điều kiện hữu hạn trực giao nếu R không chứa tập hợp gồm vô hạn phần tử lũy đẳng trực giao khác 0.
Mệnh đề 17. Giả sử R là một vành khi đó các phát biểu sau đây là tơng đơng:
(a) R thỏa mãn điều kiện chuỗi tăng (ACC) (tơng ứng thỏa mãn điều kiện chuỗi giảm (DCC)) đối với linh hóa tử phải;
(b) R là hữu hạn trực giao và R thỏa mãn điều kiện chuỗi tăng (tơng ứng thỏa mãn điều kiện chuỗi giảm) đối với linh hóa tử phải không chứa các luỹ
đẳng khác không.
Chứng minh. (a) suy ra (b) là hiển nhiên. Ta chứng minh (b) suy ra (a).
Giả sử rằng R là hữu hạn trực giao và R thỏa mãn điều kiện chuỗi tăng đối với linh hóa tử phải không chứa các luỹ đẳng khác không.
Giả sử I1⊆ ⊆I2 L là một chuỗi tăng các linh hoá tử phải. Từ R là hữu hạn trực giao, I = ∪i iI không chứa tập vô hạn gồm các luỹ đẳng trực giao. Do đó tồn tại một luỹ đẳng e I∈ sao cho (1−e I) không chứa các luỹ
đẳng khác không. Khi đó e I∈ j đối với một j nào đó. Theo giả thiết đối với e, (1−e I) j ⊆ −(1 e I) j+1⊆L là một chuỗi tăng các linh hoá tử phải không chứa các luỹ đẳng khác không. Khi đó tồn tại k ≥ jsao cho
(1−e I) k = −(1 e I) k+1=L Từ e I∈ j, Im =eR⊕ −(1 e I) m với mọi m≥ j. Từ
đó Ik =eR⊕ −(1 e I) k =eR⊕ −(1 e I) k m+ = Ik m+ với mọi m≥0.
Tiếp theo ta giả sử rằng R là hữu hạn trực giao và R thỏa mãn điều kiện chuỗi giảm đối với linh hóa tử phải không chứa các luỹ đẳng khác không. Giả sử rằng I1⊇ ⊇I2 L là một chuỗi giảm các linh hóa tử phải. Từ Rlà hữu hạn trực giao, I =Ii iI chứa một luỹ đẳng e sao cho (1−e I)
không chứa các luỹ đẳng khác không. Chúng ta thấy rằng sẽ tồn tại một số nguyên dơng j sao cho linh hóa tử phải (1−e I) j không chứa các luỹ đẳng khác không. Khi đó tồn tại k ≥ j sao cho (1−e I) k = −(1 e I) k+1=L khi đó
(1 ) (1 )
k k k m k m
I =eR⊕ −e I =eR⊕ −e I + =I + đối với mọi m≥0.
Ví dụ sau đây chứng tỏ điều kiện “R là vành hữu hạn trực giao” và “thỏa mãn ACC (tơng ứng DCC) đối với các linh hóa tử phải không chứa lũy đẳng khác 0) ” trong (b) của định lý trên là độc lập với nhau và không thể bỏ đợc.
Ví dụ. Giả sử F là một trờng và giả sử
1 i i
A ∞ A
=
=∏ ở đó Ai = F x[ ] là
vành đa thức trên trờng F. Khi đó A thoả mãn ACC (tơng ứng DCC) đối với linh hóa tử phải không chứa các lũy đẳng khác không, nhng A không phải là hữu hạn trực giao và cũng không thỏa mãn ACC cho tất cả các linh hóa tử phải.
Tiếp theo giả sử rằng R là vành con của A sinh bởi ⊕∞i=1Sivà 1A, ở đó
[ ]
Si = xF x là iđêan của Ai sinh bởi x đối với mọi i=1,2,L Khi đó R là một vành chỉ có luỹ đẳng 0 và 1A nên R thỏa mãn điều kiện hữu hạn trực giao nh- ng R không thỏa mãn điều kiện ACC (tơng ứng DCC) đối với linh hóa tử phải không chứa các lũy đẳng khác không.
Vành Baer và vành tựa Baer là những vành đợc định nghĩa thông qua các
điều kiện đối với các iđêan linh hóa tử phải hay trái. Sau đây chúng ta định nghĩa và suy ra một số kết quả về các vành này.
Định nghĩa 5. Một vành R đợc gọi là vành Baer nếu mỗi iđêan linh hóa tử phải và trái đợc sinh bởi một phần tử lũy đẳng.
Vành R đợc gọi là vành tựa Baer nếu linh hóa tử phải của mọi iđêan của R
đều đợc sinh bởi một lũy đẳng của R.
Sau đây là một hệ quả trực tiếp của định lý trên liên quan đến vành Baer và thuộc tính hữu hạn trực giao.
Hệ quả 18. Đối với một vành R cho trớc, các phát biểu sau đây là tơng đơng:
(a) Mọi linh hóa tử phải khác không trong R chứa một luỹ đẳng khác không và R là hữu hạn trực giao;
(b) R là một vành Bear hữu hạn trực giao;
(c) Mọi linh hóa tử phải khác không trong R chứa một luỹ đẳng khác không và R thỏa mãn điều kiện ACC đối với linh hóa tử phải.
Một vành Bear đếm đợc chỉ có một số đếm đợc các linh hóa tử phải. Khái quát hơn, nếu mỗi linh hóa tử phải của một vành đếm đợc R là một linh hóa tử phải của một tập hợp hữu hạn nào đó của R thì khi đó R chỉ chứa một số
đếm đợc các linh hóa tử phải. Ngời ta đã chứng minh đợc rằng một vành đếm
đợc thỏa mãn điều kiện DCC đối với linh hóa tử chỉ chứa một số đếm đợc các linh hóa tử phải. Ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 19. Các phát biểu sau đây là tơng đơng:
(a) R là một vành thoả mãn điều kiện DCC trên linh hóa tử phải;
(b) Đối với mỗi tập con S khác rỗng của R tồn tại một tập hợp hữu hạn
S' của S sao cho r S( ) =r S( )' .
Chứng minh. Chứng minh (a) ⇒ (b). Giả sử S là một con khác rỗng của R, giả sử a1∈S. Nếu r S( ) ỉr a( )1 , thì tồn tại a2∈S sao cho
( )1 ( 1, 2)
r a Ùr a a tiếp tục quá trình này chúng ta thu đợc một chuỗi giảm thực sự
các linh hóa tử phải. Từ R thỏa mãn điều kiện DCC trên linh hóa tử phải,
( ) ( 1, ,2 n)
r S =r a a La , với mỗi a a1, , ,2 L an∈S.
Chứng minh (b) ⇒ (a). Giả sử r S( )1 ⊃r S( )2 ⊃Llà một chuỗi giảm các linh hóa tử phải chúng ta dễ thấy rằng ∩ir S( ) (i = ∪r iSi) . Theo giả thiết, tồn tại một tập con hữu hạn S' của UiSi sao cho r S( )' =r(UiSi) . Vì S' là hữu
hạn nên sẽ tồn tại i1< < <i2 L ik sao cho S' ⊆Si1 ∪Si2 ∪ ∪L Sik . Khi đó
( )ik ( )ik j
r S r S
= + đối với mỗi j=1,2, ,L
Hệ quả 20. Nếu một vành đếm đợc R thỏa mãn điều kiện ACC hoặc DCC đối với linh hóa tử phải khi đó R chỉ có một số đếm đợc các linh hóa tử phải.
Chứng minh. Nếu R thỏa mãn điều kiện DCC đối với linh hóa tử phải thì tập các linh hóa tử phải là đếm đợc theo mệnh đề 19. Nếu R thỏa mãn điều kiện ACC đối với linh hóa tử phải thì R thoả mãn điều kiện DCC đối với linh hóa tử trái. Thế thì tập hợp các linh hóa tử trái là đếm đợc. Vì có sự tơng ứng 1-1 giữa tập hợp các linh hóa trái và tập hợp các linh hóa phải nên tập hợp các linh hóa tử phải cũng đếm đợc.
Trong phần trên chúng tôi đã hệ thống hóa một số kiến thức về đến các vành nửa nguyên tố có liên quan đến điều kiện ACC và DCC đối với linh hóa tử. Phần tiếp theo sau đây chúng tôi hệ thống hóa một số kiến thức liên quan
đến các vành nửa nguyên tố có một số đếm đợc các linh hóa tử phải.