Vành P-nội xạ với điều kiện chuỗi trên linh hóa tử

2.3. Vành hữu hạn trực giao và đếm đợc linh hóa tử phải

2.3.3. Vành P-nội xạ với điều kiện chuỗi trên linh hóa tử

Định nghĩa 8. Cho M là một môđun phải trên vành R. M đợc gọi là môđun P- nội xạ nếu với mỗi iđêan phải chính I của R, mỗi đồng cấu R-môđun phải từ I vào M luôn mở rộng đợc thành một đồng cấu từ R vào M.

Điều kiện nêu trong định nghĩa này có thể phát biểu d ới dạng sau:

môđun M là P-nội xạ nếu và chỉ nếu với mỗi phần tử a thuộc R, mỗi đồng cấu R-môđun phải f từ aR vào M luôn đợc cho dới dạng một phép nhân với một phần tử m của M.

Một vành R đợc gọi là P- nội xạ phải nếu RR là một P- nội xạ. Khái niệm này xuất hiện lần đầu tiên trong một bài báo của Ikeda và Nakayama vào năm 1954. Đây là một sự mở rộng của khái niệm môđun nội xạ dựa theo dấu hiệu Baer bằng cách thay điều kiện iđêan phải bất kì bởi iđêan phải chính.

Chúng ta biết rằng vành R là chính quy von Neumann khi và chỉ khi mỗi iđêan phải chính của R là một hạng tử trực tiếp của R. Từ đó suy ra rằng mọi vành chính quy von Neuman là P- nội xạ phải. Vành chính quy cũng là vành không suy biến.

Sau đây là một số đặc trng của vành P-nội xạ phải.

Mệnh đề 24. Đối với một vành R các phát biểu sau là tơng đơng:

(a) R là vành P-nội xạ;

(b) l(r(a)) = Ra, với mọi phần tử a của R;

(c) r(a) ⊆ r(b), víi a, b ∈ R suy ra Rb ⊆ Ra;

(d) l(bR ∩ r(a)) = l(b) + Ra, với mọi a, b ∈ R;

(e) Nếu f : aR → R, a∈R, là đồng cấu R môđun thì f(a) – ∈Ra.

Chứng minh. (a) ⇒ (b).Ta luôn luôn có Ra ⊆ l(r(a)). Nếu b ∈ l(r(a)) thì

r(a) ⊆ r(b). Do đó f: aR → R đợc xác đinh bởi f(ar) = br là một ánh xạ. Thế

thì f cho bởi phép nhân bên trái với một phần tử c nào đó, c ∈ R, do (a). Khi

đó b = f(a) = ca ∈ Ra.

(b) ⇒ (c). Nếu r(a) ⊆ r(b) thì b ∈ l(r(a)). Do đó b ∈ Ra, do (b). Điều này suy ra Rb ⊆ Ra.

(c) ⇒ d). Giả sử x ∈ l(bR ∩ r(a)). Khi đó r(ab) ⊆ r(xb) nên xb = rab

đối với phần tử r ∈ R nào đó. Vì vậy x - ra ∈ l(b), hay x = l(b) + ra. Điều này chứng tỏ l(bR ∩ r(a)) ⊆ l(b) + Ra. Bao hàm thức ngợc lại luôn luôn đúng.

Vậy ta có đẳng thức l(bR ∩ r(a)) = l(b) + Ra, với mọi a, b ∈ R.

(d) ⇒ (e). Giả sử f: aR → R là một đồng cấu R-môđun và f(a) = d. Khi

đó r(a) ⊆ r(d), nên d ∈ l(r(a)). Nhng vì l(r(a)) = Ra nên d ∈ Ra.

(e) ⇒ (a). Giả sử f aR: →R theo (e) ta có f a( ) =ca, với phần tử c nào

đó thuộc R. Khi đó f cho bởi phép nhân vào bên trái phần tử c. Vì vậy (a) đúng.

Mệnh đề 25. Giả sử R là một vành Baer chính quy với | |R c< (c là lực lợng continuum). Khi đó R là một vành artin nửa đơn.

Chứng minh. Định lý đợc chứng minh nếu chúng ta chỉ ra rằng Rthỏa mãn ACC đối với các iđêan trái chính. Giả sử Re1⊂Re2 ⊂Llà một chuỗi tăng nghiêm ngặt trong đó en =en2 với mọi n. Rõ ràng là e en n+1=en với mọi n. Ta đặt f1 =e f1, n+1= fn +en+1−e fn+1 n. Kiểm tra đợc rằng Ren =Rfn và

1 1

n n n n n

f f + = f + f = f với mọi n. Vì thế, theo phơng pháp quy nạp ta có,

n m m n n

f f = f f = f với mọi m>n. Đặt gn = fn − fn+1. Thế thì gn2 =gn với mọi n và g gm n =0 nếu m n≠ . Chú ý rằng gn ≠0, từ Rfn =Ren ≠Ren+1 =Rfn+1. Với mỗi tập con Skhác rỗng của tập hợp số tự nhiên, chọn một lũy đẳng hS trong Rsao cho linh hóa tử phải của {g i Si : ∈ } là (1−h RS) . Rõ ràng là

i S i

g h =g với mọi i S∈ , và (1−h gS) k =gk ( tức là h gS k =0) với mọi k ⊄S.

Chú ý rằng h gS k =0 keo theo g h gk S k =0 vì thế g hk S ≠ gk. Vì thế nếu S và

Tlà các tập con khác nhau của tập hợp số tự nhiên, thì hS ≠hT. Điều này mâu thuẫn với giả thiết | |R c< . Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Mệnh đề sau đây cho một số đặc trng vành P-nội xạ phải không suy biến phải có chiều Goldie hữu hạn.

Mệnh đề 26. Giả sử R là một vành P- nội xạ phải không suy biến phải khi

đó các mệnh đề sau đây là tơng đơng:

(a) R thỏa mãn điều kiện ACC đối với linh hóa tử phải;

(b) R chỉ có chiều Goldie phải hữu hạn ; (c) R là vành Artin nửa đơn.

Chứng minh. (a) ⇒ (c). Theo một kết quả của Ikeda và Nakayama, dẫn theo [8] , một vành R là P- nội xạ phải nếu và chỉ nếu mọi iđêan chính trái của R là một linh hóa tử trái. Từ R thỏa mãn điều kiện ACC đối với linh hóa tử phải, R thoả mãn điều kiện DCC đối với linh hóa tử trái. Do đó R thoả

mãn điều kiện DCC đối với iđêan trái chính và do đó R là một vành hoàn thiện phải. Theo một kết quả đợc trình bày trong [Stentrom], R là nửa nguyên sơ. Giả sử rằng căn Jacobson J R( ) ≠0, giả sử r a( ) là tối đại trong tập

( ) ( )

{r x | 0≠ ∈x J R } . Từ R không suy biến trái, r a( ) không phải cốt yếu. Từ

đó ta có thể chọn một phần tử b khác không b R∈ sao cho r a( ) ∩bR=0. Từ R

là nửa artinian phải chúng ta có thể giả sử rằng bR là iđêan phải tối tiểu của R. Do ab≠0, bR abR≅ . Từ r ab( ) ⊇r b( ) và r b( ) là iđêan phải tối đại của R,

( ) ( )

r b =r ab . Do đó Rb l r b= ( ( ) ) =l r ab( ( ) ) = Rab. Do đó b cab= với mỗi c

nào đó c R∈ , vì thế b r a aca∈ ( − ) . Suy ra r a( ) ỉr a aca( − ) . Từ r a( ) là tối

đại trong tập {r x( ) | 0≠ ∈x J R( ) } , chúng ta kết luận rằng a aca− =0. Khi đó

( )

J R chứa một luỹ đẳng khác không ac, điều này là mâu thuẫn. Từ đó suy ra

( ) 0,

J R = và do đó R là vành Artin nửa đơn.

(c) ⇒ (b) là hiển nhiên, vì mọi môđun Artin luôn có chiều Goldie hữu hạn.

(b) ⇒ (a). Giả sử Q kí hiệu vành thơng bên phải tối đại của R. Ta đã biết rằng Q là một vành chính quy von Neumann. Từ RR là một R- môđun con cốt yếu của QR và từ RR chỉ có chiều Goldie hữu hạn, QQ cũng có chiều Goldie hữu hạn. Từ Q là vành chính quy, suy ra Qlà vành Artin nửa đơn. Từ Q thỏa mãn

điều kiện ACCđối với linh hóa tử phải, vành con Rcũng vậy.

Ta có thể tổng quát hóa nh sau :

Mệnh đề 27. Một vành Baer P- nội xạ phải đếm đợc là vành artin nửa đơn.

Chứng minh. Ta đã biết rằng một vành Baer là không suy biến phải và cũng không suy biến trái. Từ chứng minh mệnh đề 25 chúng ta thấy rằng một vành Bear đếm đợc là vành thỏa mãn điều kiện hữu hạn trực giao. Theo hệ quả

18 ở trên, R thỏa mãn điều kiện ACC đối với linh hóa tử phải. Từ đó kết luận của mệnh đề đợc suy ra từ mệnh đề 26.

Hệ quả 28. Giả sử R là một vành P- nội xạ phải nguyên tố có chỉ số giới nội.

Khi đó R là một vành artin đơn.

Kết luận chơng 2.

Trong chơng 2 chúng tôi khai thác một số t liệu về lý thuyết vành và môđun liên quan đến một số lớp vành thỏa mãn điều kiện chuỗi đối với các linh hóa tử. Chúng tôi đã sắp xếp và chứng minh chi tiết một số kết quả đã có nhằm tìm hiểu và học hỏi thêm một số kiến thức, rèn luyện khả năng tự học, bớc đầu tiếp xúc với những t liệu mới về vành và môđun.

kÕt luËn

Luận văn này đã hệ thống hóa lại một số kiến thức cơ sở về vành và môđun. Chúng tôi tập trung chủ yếu vào các phần tử đặc biệt, các iđêan đặc biệt trong một vành. Chúng tôi cũng hệ thống lại một số khái niệm công cụ thờng dùng trong nghiên cứu vành và môđun nh các điều kiện chuỗi, chiều Goldie, các mở rộng cốt yếu trong phạm trù môđun. Trên cơ sở các kiến thức chuẩn bị đó, chúng tôi đã tìm hiểu một số kiến thức mới đợc công bố trong các sách chuyên khảo và các bài báo khoa học xuất bản trong những năm gần đây.

1. Vành nửa nguyên tố thỏa mãn ACC, DCC đối với iđêan linh hóa tử phải.

2. Vành Goidie phải nửa nguyên tố với điều kiện DCC.

3. Vành hữu hạn trực giao và đếm đợc các linh hóa tử phải.

4. Vành nửa nguyên tố với một số đếm đợc các linh hóa tử phải.

5. Vành P-nội xạ với điều kiện chuỗi trên linh hóa tử.