Chương 2 Điểm bất động của ánh xạ co 14
2.2 Mở rộng nguyên lý ánh xạ co
2.2.3 Định lý điểm bất động Caristi
Để phát biểu và chứng minh định lý này chúng ta cần đến các khái niệm sau.
2.2.3.1. Định nghĩa [1]. Cho hàm số f : X −→ (−∞,+∞] từ không gian X vào (−∞,+∞]. Khi đó:
a. Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới tại x¯∈ X ( với f(¯x) < ∞), nếu với mọi > 0, tồn tại lân cận U của x¯ sao cho:
f(¯x)− 6f(y), ∀y ∈ U.
b. Nếu f(¯x) = ∞, thì f được gọi là nửa liên tục dưới tại x¯, nếu với mọi N > 0, tồn tại lân cận U của x¯ sao cho:
f(y) > N, ∀y ∈ U.
c. Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới, nếu nó nửa liên tục dưới tại mọi x ∈ X.
2.2.3.2. Nhận xét [1]. Một ánh xạ f nửa liên tục dưới nếu và chỉ nếu các tập mức dưới {x ∈ X : f(x) 6 α, α ∈ R} đóng trong X.
Chứng minh. Xem [1].
2.2.3.3. Định lý Caristi [2]. Cho (X, d) là một không gian mêtric đầy đủ và
hàm số ϕ : X −→ (−∞,+∞] nữa liên tục dưới và bị chặn dưới. Cho ánh xạ T trong X thoả mãn điều kiện
d(x, T x) 6ϕ(x)−ϕ(T x),∀x ∈ X.
Khi đó T có điểm bất động trong X.
Chứng minh. Trước hết ta đưa vào quan hệ thứ tự trên X như sau:
x 6 y ⇐⇒ d(x, y) 6 ϕ(x)−ϕ(y).
Dễ kiểm tra đó chính là một quan hệ thứ tự và ϕ là một hàm không tăng theo quan hệ thứ tự này, tức là nếux 6 y thì ϕ(y) 6ϕ(x).
Ta sẽ chứng minh rằng trong (X,6) tồn tại phần tử cực đại v. Lấy x1 ∈ X tuỳ ý và đặt
S(x1) = {y ∈ X :x1 6y}
= {y ∈ X :d(x1, y) 6 ϕ(x1)−ϕ(y)}
= {y ∈ X :d(x1, y) +ϕ(y) 6ϕ(x1)}.
Khi đó, vìd(x1, .) liên tục và ϕ nữa liên tục dưới nên S(x1) đóng.
Đặt a1 = inf{ϕ(y) : y ∈ S(x1)}. Khi đó tồn tại x2 ∈ S(x1) sao cho ϕ(x2) 6a1 + 1.
Lại đặt S(x2) ={y ∈ S(x1) : x2 6 y}. Khi đó, S(x2) đóng và S(x2) ⊂S(x1).
Đặt a2 = inf{ϕ(y) : y ∈ S(x2)}. Khi đó tồn tại x3 ∈ S(x2) sao cho ϕ(x3) 6 a2 + 1
2.
Tiếp tục quá trình trên, chúng ta nhận được dãy (xn) với ba tính chất sau:
xn+1 ∈ S(xn),
ϕ(xn+1) 6 an+ n1, víi an = inf{ϕ(y) : y ∈ S(xn)}, S(xn) đóng và S(xn+1) ⊂ S(xn), n = 1,2,3, . . .
Ta sẽ chứng minh rằng đường kính dn của tập hợp S(xn) tiến tới 0 khi n tiến tới ∞. Thật vậy, theo định nghĩa
S(xn) ={y ∈ S(xn−1) : xn 6 y}.
Lấy tuỳ ý x, y trong S(xn). Vì xn 6x, xn 6y nên ta có
d(xn, x) 6ϕ(xn)−ϕ(x), d(xn, y) 6 ϕ(xn)−ϕ(y).
VËy d(x, y) 6d(xn, x) +d(xn, y) 6 2ϕ(xn)−[ϕ(x) + ϕ(y)].
Mặt khác, theo định nghĩa của các an và xn, ta có ϕ(xn) 6an−1 + 1
n−1, ϕ(x) > an, ϕ(y) > an, an > an−1. Do đó
d(x, y) 62(an + 1
n−1)−2an = 2 n−1, với mọix, y ∈ S(xn). Vậy dn −→ 0khi n −→ ∞.
Vì không gian X đầy đủ nên theo nguyên lý Cantor,
∩∞n=1S(xn) ={v}.
Ta sẽ chứng minh rằngv là một phần tử cực đại trong (X,6), tức là nếu v 6w th× v = w.
ThËt vËy, v× v ∈ S(xn),∀n = 1,2, . . . suy ra v ∈ S(x1) ⇒ x1 6 v. Do
đó, từ v 6 w và quan hệ 6 là thứ tự nên x1 6 w, vậy w ∈ S(x1). Vì
v ∈ S(xn),∀n = 1,2, . . . suy ra v ∈ S(x2) ⇒ x2 6 v. Do đó, từ v 6 w và quan hệ 6 là thứ tự nên x2 6 w nên w ∈ S(x2). Tiếp tục như vậy ta được w ∈ ∩∞n=1S(xn) ={v}, tức là w = v và v là một phần tử cực đại.
Cuối cùng, ta chỉ ra rằng v là điểm bất động của T. Theo giả thiết, ta có
d(v, T v) 6ϕ(v)−ϕ(T v). Khi đó, theo định nghĩa thứ tự trên X ta có v 6T v. Nhưng vì v là cực đại nên ta phải có v = T v. Định lý được chứng minh.
Chú ý rằng điểm bất động của ánh xạ thoả mãn Định lý Caristi có thể không duy nhÊt.
2.2.3.4. Một ứng dụng của định lý Caristi
Sau đây ta sẽ xét một ứng dụng của định lý Caristi vào việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân với điều kiện đầu.
Giả sử phương trình vi phân dy
dx = f(x, y) (2.2)
với điều kiện đầu
y(x0) = y0, (2.3)
và hàmf xác định, liên tục trong một miền phẳngGnào đó chứa điểm (x0, y0) và thoả mãn điều kiện Lipsit theo y:
|f(x, y1)−f(x, y2)| 6M|y1 −y2|.
Chúng ta sẽ sử dụng định lý Caristi để chứng minh rằng lúc đó trên một
đoạn|x−x0| 6l nào đó, tồn tại một nghiệm y = ξ(x) của phương trình (2.2) thoả mãn điều kiện ban đầu(2.3).
Nghiệm của phương trình (2.2) cùng với điều kiện ban đầu (2.3) biểu diễn dưới dạng tích phân
ξ(x) =y0 + Z x
x0
f(t, ξ(t))dt. (2.4)
Do tính liên tục của hàm f, chúng ta có |f(x, y)| 6K trong một miền nào
đó G0 ⊂ G, chứa điểm (x0, y0). Bây giờ chúng ta chọn l > 0 sao cho các điều kiện sau được thoả mãn:
1. (x, y) ∈ G0, nÕu |x−x0| 6 l,|y −y0|6 Kl;
2. M l < 1.
Ta ký hiệu C∗ là không gian gồm các hàm liên tục xác định trên đoạn
|x−x0| 6 lsao cho|ξ(x)−y0| 6 Kl, với mêtricd(ξ1, ξ2) = max
x |ξ1(x)−ξ2(x)|. Không gianC∗ là đầy đủ vì nó là không gian con đóng của không gian đầy
đủ gồm các hàm liên tục trên đoạn [x0 −l, x0 + l]. Xét ánh xạ ψ = T ξ, xác
định bởi công thức
ψ(x) = y0 + Z x
x0
f(t, ξ(t))dt,
ở đây |x−x0| 6 l. Khi đó ta thấy T liên tục. Chúng ta sẽ chứng minh T thoả
mãn định lý Caristi. Thật vậy, giả sử ξ ∈ C∗,|x−x0| 6 l, ta có
|ψ(x)−y0| = | Z x
x0
f(t, ξ(t))dt| 6 Z x
x0
Kdt 6 Kd
và, do đóT ξ = ψ ∈ C∗. Vì ξ bất kì thuộc C∗ nên suy ra T C∗ ⊂ C∗. VậyT là một phép biến đổi trên C∗.
Mặt khác lại có
d(T ξ, T(T ξ)) = max
x |(y0 + Z x
x0
f(t, ξ(t))dt)−(y0 + Z x
x0
f(t, T ξ(t))dt))|
= max
x | Z x
x0
f(t, ξ(t))dt− Z x
x0
f(t, T ξ(t))dt|
= max
x | Z x
x0
(f(t, ξ(t))−f(t, T ξ(t)))dt|
6 max
x
Z x
x0
|f(t, ξ(t))−f(t, T ξ(t))|dt 6 max
x
Z x
x0
M max
t |ξ(t)−T ξ(t)|dt
= max
x M
Z x
x0
maxt |ξ(t)−T ξ(t)|dt
= max
x M dmax
t |ξ(t)−T ξ(t)|
= M ld(ξ, T ξ).
Suy ra
d(ξ, T ξ) = d(ξ, T ξ)
1−M d −M dd(T ξ, T(T ξ)) 1−M d 6 d(ξ, T ξ)
1−M d − d(T ξ, T(T ξ)) 1−M d .
Đặt ϕ(ξ) = d(ξ,T ξ)1−M d ta có
d(ξ, T ξ) 6 ϕ(ξ)−ϕ(T ξ)
Hơn nữaϕ là hàm liên tục do dvà T là các hàm liên tục. Do đó ϕ, T thoả mãn
định lý Caristi. Do đó phương trình T ξ = ξ có nghiệm. Tức là phương trình (2.4) có nghiệm.
Các định lý trên đây đã cho các mở rộng rất tốt của nguyên lý điểm bất động Banach. Tuy nhiên, điều kiện của các định lý trên cũng khá ngặt. Một hướng khác để mở rộng nguyên lý này là mở rộng ra lớp các ánh xạ thô.