Chương 2 Điểm bất động của ánh xạ co 14
2.2 Mở rộng nguyên lý ánh xạ co
2.2.6 Điểm bất động của ánh xạ đa trị k -co r -thô
Bây giờ chúng ta chứng minh một mở rộng cho ánh xạ đa trị co thô. Nhưng trước hết chúng ta cần đến một khái niệm của giải tích đa trị.
2.2.6.1. Định nghĩa.
a. Chok ∈ [0,1) vàr > 0, ánh xạ đa trị T từX vàoCB(X) được gọi là ánh xạ đa trị k-co r-thô nếu với mọi x, y ∈ X ta có
D(T x, T y) 6 kd(x, y) +r.
b. Trong định nghĩa trên, khi r = 0thì ánh xạ đa trị k-co r-thô là ánh xạ đa trị k-co.
2.2.6.2. Mệnh đề. Cho(X, d) là không gian mêtric, C là một tập hợp compact
trongX, T :C −→ B(C) là một ánh xạ k-cor-thô. Khi đó tồn tạix∗ ∈ C sao cho
d(x∗, T x∗) 6 2−k 1−kr.
Chứng minh. Lấyh ∈ (k,1)vàx0 bất kì thuộcX, sau đó lấy bất kìx1 ∈ T x0. Nếu d(x0, x1) = 0, suy ra x0 = x1 hay x0 ∈ T x0 có nghĩa x0 là điểm thoả
mãn định lý. Bây giờ giả sử d(x0, x1) > 0, ta có d(x1, T x1) 6 D(T x0, T x1)
6 kd(x0, x1) +r
< hd(x0, x1) +r.
Suy ra tồn tạix2 ∈ T x1 sao cho
d(x1, x2) 6 hd(x0, x1) +r.
Lại có
d(x2, T x2) 6 D(T x1, T x2) 6 kd(x1, x2) +r
6 khd(x0, x1) + (k+ 1)r
< h2d(x0, x1) + (k+ 1)r.
Suy ra tồn tạix3 ∈ T x2 sao cho d(x2, x3) 6h2d(x0, x1) + (k + 1)r. Tiếp tục quá trình trên, ta chọn được dãy (xn) ⊂ X thoả mãn:
xn+1 ∈ T xn,
d(xn, xn+1) 6 hnd(x0, x1) + (kn−1 +ã ã ã+k + 1)r 6 hnd(x0, x1) + 11−kn−1
1−k r 6 hnd(x0, x1) + r
1−k.
Vì h ∈ (k,1)nên lim
n→∞hnd(x0, x1) = 0. Suy ra
∀ > 0, ∃n : n > n ⇒ d(xn, xn+1) < r
1−k + 2
VìC compact nên tồn tại một dãy con(xnl) của dãy(xn) mà xnl hội tụ đến x∗ ∈ C. Do đó
∃nl : nl > nl ⇒d(xnl, x∗) <
2(k + 1). Ta cã
d(xnl+1, T x∗) 6 D(T xnl, T x∗) 6kd(xnl, x∗) +r < k
2(k+ 1) +r.
Đặt m = max{n, nl}, khi đó với mọi nl > m ta có
d(x∗, T x∗) 6 d(x∗, xnl) +d(xnl, xnl+1) + d(xnl+1, T x∗)
<
2(k + 1) + [ r
1−k +
2] + [k
2(k + 1) + r]
= 2−k
1−kr +, ∀ > 0.
VËy d(x∗, T x∗) < 2−k1−kr +, ∀ > 0.
Bây giờ cho −→ 0, chúng ta có d(x∗, T x∗) 6 2−k1−kr. Như vậy mệnh đề
được chứng minh.
Trong mệnh đề trên, nếu r = 0, thì ánh xạ T : C −→ B(C) là ánh xạ k-co và ta có hệ quả.
2.2.6.3. Hệ quả. Cho (X, d) là không gian mêtric, C là một tập compact trong X, T : C −→ B(C) là một ánh xạ k-co. Khi đó tồn tại x∗ ∈ C sao cho d(x∗, T x∗) = 0.
Trong mệnh đề trên, nếu r = 0 và ánh xạ T : C −→ CB(C) nhận giá trị không rỗng, đóng, bị chặn trong C, ta có hệ quả sau.
2.2.6.4. Hệ quả. Cho (X, d) là không gian mêtric, C là một tập compact trongX, T : C −→ CB(C) là một ánh xạk-co. Khi đó tồn tạix∗ ∈ C sao cho
x∗ ∈ T x∗.
Chứng minh. Với r = 0, từ mệnh đề trên suy ra tồn tại x∗ ∈ C sao cho d(x∗, T x∗) = 0. Do T x∗ là tập hợp đóng nên suy ra x∗ ∈ T x∗.
Trong mệnh đề trên, nếu ta xét ánh xạT là ánh xạ đơn trị trong C thì ta có hệ quả sau.
2.2.6.5. Hệ quả. Cho(X, d)là không gian mêtric, C là một tập compact trong X, T là một ánh xạ đơn trị k-co r-thô trên C. Khi đó tồn tại x∗ ∈ C sao cho d(x∗, T x∗) 6 2−k1−kr.
Từ hệ quả 2.2.6.5, nếu ta lấy r = 0, thì lại thu được kết quả sau đây với ánh xạ đơn trị k-co.
2.2.6.6. Hệ quả. Cho(X, d)là không gian mêtric, C là một tập compact trong X, T là ánh xạ đơn trị k-co trong C. Khi đóT có điểm bất động duy nhất.
Chứng minh. Từ hệ quả 2.2.6.5, và r = 0 ta suy ra tồn tại x∗ ∈ C sao cho d(x∗, T x∗) = 0 tức là x∗ = T x∗. Điều này chứng tỏ T có điểm bất động. Mặt khác, giả sử có y∗ cũng là điểm bất động của T, khi đó ta có
d(x∗, y∗) = d(T x∗, T y∗) 6kd(x∗, y∗).
Vì k < 1 nên suy ra d(x∗, y∗) = 0. Do đó, x∗ = y∗. Chứng tỏ T có điểm bất
động duy nhất.
kÕt luËn
Vấn đề điểm bất động của ánh xạ là một vấn đề rộng. Đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu, và đã đạt được nhiều kết quả sâu sắc. Việc tiếp cận nó đòi hỏi nhiều công cụ của các chuyên nghành khác nhau của toán học.
Luận văn góp phần làm rõ thêm về vấn đề này. Kết quả của luận văn là:
Chương 1. Chứng minh được một số tính chất liên quan đến bán kính tự thân, bán kính tương đối của một tập con(Xem nhận xét 1.2.2), tính chất của khoảng cách Hausdorff (Xem nhận xét 1.3.2).
Chương 2. Trong chương này, luận văn có được các kết quả cơ bản sau:
1. Trình bày cách đầy đủ, chi tiết hơn chứng minh của một số định lý mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach.
2. Đưa ra một số tính chất về cấu trúc hình học của tập gồm các điểm của
ánh xạ k-co (xem hệ quả 2.2.4.3, hệ quả 2.2.5.4, nhận xét 2.2.5.5).
3. Đưa ra khái niệm ánh xạ đa trị k-co r-thô (xem định nghĩa 2.2.6.1), phát biểu mới và chứng minh mệnh đề về điểm bất động của ánh xạ này (xem mệnh
đề 2.2.6.2). Từ đó suy ra hai hệ quả về điểm bất động của ánh xạ đa trị k-co (xem hệ quả 2.2.6.3, hệ quả 2.2.6.4), hai hệ quả về điểm bất động của ánh xạ
đơn trị k-co và k-co r-thô (xem hệ quả 2.2.6.5, hệ quả 2.2.6.6).
4. Đưa ra một ví dụ ứng dụng định lý Caristi vào việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán Cauchy trong lý thuyết phương trình vi phân (xem mục 2.2.3.4).
Từ những kết quả thu được, chúng tôi thấy có các hướng nghiên cứu tiếp theo, liên quan tới vấn đề điểm bất động của ánh xạ co là:
1. Điều kiện nào để ánh xạ đa trị co yếu có điểm bất động và tập các điểm bất động của nó có cấu trúc như thế nào.
2. Mở rộng các kết quả định lý 2.2.1.3 cho các ánh xạ đa trị co yếu thô.