Ánh xạ trơn giữa các Đa tạp trừu tượng

Chương III: ÁNH XẠ TRƠN 3.1. Ánh xạ trơn trong không gian Euclide

3.3. Ánh xạ trơn giữa các Đa tạp trừu tượng

3.3.1 Định nghĩa Cho M là một đa tạp trừu tượng với số chiều m. Ánh xạ

: l

f M R được gọi là trơn nếu với mỗi bản đồ ,U trong tập bản đồ trơn của M thì ánh xạ f  là trơnU  Rl.

Tập U là mở trong R và tính trơn của m f  được xác định trên một tập mở. Dễ

35

thấy rằng yêu cầu trong định nghĩa là không thay đổi nếu tập bản đồ được thay bởi một tập bản đồ tương thích, vì vậy khái niệm chỉ phụ thuộc vào cấu trúc trơn của m.

Chú ý rằng ánh xạ trơn f :M Rl là liên tục, vì trong lân cận của mỗi điểm M

p nó có thể được viết như f 1 đối với bản đồ. Cho S và S~

lần lượt là các đa tạp trong Rn và Rl , và đặt f :S S~. Đã xác định rằng f là trơn. Chúng ta sẽ cho một sự mô tả tiếp theo.

Cho  :U S và U~ S~

~: 

 lần lượt là các bản đồ trên S và S~ , trong đó U  Rm và U  Rk là các tập mở. Vơi ánh xạ f S S~

:  , chúng ta gọi ánh xạ

 

 

f x 

x

f   

~1  :  ~1 (3.1) biểu diễn tọa độ cho f theo các bản đồ  và

~.Biểu diễn tọa độ được xác định với mọi xU mà f x ~(U~), nghĩa là nó xác định trên tập 1f~ U~  U (3.2) , và nó là ánh xạ vào U~

SRn f S~Rl

 ~

~1 f 

U Rm U~Rk

Suy ra rằng ~)

~(U

 là mở trong S~

. Vì vậy, nếu f là liên tục, khi đó f1~ U~  là mở

trong S. Vì  là liên tục nên ~1 f  được xác định là tập mở.

Định lí 3.3.1 Cho f S S~

:  là một ánh xạ. Nếu f là trơn thì nó là liên tục và



~1 f  là trơn, với mọi bản đồ  và ~ lần lược trên S và S~ .

36

Ngược lại, giả sử rằng với mỗi pS tồn tại bản đồ  :U S quanh p, và bản đồ U~ S~

~: 

 quanh f(p), sao cho f U ~(U~) và biễu diễn tọa độ là trơn. Khi đó, f là trơn.

Chứng minh

Giả sử rằng f là trơn, f là liên tục. Vì vậy (3.2) là mở. Từ đó suy ra rằng f  là trơn với mọi bản đồ trên S. Vì vậy sự hạn chế của nó lên tập (3.2) cũng trơn, suy rằng ánh xạ hợp ~1 f  là trơn.

Với chiều ngược lại, lấy tùy ý pS và đặt  và ~ thỏa mãn điều kiện trong định lí sao cho ~1 f  là trơn. Đẳng thức f  ~~1 f chỉ ra rằng f  là trơn. Vì các bản đồ  cho tất cả các điểm p tạo thành một tập bản đồ cho S, điều này suy ra rằng f là trơn.

Cho M và M~

là hai đa tạp trừu tượng, và đặt f M M~

:  là ánh xạ liên tục.

Giả sử :U  U M và ~:U~~ U~ M~ là các bản đồ trên hai đa tạp, khi đó

 

 

f U U

1 ~ ~

 là tập con mở của U, bởi vì f là liên tục. Nhắc lại, chúng ta gọi ánh xạ



~1 f  mà nó xác định trên tập này, biểu diễn tọa độ cho f theo  và ~. 3.3.2 Định nghĩa Cho f M M~

:  là ánh xạ giữa hai đa tạp trừu tượng. Khi đó, f được gọi là trơn nếu với mỗi pS tồn tại một bản đồ :U M quanh p, và một bản đồ U~ M~

~: 

 quanh f(p), sao cho f U ~(U~) và biễu diễn tọa độ



~1 f  là trơn.

Song ánh f M M~

:  được gọi là vi phôi nếu f và f -1 đều trơn.

Chú ý rằng ánh xạ trơn M M~ là liên tục. điều này được suy ra trực tiếp từ định nghĩa trên bằng cách viết f ~~1 f 1 trong lân cận của mỗi điểm.

Nên kiểm tra rằng khái niệm là độc lập với tập bản đồ của những bản đồ đã chọn, nghĩa là có thể thay thế bởi một tập bản đồ tương thích.

37

Suy ra rằng khái niệm về tính trơn là giống với trước kia nếu M  S Rn và M  S Rl.

Dễ thấy rằng hợp của hai ánh xạ trơn giữa các đa tạp trừu tượng là một ánh xạ trơn.

Ví dụ Cho M và N là hai không gian vectơ hữu hạn chiều vói số chiều lần lượt là m và n. Đây là hai đa tạp trừu tượng .Cho f :M N là ánh xạ tuyến tính. Nếu chúng ta chọn một cơ sở cho mỗi không gian và xác định bản đồ tương ứng , khi đó biểu diễn tọa độ cho f là một ánh xạ tuyến tính từ Rm vào Rn (được cho bởi ma trận biểu diễn f ), vì vậy nó là trơn. Từ đó suy ra rằng f là trơn. Nếu f là song ánh thì ánh xạ ngược của nó cũng tuyến tính, và vì vậy trong trường hợp này f là một vi phôi.

Ví dụ Cho :U M là một bản đồ trên đa tạp trừu tượng m-chiều M. Từ giả thiết về sự chuyển tiếp trơn trên phần giao suy ra rằng  là trơn từ U vào M, nếu chúng ta xem U như một đa tạp m-chiều (với bản đồ đồng nhất).

Ngược lại mỗi vi phôi g của một tập con mở không rỗng V Rm vào một tập con mở trong M là một bản dồ trên M. Thật vậy, theo định nghĩa của bản đồ g phải có phần giao trơn với mọi bản đồ  trong tập bản đồ của M, nghĩa là g1 và 1g phải trơn (trên các tạp mà ở đó chúng xác định). Điều này được suy ra từ nhận xét trước kia về ánh xạ trơn.