Không gian tiếp xúc của Đa tạp trong R n

Chương IV: KHÔNG GIAN TIÊP XÚC 4.1. Định nghĩa

4.2. Không gian tiếp xúc của Đa tạp trong R n

4.2.1 Định nghĩa Không gian tiếp xúc của  tại điểm pS là không gian tuyến tính m-chiều

0 m,

p x

T S T   R trong đó :U S là một bản đồ tùy ý trên S với )

(x0

p cho một vài x0U.

Suy ra rằng không gian tiếp xúc TpS Tx0 không phụ thuộc vào bản đồ , vì bất kỳ một bản đồ khác quanh p sẽ là sự tham số hóa lại. Trong đó điểm gốc p của

S

Tp thuộc S  Rn khác biệt với điểm gốc x0Rm của 

x0

T .

Để tổng quát hóa cho đa tạp trừu tượng chúng ta sẽ cho một đại diện khác của không gian tiếp xúc TpS.

41

Chúng ta gọi đường cong tham số hóa trơn  :I Rn là đường cong tham số hóa trên S nếu ảnh t0I được chứa trong S.

Định lí 4.2.1

Cho pS, không gian tiếp xúc TpS là tập tất cả các vectơ trong Rm, mà nó là vectơ tiếp xúc (t0) pvới một vài t0I .

Chứng minh

Cho  :U S là một bản đồ với p(x0) với một vài x0U . Theo định nghĩa TpS Tx0 . Ánh xạ vD(x0)v là một đẳng cấu tuyến tính từ Rm vào Tx0 . Với mỗi vRm chúng ta định nghĩa một đường cong tham số hóa:

) (

)

(t x0 tv

v  



với t gần với 0 (sao cho x0 tvU ). Từ quy tắc dây chuyền suy ra rằng v

x

v(0) D ( )

'  0

 

Vì vậy chúng ta kết luận rằng ánh xạ

T : Rm T Sp , v'v(0)

là đẳng cấu tuyến tính. Đặc biệt, chúng ta thấy rằng mỗi vectơ trong TpS là một vectơ tiếp xúc của đường cong tham số hóa trên S.

Ngược lại, cho một đường cong tham số hóa : I Rn trên S với (t0) p , chúng ta định nghĩa đường cong tham số hóatrong Rm, bởi 1 với t thuộc lân cận của t0. Đây là biểu diễn tọa độ của  theo . Từ đó suy ra rằng là trơn, và vì  nên từ quy tắc dây chuyền ta suy ra rằng '(t0)D(x0)'(t0)Tx0. Điều này chứng minh kết luận ngược lại.

4.3 KHÔNG GIAN TIẾP XÚC TRỪU TƯỢNG

Xét đa tạp trừu tượng m-chiều M, và cho :U Mlà một bản đồ. Không có ý nghĩa

khi lặp lại định nghĩa 3.1 của không gian tiếp xúc cho , bởi vì ma trận D(x0)cấp m

n không xác định.

42

Chúng ta xác định một đường cong tham số hóa trên M là ánh xạ trơn  :I M , trong đó I Rlà mở. Theo định nghĩa , 1 trơn với tất cả các bản đồ trên M, chúng ta gọi 1 biểu diễn tọa độ của  theo . Nếu một điểm pM thì một đường cong tham số hóa trên M qua p, là một đường cong tham số hóa trên M với t0I sao cho p(t0).

Cho 1:I1 M và 2:I2 M là hai đường cong tham số hóa trên M với )

( )

(1 2 2

1 t t

p  , và cho  là một bản đồ quanh p, p(x). Chúng ta nói rằng

1 và 2 tiếp xúc tại p nếu biểu diễn tọa độ thỏa mãn )

( )' (

) ( )'

(11 t1  12 t2

Bổ đề 4.3.1 Tính tiếp xúc tại p là một quan hệ tương đương trên các đường cong qua p. Nó độc lập với việc chọn bản đồ .

Chứng minh

Phát biểu đầu tiên là dễ thấy. Nếu ~ là một bản đồ khác khi đó biểu diễn tọa độ được liên hệ bởi ~ 1 (~ 1 ) ( 1 )

i

i    



        trên phần giao. Từ quy tắc dây chuyền suy ra (~1i)'(ti)D(~1)(x)(1i)'(ti)đối với đường cong. Suy ra quan hệ tương tự với được thay bởi~.

Chúng ta viết quan hệ tương đương như sau 1 ~p 2, và chúng ta giải thích nó như sự bằng nhau trừu tượng giữa các “vectơ tiếp xúc” của hai đường cong tại p. Mặc dù thực tế chúng ta chưa định nghĩa vectơ tiếp xúc của đường cong trên M. Điều này chính xác những gì cần để cung cấp lối giải thích trừu tượng.

4.3.2 Định nghĩa Không gian tiếp xúc TpM là tập hợp ~p-lớp của các đường cong tham số hóa trên M qua p.

Nhận xét sau đây là quan trọng, bởi vì nó chỉ ra rằng không gian tiếp xúc trừu tượng có tính địa phương, nghĩa là nó chỉ phụ thuộc cấu trúc của M trong lân cận của p. Nếu M'M là một tập con mở, khi đó M’ là một đa tạp trừu tượng. Hiển nhiên một đường cong tham số hóa trên M’ cung là một đường cong tham sô hóa trên M và khái niệm hai đường cong tiếp xúc tại điểm pM' là độc lập với cách chúng ta xét

43

đường cong. Suy ra rằng bao hàm thức TpM'TpM là hiển nhiên. Ngược lại, một đường cong tham số hóa  :I M qua p là tiếp xúc tại p với sự hạn chế của nó  I' trong đó I'1(M'), và nó cũng là đường cong tham số hóa trên M’. Suy ra rằng

M T M

Tp ' p .

Chúng ta cần thuyết phục chính chúng ta rằng không gian tiếp xúc trừu tượng tương đồng với không gian tiếp xúc trong trường hợp M  S Rn. Đây là nội dung của bổ đề sau.

Bổ đề 4.3.3 Cho S là một đa tạp trong Rm,và 1,2là hai đường cong trên S qua p. Khi đó, 1 ~p 2nếu và chỉ nếu 1'(t1)2'(t2).

Suy ra rằng ánh xạ  '(t0) cảm sinh một song ánh từ các ~p-lớp của các đường cong tham số hóa vào không gian tiếp xúc TpS. Vì vậy , không gian tiếp xúc trừu tượng tương ứng 1-1 với không gian tiếp xúc của đa tạp trong Rk .

Chứng minh:

Chọn một bản đồ  quanh p, và đặt i 1i là biểu diễn tọa độ cho i. Khi đó theo định nghĩa 1 ~p 2 nghĩa là 1'(t1)2'(t2).

Bằng việc áp dụng quy tắc dây chuyền cho sự biểu diễn i  i vài 1i chúng ta thấy rằng 1'(t1)2'(t2) nếu và chỉ nếu 1'(t1)2'(t2).

4.4 PHÂN THỚ TIẾP XÚC

Giả sử M là đa tạp khả vi trên m chiều lớp Ck. Xét p

p M

TM T M



 . Đối với

mỗi bản đồ ( , )U x trên M, ta đặt p

p U

TU T M



 Xét ánh xạ

 

: ( )

( ) (p), v(x'),..., v(x ) .

n m

x TU x U R

x v x

 



Ta gọi (TU x, ) là bản đồ trên TM, kết hợp với (U,x). Ta có thể trang bị cho TM một tôpô xác định duy nhất sao cho các bản đồ (TU x, ) trên TM có x là đồng phôi. Cụ thể, xét U  V xi, i,iI là một tập bản đồ trên M, x Ui : i  Vi Rm .

44

Khi đó A mở trong TM khi và chỉ khi A(TUi) là các tạo ảnh của tập mở trong

m

ViR qua xi, i I.

Khi đó , tập các bản đồ TU xi,  tạo thành một atlas khả vi lớp Ck1 , cho cấu trúc khả vi lớp Ck1 trên TM.

TM cùng với cấu trúc khả vi xác định như trên là đa tạp khả vi 2m chiều, được gọi là phân thớ tiếp xúc của đa tạp khả vi M.

4.5 TRƯỜNG VECTƠ

Cho M là đa tạp khả vi m chiều, TM là phân thớ tiếp xúc của đa tạp M, U M (U mở).

Trường vectơ khả vi trên M là ánh xạ khả vi X M: TM sao cho

( ) ( )

X p p p M

   . Ta gọi X là nhát cắt khả vi xác định trên M.

Tập các trường khả vi trên M được kí hiệu là V M( ).

Đa tạp M được gọi là khả song nếu tồn tại m trường vectơ tiếp xúc độc lập tuyến tính trên M, nghĩa là có m trường vectơ khả vi X1,....,Xm sao cho với mỗi

, 1(p),...., X ( )m

pM X p tạo thành cơ sở của T Mp . 4.6 SỰ ĐỊNH HƯỚNG

Cho V là không gian vectơ hữu hạn chiều. Hai cơ sở được sắp (v1,v2,...,vm)và

~ ) ,..., ,~

(~v1 v2 vm được gọi là định hướng đồng bậc nếu ma trận chuyển S, mà các cột của nó là các tọa độ của các vectơ v1,v2,...,vm theo cơ sở (~v1,~v2,...,~vm), có định thức dương. Được định hướng đồng bậc là một quan hệ tương giữa các cơ sở, một cách chính xác có hai lớp tương đương đối với nó. Không gian V được gọi là được định hướng nếu lớp đại diện đã được chọn thì lớp này được gọi là hướng của V, và các vectơ cơ sở được gọi là dương. Không gian Euclide Rnluôn được định hướng bởi lớp chứa cơ sở chuẩn tắc(e1,e2,...,em) . Với không gian V  0 chúng ta quy ước rằng chỉ chọn một trong hai hướng + hoặc – .

Ví dụ Với không gian con 2-chiều V của R3 thông thường chỉ định hướng bằng cách chọn một vectơ pháp tuyến N. Cơ sở dương (v1,v2)của V mà đối với nó

45 )

, ,

(v1 v2 N là cơ sở dương của R3 (cách hiểu khác, nó là tam diện thuận)

Cho  là một bản đồ trên một đa tạp trừu tượng M, khi đó không gian tiếp xúc được trang bị cơ sở chuẩn tắc theo  . Với mỗi p(U)chúng ta nói rằng hướng của TpM, mà đối với nó cơ sở chuẩn tắc là dương, là hướng cảm sinh bởi  .

4.6.1 Định nghĩa Hướng của đa tạp M là hướng của mỗi không gian tiếp xúc TpM, M

p , sao cho tồn tại một tập bản đồ của M mà trong nó mọi bản đồ cảm sinh hướng đã cho trên mỗi không gian tiếp xúc.

Đa tạp được gọi là định hướng được nếu tồn tại một hướng. Nếu một hướng đã được chọn thì chúng ta nói rằng M là một đa tạp định hướng được và chúng ta gọi là bản đồ dương nếu nó cảm sinh hướng dương trên mỗi không gian tiếp xúc.

Vi phôi f :M N giữa hai đa tạp được định hướng với cùng số chiều được gọi là bảo toàn hướng nếu với mỗi pM , vi phân dfplà ánh xạ biến cơ sở dương của TpM thành cơ sở dương của Tf(p)N .

Ví dụ Mỗi đa tạp M, tồn tại tập bản đồ chỉ có một tập bản đồ cho nó, là định hướng được. Hướng được cảm sinh bởi bản đồ này đĩ nhiên là hướng của M.

Ví dụ Giả sử S  Rn là đa tạp n – k-chiều được cho bởi phương trình

( ) .

f p c Không gian tiếp xúc tại p là hạt nhân TpS XRn Df(p)X 0đối với ma trận Df(p) cấp kn. Đặt  1, 2,...,k Rn kí hiệu các dòng của Df(p) . Khi đó, chúng ta có thể xác định hướng của TpS bằng cách kết luận cơ sở được sắp

) ,..., ,

(v1 v2 vnk dương nếu cơ sở kết hợp (v1,v2,...,vnk,1,2,...,k)choRn là dương theo thứ tự chuẩn tắc. Có thể chỉ ra rằng đây là hướng của S, vì vậy nó định hướng được.

Đối với mặt trong R3 được cho bởi f(p)c, trong đó f là hàm có giá trị vô hướng, nghĩa là chúng ta xác định hướng theo vectơ pháp tuyến được cho bởi vectơ

gradient 



 















 

z f y f x f , ,

 của f.

Một ví dụ cổ điển về đa tạp không định hướng được là lá Mobious. Ta sẽ mô tả hình dáng của nó bằng cách dán các đầu mép của một băng giấy hình chữ nhật sau

46 khi xoắn lại nửa vòng.

Các định nghĩa về trường vectơ, dạng và định hướng có thể mở rộng cho trường hợp đa tạp có biên. Nếu là M một đa tạp k -chiều có biên, xM thì M x là

một không gian con k 1-chiều của không gian vectơ k -chiều x. Như vậy có đúnghai vectơ đơn vị tại M vuông góc với x  M xta có thể phân biệt hai vectơ đó .

Định lý 4.6.1

Giả sử trên M cho tập hợp các tọa độ C sao cho

1) Đối với mỗi điểm x M tồn tại f C là hệ tọa độ trong lân cận của x.

2) det(f1 g)0 với bất kỳ f g, C.

Khi đó trên M có một định hướng duy nhất được bảo toàn với mọi f C. Chứng minh

Giả sử rằng trên M các định hướng tương thích m đã được chọn. Khi đó với mọi xM tồn tại hệ tọa độ f bảo tồn sự định hướng.

Vì xM từ điều kiện i ta suy ra tồn là hệ tọa độ g trong lân cận của điểm x , ta sẽ chứng minh rằng hệ tọa độ đó cũng bảo tồn sự định hướng. Thật vậy:

Giả sử f W: Rn, x f a( ),f*( ) ,...,e1 a f*( )ek af a( ) x.

: n, ( )

g V R x g b . Vì det(f1 g)0nên ta có

         

       

1 1

1 1 ' '

* 1 * * 1 ' * '

. ( ) ,..., . ( ) ( ) ,...,( )

( ) ,..., ( ) ( ) ,..., ( ) .

a k a b k b

a k a b k b

g f e g f e e e

f e f e g e f e

 

  

 

   

   

Vì g trong lân cận của điểm x nên g là ánh xạ 1-1. Kết hợp với ta suy ra b = b' . Điều này chứng tỏ được xác định duy nhất. Hơn nữa ta có g bảo toàn sự định hướng.

Bây giờ ta chứng minh x là định hướng duy nhất được bảo tồn với mọi f C. Thật vậy giả sử có một định hướng x' sao cho với mọi f C đều bảo toàn định hướng đó. Khi đó với mọi xM, f C từ sự thỏa mãn điều kiện i và ii đối với

 , ' ta có:

    '

* ( ) ,...,1 a * ( )k a f a( ) x x.

f e f e   

    

 

47

Suy rax x', x M   ' . Vậy  là duy nhất.

Định lý 4.6.2

Giả sử M Rn là một đa tạp k -chiều định hướng được. Khi đó tồn tại một ánh xạ g A: Rn k sao cho M g1(0) và g'(x) có hạng n - k đối với mọi xM.

Chứng minh

Ta có với mọi xMtồn tại g1:A1Rn k (trong đó A1 là tập mở trong Rn) sao cho:

1) A1M g11(0)

2) g x1'( ) có hạng (n-k) với mọi xg11(0)

Vì M nên ta chọn được một định hướng  , với định hướng  này ta sẽ chọn các “nghiệm địa phương” tương thích như sau: với   x A1 M ta chọn hàm g1 duy nhất được xác định như nói ở trên, nghĩa là nếu f x( ) g x1( ) thì ta có

1 1

( ) ( ),

f y g y   y A M

Như vậy định lý nghiệm đúng trong lân cận mở của x trong M và vì được phủ bởi các tập mở như vậy hàm trong trường hợp tổng quát được xác định như sau:

: i n k

i I

g A A R 



  sao cho ( )g y  g yi( ),  y Ai M . Khi đó ta có M g1(0) Thật vậy:

1(0) x g

  tồn tại iI sao cho xgi1(0) AiM  x M

x M

  tồn tại gi:Ai Rn k thỏa x Ai M gi1(0) x g (0)1

Từ sự xác định của ánh xạ g hiển nhiên ta có g '(x) có hạng (n - k ) với mọi xg1(0) Định lý 4.6.3

Giả sử M là một đa tạp (n -1)-chiều trong Rn và M( ) là tập hợp tất cả các vectơ pháp tuyến có độ dài  (dựng cả hai hướng). Giả sử  khá bé sao cho M( )

cũng là một đa tạp (n -1)-chiều. Khi đó M( ) định hướng được (ngay cả khi M không định hướng được).

Chứng minh

48

Để chứng minh M( ) định hướng được ta cần chứng minh các vectơ pháp tuyến ngoài n(x) của M( ) có thể chọn một cách liên tục.

Do sự xác định của M( ) nên với mọi xM( ) ta chỉ có thể chọn được duy nhất một vectơ pháp tuyến ngoài (ngay cả khi M không định hướng được) nên n(x) của M( ) có thể chọn một cách liên tục.

Định lý 4.6.4

Giả sử g A: Rp khả vi và g'(x) có hạng p đối với mọi xg1(0). Nếu : p

f R R khả vi có cực đại (hay cực tiểu) của nó trên g1(0) tại điểm a thì tồn tại các số 1,...,p sao cho

1

( ) ( ), j 1, n.

p

j i j i

i

D f a D g a



 

Chứng minh

Vì f R: pRkhả vi có cực đại (hay cực tiểu) của nó trên g1(0) tại điểm a nên tồn tại D f aj ( ), D f aj ( )  0, j 1,n .

Mặt khác vì ag1(0)nên g'(a) có hạng p , tức ma trận hệ số của phương trình trên có hạng là p nên theo phương pháp Cramer ta có điều phải chứng minh.

4.7 ÁNH XẠ TIẾP XÚC

Giả sử M,N là hai đa tạp khả vi với số chiều m,n tương ứng và f M: N là các ánh xạ khả vi. Với mỗi p M , xét T Mp Tf p( )N xác định như sau:

Với v T M v p ,  c c, : JM mà c(0) p, đặt T f vp ( )f cTf p( )N.

Ta thấy định nghĩa trên không phụ thuộc vào đường cong đại diện cho vectơ v.

Ta xét biểu diễn địa phương của T fp . Giả sử ( , )U x là các bản đồ địa phương p, ( , )V y là bản đồ địa phương quang f(p), sao cho f U( )V. Khi đó nếu

1

( )

m i

i p i

v v x

 x

 

  thì   ( )

1

( ) ( )

n j

p j f p

j

T f v v y f

 y

 

  .

Do đó T fp là một ánh xạ tuyến tính. Như vậy ta xác định được ánh xạ :

Tf TM TN với vT Mp (Tf)( )v (Tp f)( )v .

49 4.8 ĐA TẠP CON TRONG Rk

4.8.1 Định nghĩa Cho S là một đa tạp trong R . Đa tạp con của S là tập con k

,

  S mà nó cũng là một đa tạp trong R . k

Bổ đề 4.8.1 Cho  là đa tạp con của S  Rk. Khi đó, dimdimS và S

T

Tp p với mọi p. Hơn thế nữa, ánh xạ bao hàm i:S là trơn, và vi phân của nó dip tại p là ánh xạ bao hàm TpTpS.

Chứng minh

Không gian tiếp xúcTp là hông gian tất cả các vectơ tiếp xúc '(t0) của  trên  với (t0) p. VìS nên một đường cong trên  cũng là một đường cong trên S và suy ra bao hàm thức TpTpS. Bất đẳng thức về số chiều là hệ quả trực tiếp của bao hàm thức.

Ánh xạ bao hàm i:S là sự hạn chế của ánh xạ đồng nhất id: Rk Rk , vì vậy nó là ánh xạ trơn, vi phân của nó tại p là sự hạn chế của vi phân của id. Vi phân của ánh xạ đồng nhất. Vì vậy, chúng ta kết luận rằng dip là ánh xạ bao hàm

p p .

T  T S

4.9 ĐA TẠP CON TRỪU TƯỢNG

4.9.1 Định nghĩa Cho M là một đa tạp trừu tượng. Đa tạp con trừu tượng của M là tập con N M mà nó là đa tạp trừu tượng sao cho:

1) Tôpô của N được cảm sinh từ M.

2) Ánh xạ bao hàm i:N M là trơn.

3) Vi phân dip :TpN TpM là đơn ánh với mỗi pN.

Trong trường hợp này, đa tạp M được gọi là bao quanh N. Đặc biệt, vì dip là đơn ánh nên số chiều của N phải bé hơn hoặc bằng với số chiều của M. Vi phân dip biến lớp tương đương của đường cong  qua p trên N thành lớp tương đương của đường cong như vậy, bây giờ được xem như đường cong trên đa tạp bao quanh (tạo thành đường cong mới i ). Dựa vào tiên đề iii), ánh xạ này là đơn ánh nên chúng ta sẽ xem không gian tiếp xúc TpN như là không gian con của TpM.

50

C- PHẦN KẾT LUẬN

Đa tạp là một đối tượng nghiên cứu của Toán học hiện đại, là cầu nối giữa Giải tích, Hình học và Đại số. Tính chất tôpô được sử dụng như là công cụ cũng như chìa khóa để giải quyết các vấn đề của Đa tạp.

Luận văn đã hoàn thành cơ bản các mục tiêu đã đề ra là làm rõ cơ sở lý thuyết sau đó giải một số bài tập cơ bản và điển hình. Do sự hạn hẹp về thời gian, hạn chế vềkiến thức của bản thân nên luận văn trình bày chưa phong phú, đa dạng, còn nhiều khiếm khuyết. Làm luận văn là cơ hội để em ôn lại các kiến thức đã học đồng thời biếtthêm những kiến thức mới. Hy vọng luận văn “Đa tạp và tính chất tôpô của đa tạp trong không gian Euclide” là một tài liệu tham khảo bổ ích cho các sinh viên ngành Toán, Toán - tin.