Phân tích chương trình

Chương 3 NGHIÊN CỨU SỐ PHỨC TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC

1. Phân tích chương trình

Chương số phức ủược ủưa vào cuối chương trỡnh toỏn 12. Đõy là một chương mới ủược ủưa vào giảng dạy ở bậc trung học phổ thụng.

Mục tiêu của chương - Kiến thức

Giỳp học sinh hiểu ủược:

+ Dạng ủại số, biểu diễn hỡnh học của số phức, phộp toỏn cộng trừ nhõn chia số phức dưới dạng ủại số, mụ ủun của số phức, số phức liờn hợp và căn bậc hai của số phức.

+ Dạng lượng giác, acgumen của số phức, phép nhân, chia hai số phức dưới dạng lượng giác, công thức Moivre.

- Kỹ năng

Giúp học sinh thành thạo các kĩ năng:

+ Biểu diễn hình học số phức.

+ Thực hiện phộp cộng trừ, nhõn chia số phức dưới dạng ủại số, phộp nhõn chia số phức dưới dạng lượng giác.

+ Biết chuyển ủổi ủược dạng ủại số của số phức sang dạng lượng giỏc.

+ Biết cỏch tỡm căn bậc hai của số phức dưới dạng ủại số và dạng lượng giỏc và ỏp dụng ủể giải phương trỡnh bậc hai.

+ Ứng dụng ủược cụng thức Moivre vào một số tớnh toỏn lượng giỏc.

Cấu trúc chương trình

Nội dung gồm 3 bài, giảng dạy trong 13 tiết, phân phối như sau

Bài 1: Số phức 4 tiết.

Bài 2: Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai.3 tiết.

Bài 3: Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng , 3 tiết.

Nhận xét

- Số phức ủược ủưa vào cuối chương trỡnh toỏn phổ thụng nhằm kết thỳc việc giới thiệu hệ thống các tập hợp số cho học sinh : số tự nhiên, số nguyên, số thập phân, số hữu tỉ, số thực và số phức.

- Mục tiêu chính của chương là làm cho học sinh thấy nhu cầu mở rộng tập hợp số thực thành tập hợp số phức và tính toán thành thạo số phức.

- Biểu diễn hình học của số phức và ý nghĩa hình học của các khái niệm liên quan ủến cỏc phộp toỏn về số phức cũng ủược SGK chỳ trọng nhằm giỳp học sinh hiểu rõ hơn về tập hợp số phức và các khái niệm liên quan.

2. Phân tích sách giáo khoa.

2.1. Về ủịnh nghĩa và cỏc phộp toỏn trờn tập hợp số phức.

Tập hợp Số phức ủược M2 trỡnh bày là sự mở rộng tập hợp cỏc số thực, trong ủú cỏc phộp cộng và nhõn với tớnh chất tương tự phộp toỏn cộng và nhõn cỏc số thực sao cho cỏc phương trỡnh bậc hai hệ số thực cú biệt số ∆ <0 ủều cú nghiệm.

Muốn thế, ủể mọi phương trỡnh bậc hai ủều cú nghiệm, người ta ủưa ra số i sao cho bỡnh phương của nú bằng -1. Khi ủú, i là nghiệm của phương trỡnh x2+ =1 0 và 2i là nghiệm của phương trình x2+ =4 0…

Định nghĩa số phức ủược M2 ủưa ra như sau:

“ Một số phức là một biểu thức dưới dạng a+bi, trong ủú a và b là những số thực và số i thỏa món i2 = −1. Kớ hiệu số phức ủú là z và viết z= +a bi.

Tập hợp số phức ủược kớ hiệu là C”.

Khỏi niệm số phức ủược M2 mụ tả cũng gồm hai thành phần, phần thực và phần ảo ủược liờn kết bằng dấu “+”, trong phần ảo gồm một số thực liờn kết với số i bằng dấu “.”.

M2 ủưa ra chỳ ý:

“ Số phức z= +a 0i cú phần ảo bằng 0 ủược coi là số thực và viết là 0

a+ i= ∈ ⊂a R C

Số phức cú phần thực bằng 0 ủược gọi là số ảo (cũn gọi là số thuần ảo):

( )

0 ; 0 1 1

z= +bi=bi b R∈ i= + =i i

Số 0 0 0i= + vừa là số thực, vừa là số ảo.”

M2 khụng ủưa ra tường minh kớ hiệu Rez, Imz ủể chỉ phần thực, phần ảo của số phức z theo giải thớch là cho ủỡ nặng nề.

SGK cũng ủưa ra ủịnh nghĩa hai số phức bằng nhau nếu chỳng cú phần thực và phần ảo bằng nhau.

Hoạt ủộng H1 : ô Khi nào số phức a bi a b R+ ( , ∈ ) bằng 0 ằ sẽ làm cho học sinh hiểu rừ hơn rằng, số 0 vừa ủược xem là số thực (phần ảo bằng 0), vừa ủược xem là số ảo (phần thực bằng 0). Ngoài ra, từ hoạt ủộng này học sinh sẽ suy ra một tớnh chất mà sẽ sử dụng rất nhiều về sau là 0( , ) 0

0 z a bi a b R a

b

 =

= + = ∈ ⇔  =

Từ sự bằng nhau của hai số phức này, ta nhận thấy: mỗi cặp số thực (a ; b) xỏc ủịnh một số phức duy nhất và ngược lại mỗi số phức z= +a bi cho ta một cặp số (a ; b) duy nhất. Chớnh ủiều này là cơ sở của việc biểu diễn hỡnh học của số phức.

M2 ủưa ra như sau: “ Đối với cỏc số phức, ta hóy xột mặt phẳng tọa ủộ Oxy.

Mỗi số phức z= +a bi a b R( , ∈ ) ủược biểu diễn bởi M cú tọa ủộ (a ; b). Ngược lại,

rừ ràng mỗi ủiểm M(a ; b) biểu diễn một số phức z= +a bi. Ta cũn viết M(a+bi) hay M(z)”.

Ở ủõy, M2 khụng nờu lờn một cỏch tường minh ỏnh xạ song ỏnh giữa tập hợp cỏc số phức và mặt phẳng phức, song ỏnh này ủược ngầm ẩn thụng qua mối tương quan 1-1 giữa ba ủối tượng

z = a + bi ↔ (a; b) ↔ M(a; b), mà M2 ủưa ra.

Nếu như ở M1ủiểm biểu diễn số phức z=ai+b là M(a, b) trong một hệ tọa ủộ vuụng gúc của mặt phẳng, thỡ ở M2 cũn ủưa ra kớ hiệu M a bi( + ) hay M z( ) cho ta

thấy rõ hơn mối liên hệ giữa M và số phức mà nó biểu diễn. Ký hiệu M(a, b) chỉ ủơn thuần là tọa ủộ của ủiểm trong mặt phẳng tọa ủộ, cũn ký hiệu M(a+bi) cho ta thấy rừ hơn M là ủiểm biểu diễn của số phức trong mặt phẳng tọa ủộ.

M2 cũng ủưa ra tường minh ủịnh nghĩa mặt phẳng phức, trục thực, trục ảo.

“Mặt phẳng tọa ủộ với việc biểu diễn cỏc số phức như thế ủược gọi là mặt phẳng phức.

Gốc tọa ủộ O biểu diễn số 0.

Cỏc ủiểm trờn trục hoành Ox biểu diễn cỏc số thực, do ủú trục Ox cũn ủược gọi là trục thực.

Cỏc ủiểm trờn trục tung biểu diễn cỏc số ảo, do ủú trục Oy cũn ủược gọi là trục ảo. ”

Tổng của hai số phức ủược M2 ủịnh nghĩa như sau

“ Tổng của hai số phức z= +a bi z, '= +a' b i a a b b' ( , ', , '∈R) là số phức

( )

' ' '

z z+ = + +a a b b i+ ”.

Trong ủịnh nghĩa trờn, cộng hai số phức cú nghĩa là cộng phần thực với nhau và cộng phần ảo với nhau, và tổng của hai số phức là một số phức. Điều này cho thấy phép cộng trong tập hợp các số phức C có tính chất nội tại.

M2 nêu rõ một cách gián tiếp rằng tập hợp (R,+,×) là một trường giao hoán con của (C,+,ì) bằng cỏch, trước khi ủưa vào khỏi niệm số phức, nờu rừ phần nhận xột ban ủầu là phộp toỏn cộng và phộp toỏn nhõn trong tập hợp số phức cú các tính chất tương tự phép toán cộng trong tập số thực : tính chất giao hoán, tính chất kết hợp, phần tử trung hũa 0, phần tử ủơn vị, tớnh chất phõn phối của phộp nhõn ủối với phộp cộng, phần tử ủối, phần tử nghịch ủảo...

Hai số phức ủối nhau cú biểu diễn hỡnh học là hai ủiểm ủối xứng nhau qua gốc tọa ủộ. Phộp biến ủổi của mặt phẳng phức biến ủiểm M biểu diễn số phức z thành ủiểm M’ biểu diễn số z’=-z là phộp ủối xứng qua tõm O.

a+bi b

a y

(trục ảo)

x (trục thực) M(a, b)

O

Phộp trừ hai số phức ủược M2 ủịnh nghĩa là phộp cộng giữa một số và số ủối của số kia. Điều này cú sự khỏc biệt với M1, do M1 khụng ủưa ra ủịnh nghĩa số phức nờn M1 ủưa ra hiệu 2 số phức là một số phức cú phần thực là hiệu 2 phần thực và phần ảo là hiệu 2 phần ảo. Còn M2 phép trừ chẳng qua là phép cộng các phần tử của tập hợp phức.

Sau khi trỡnh bày ủịnh nghĩa phộp cộng và trừ hai số phức, M2 ủưa ra ý nghĩa hình học của phép cộng và phép trừ số phức.

“Trong mặt phẳng phức, ta ủó coi ủiểm M cú tọa ủộ (a ; b) biểu diễn số phức z= +a bi. Ta cũng coi mỗi vectơ u

cú tọa ủộ (a ; b) biểu diễn số phứcz= +a bi. Khi ủú, núi M biểu diễn số phức z cũng cú nghĩa vectơ OM

biểu diễn số phức

O x

y

( )

' '

u z

( )

' '

u+u z +z

( )

' '

u−u z −z

Do ủú: nếu u u, ' theo thứ tự biểu diễn cỏc số phức z, z’ thỡ u u+'

biểu diễn số phức z+z’

u u−'

biểu diễn số phức z-z’ ”.

Như vậy, tổng của hai số phức có biểu diễn hình học là một vectơ tổng của hai vectơ biểu diễn hai số phức ủú. Hiệu của hai số phức cũng cú biểu diễn hỡnh học chớnh là hiệu của hai vectơ lần lượt biểu diễn hai số phức ủú.

Như vậy, về mặt hình học, việc cộng hai số phức z và z’ là thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ MM'

trong mặt phẳng phức biến ủiểm M thành ủiểm M’, trong ủú M là ủiểm biểu diễn cho z và M’ biểu diễn cho z’.

Phộp nhõn hai số phức ủược thực hiện bằng cỏch nhõn hỡnh thức hai biểu thức a bi+ và a'+b i' rồi thay i2 = −1. M2 ủưa ra ủịnh nghĩa sau: “Tớch hai số phức z= +a bi và z'= +a' b i a b a b' ( , , ', '∈R) là số phức zz'=aa'−bb'+(a b ab i' + ') ”. Tuy nhiờn, M2khụng ủề cập ủến ý nghĩa hỡnh học của phộp nhõn.

M2 cũng ủưa ra chỳ ý về tớch của một số thực và một số phức “ Với mọi số thực k và mọi số phức a bi a b R+ ( , ∈ ) ta có k a bi( + ) (= k+0i a bi)( + )=ka kbi+ ”.

Tớch của một số thực và một số phức ủược thực hiện thụng qua tớch của hai số phức (coi số thực là một số phức có phần ảo bằng 0).

SGV trang 227 : ô với học sinh giỏi cú thể núi thờm: phộp biến ủổi trong mặt phẳng phức biến ủiểm M biểu diễn số phức z thành M’ biểu diễn số phức z’=kz (k là số thực khác 0 cho trước) là phép vị tự tâm O với hệ số vị tự là k.

Vớ dụ 5 trang 185 “Trong mặt phẳng phức, nếu M biểu diễn số phức z, ủiểm M’ biểu diễn số phức z’ (M khỏc M’) thỡ trung ủiểm P của ủoạn thẳng MM’ biểu diễn số phức 12(z z+ ')”. Tớnh chất này tương tự như tớnh chất trung ủiểm của ủoạn thẳng trong hình học phẳng.

Hoạt ủộng 4 trang 186 “Xột số phức z= +x yi x y( , ∈R). Tớnh z2 và tỡm cỏc ủiểm của mặt phẳng phức biểu diễn cỏc số phức z sao cho z2là số thực ”.

Từ ủõy, chỳng tụi tỡm thấy một kiểu nhiệm vụ “Tỡm tập hợp cỏc ủiểm trờn mặt phẳng phức biểu diễn cỏc số phức thỏa ủiều kiện cho trước”. Kiểu nhiệm vụ này sẽ ủược chỳng tụi ủề cập kỹ phần sau.

Cỏc tớnh chất của phộp nhõn số phức ủược ủề cập ở ủõy là tớnh chất giao hoỏn, tính chất kết hợp, tính chất nhân với 1 và tính chất phân phân phối của phép nhân ủối với phộp cộng.

Các tính chất trong phép nhân số phức tương tự các tính chất của phép nhân số thực, nờn cỏc hằng ủẳng thức, cỏc phộp tớnh nào ủược thực hiện trong số thực thỡ cũng ủược thực hiện trong số phức. Vớ dụ 6 trang 186 ủó làm rừ ủiều ủú.

M2 ủịnh nghĩa số phức liờn hợp như sau:

“Số phức liờn hợp của z= +a bi a b R( , ∈ ) là a bi− và ủược kớ hiệu bởi z= −a bi” Về mặt hỡnh học, hai số phức liờn hợp cú biểu diễn hỡnh học là hai ủiểm ủối xứng nhau qua trục hoành và số thực là số có liên hợp bằng chính nó. Tích của hai số phức liên hợp luôn là một số thực.

Số phức liờn hợp ủược M2 ủược trỡnh bày một cỏch ủầy ủủ cả về phương diện ủại số lẫn hỡnh học. Điều này giỳp học sinh hiểu một cỏch trực quan khỏi niệm này.

Tuy nhiờn những tớnh chất quan trọng của chỳng ủều trỡnh bày dưới dạng cõu hỏi.

Mụủun của số phức z ủược M2 ủịnh nghĩa là khoảng cỏch từ ủiểm M biểu diễn số phức z ủến gốc tọa ủộ O.

Từ vớ dụ 9 trang 188 “Trong mặt phẳng phức, tập hợp cỏc ủiểm biểu diễn số phức z sao cho z =1là ủường trũn cú bỏn kớnh là 1 với tõm tại gốc tọa ủộ”.

Lời giải ủược chỳng tụi trỡnh bày như sau: Gọi z= +a bi. Khi ủú z = a2+b2 =1 Suy ra a2+b2 =1. Khi ủú tọa ủộ của M a b( ; ) biểu diễn số phức z thỏa phương trỡnh a2+b2 =1. Do ủú, M thuộc ủường trũn cú phương trỡnh x2+y2 =1, là ủường tròn có tâm O và bán kính bằng 1. Đây là kiểu nhiệm vụ nêu lên mối quan hệ giữa tập hợp phức và mặt phẳng phức một cách rõ ràng nhất.

Trước khi ủưa vào phộp chia cho số phức khỏc 0, M2 ủưa ra khỏi niệm số phức nghịch ủảo. “Số phức nghịch ủảo của số phức z khỏc 0 là z 1 12 z

z

− = ”.

“ Thương z'

z của phép chia số phức z’ cho số phức z khác 0 là tích của z’ với số phức nghịch ủảo của z, tức là z' '. 1

z z z

= −

Như vậy nếu z≠0 thì z' z z'.2 z = z ”.

Từ ủịnh nghĩa của M2, ta cú thể núi phộp chia (cho số phức khỏc 0) là phộp toỏn ngược của phép toán nhân.

O x

y

M(z)

Như vậy, M2 ủịnh nghĩa phộp chia hai số phức bằng cỏch sử dụng phần tử nghịch ủảo của một số phức khỏc 0, ủiều ủú cho thấy việc xõy dựng tập hợp cỏc số phức C với cỏc phộp cộng và nhõn như một trường giao hoỏn theo cấu trỳc ủại số.

Nhận xét

Qua cỏch giới thiệu của SGK, số phức xuất hiện nhầm giải quyết vấn ủề giải phương trình bậc hai không có nghiệm thực. Ta thấy cách làm này không phù hợp với sự tiến triển của khái niệm số phức trong lịch sử thông qua việc phân tích khoa học luận ở trên. Vì việc tìm nghiệm của phương trình bậc hai có thể thực hiện trong phạm vi số thực. Nó không tạo ra sự mất cân bằng về mặt nhận thức. Vậy tại sao SGK lại lựa chọn cỏch giới thiệu này ? Theo giải thớch của SGV (trang 226) ô giỏo viờn chỉ nờn giới thiệu một cỏch nhẹ nhàng ủể núi lờn sự cần thiết phải xột cỏc số phức ằ.

2.2. Về căn bậc hai của số phức.

Trong mục 1, M2 ủưa vào ủịnh nghĩa căn bậc hai của số phức w là số phức z thỏa z2 =w.

Nói cách khác, mỗi căn bậc hai của w là một nghiệm của phương trìnhz2−w=0 (ẩn z). M2 cũng ủưa ra cỏch tỡm căn bậc hai của số phức w như sau:

• Nếu w là số thực: w= ≠a 0

- Nếu a>0 thì hai căn bậc hai của a là a ,− a - Nếu a<0 thì hai căn bậc hai của a là −ai ,− −ai

• Nếu w=ai b a b+ ( , ∈R b), ≠0

Gọi z= +x yi x y( , ∈R) là căn bậc hai của w khi và chỉ khi z2 =w, tức là

(x+yi)2 = +a bi. Do (x+yi)2 =x2 −y2+2xyi nên z2=wkhi và chỉ khi

2 2

2

x y a

xy b

 − =

 =



M2 giới thiệu cách xây dựng công thức tổng quát căn bậc hai của một số phức có phần ảo bằng 0, tức là số thực âm và dương thông qua việc giải phương trình tích A.B = 0. Cũn ủối với số phức dạng a + bi thỡ SGK chỉ hướng dẫn cỏch tỡm căn bậc hai bằng cách giải hệ phương trình

2 2

2

x y a

xy b

 − =

 =

 . Việc M2 khụng ủưa ra cụng thức tổng quỏt căn bậc hai này theo giải thớch là ô khụng muốn ủũi hỏi học sinh phải nhớ cụng thức này (hơi phức tạp, vả lại về sau khi ủó học dạng lượng giỏc của số phức thì việc tìm căn bậc hai dễ dàng nhờ công thức Moivre).

Ngoài ra, có một sự khác biệt giữa căn bậc hai của số phức và căn bậc hai của số thực. Trường số thực là một trường sắp thứ tự cũn C khụng phải. Do ủú khụng thể dựng kớ hiệu ủể chỉ căn bậc hai của số phức w≠0 vố cú hai căn bậc hai và khụng cú sự ưu tiờn nào trong chỳng. SGK cũng ủề cập vấn ủề này thụng qua bài tập ủố vui 22 trang 197: Một học sinh ký hiệu căn bậc hai của của –1 là −1và tính −1. 1− như sau:

a. Theo ủịnh nghĩa căn bậc hai của −1thỡ : −1. 1− = −1

b. Theo tính chất của căn bậc hai thì : −1. 1− = ( )( )−1 − =1 1 1=

Giải

a. Kết quả trờn là ủỳng. Vỡ −1. 1− = 1. . 1.i i i= 2 = −1

b. Lập luận trên sai ở chỗ −1. 1− chỉ là một căn bậc hai của ( )( )−1 − =1 1, các

ký hiệu ( )( )−1 −1 & 1chưa xỏc ủịnh

Khỏc với M1- cỏc phương trỡnh bậc hai ủược ủưa vào ủều cú hệ số là số thực, nhờ tớnh ủược căn bậc hai của số phức, trong M2 mọi phương trỡnh bậc hai

2 0

Az +Bz+ =C trong ủú A, B, C là những số phức (A≠0) ủều cú hai nghiệm phức, cú thể trựng nhau. Việc giải phương trỡnh bậc hai ủú ủược tiến hành như sau :

• Xét biệt thức ∆ =B2−4AC

- Nếu ∆ ≠0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 , 2

2 2

B B

z z

A A

δ δ

− + − −

= = ,

trong ủú δ là một căn bậc hai của ∆

- Nếu ∆ =0 thì phương trình có nghiệm kép 1 2 2 z z B

A

= =−

Việc mở rộng thành trường số phức từ trường số thực là tớnh ủúng với cỏc phương trỡnh ủại số. Mỗi phương trỡnh ủại số bậc n ủều cú ủỳng n nghiệm. Núi riêng, phương trình xn có n nghiệm, hay là căn bậc n của số phức khác 0 bất kì có n giá trị.

2.3. Về dạng lượng giác của số phức.

Ở mục 1, M2ủưa vào acgumen của số phức z≠0: ôCho số phức z≠0. Gọi M là một ủiểm trong mặt phẳng phẳng biểu diễn số phức z. Số ủo (radian) của mỗi gúc lượng giỏc tia ủầu Ox, tia cuối OM ủược gọi là một acgumen của z ằ

Vậy, theo M2:

• Một số phức có thể có nhiều acgumen.

• Nếu ϕ là một acgumen của số phức z thì mọi acgumen của z có dạng 2 ,

k k Z

ϕ+ π ∈ .

• Hai số phức z và lz (z≠0 và l là số thực dương) có acgumen sai khác 2 ,

k π k∈Z.

O x

y

N(lz) M(z)

r φ

. l r

Dạng lượng giỏc của số phức ủược M2ủưa vào như sau:

ô Dạng z=r(cosϕ+isinϕ), trong ủú r>0, ủược gọi là dạng lượng giỏc của số phức z≠0 ằ

Từ nhận xột trang 201, ta cú thể ủưa ra một kiểu nhiệm vụ: ô tỡm dạng lượng giỏc r(cosϕ+isinϕ) của số phức z= +a bi,(a b, ∈R) khỏc 0 ằ.

Kỹ thuật giải ủược tỡm thấy:

• Tìm r: r= a2+b2

• Tìm ϕ: giải hệ phương trình cos sin

a r b r ϕ ϕ

 =



 =



Nhõn và chia số phức ở dạng lượng giỏc ủược M2 trỡnh bày như sau:

ô Nếu z=r(cosϕ+isinϕ), 'z =r' cos '( ϕ +isin 'ϕ ), (r≥0, ' 0r ≥ ) thỡ

( ) ( )

' ' cos ' sin '

zz =rr  ϕ ϕ+ +i ϕ ϕ+  và cos( ') sin( ')

' '

z r

z =r  ϕ ϕ− +i ϕ ϕ−  ằ

φ 1 M1

M2

M

x y

O

φ 2

φ 1 +φ 2

1 2

z z

Dưới dạng lượng giác:

- Để nhõn cỏc số phức, ta lấy tớch cỏc mụủun và tổng cỏc acgumen.

- Để chia cỏc số phức, ta lấy thương cỏc mụủun và hiệu cỏc acgumen.

Nét nổi bật của bài này là ý nghĩa hình học của phép nhân và chia các số phức ủược thể hiện rừ ràng nhờ dạng lượng giỏc của chỳng. Đồng thời về hỡnh học, số phức giỳp khảo sỏt nhiều ủiều trong mặt phẳng như phộp tịnh tiến, phộp vị tự, phộp dời hỡnh ….SGV trang 225: “Dễ thấy biến ủổi của mặt phẳng phức biến ủiểm M tựy ý biểu diễn số phức z thành ủiểm M’ biểu diễn số phức z’ sao cho:

- z'= + βz (βlà số phức cho trước) là phép tịnh tiến theo vectơ u

biểu diển số phức β.

- z'−z0 = α −(z z0)(α là số cho trước, α =1, z0 là số phức cho trước) là phép quay tâm A (biểu diễn số phức z0) với góc quay là một argument của α. Điều ủú suy ra từ AM' = −z' z0 = α −z z0 = −z z0 = AM

và khi M ≠A, một góc lượng giỏc tia ủầu là AM, tia cuối là AM’ cú số ủo là một argument của 0

0

' z z z−z =α

−

- Cho số phức z biểu diễn bởi ủiểm M tựy ý trong mặt phẳng phức. Phộp biến ủổi ủiểm M thành M’ biểu diễn số phức z’ sao cho :z'−z0 =k z z( − 0) (với k là số thực khác 0) là phép vị tự tâm A (biểu diễn số phức z0) với hệ số vị tự k.

Từ ủú suy ra phộp biến ủổi xỏc ủịnh bởi z'= α + βz (α β, là số phức cho trước, α =1) là một phép tịnh tiến khi α =1 và một phép quay khi α ≠1 (vì khi α ≠1 thỡ z'=αz+β cú thể ủược viết thành z'−z0 =α(z−z0) với 0

z 1β

= α

− )”

Tuy nhiờn M2 khụng trỡnh bày những ủiều này. Việc khụng trỡnh bày cỏc phép biến hình về số phức. Nhưng lại giới thiệu ý nghĩa hình học của dạng lượng giỏc. Vậy mục ủớch của M là gỡ? Tỡm cõu trả lời cho vấn ủề này trước hết chỳng