Định nghĩa. Cho A và B là hai tập hợp khác trống và D là một tập con khác trống trong A. Giả sử với mọi x trong D ta định nghĩa được một phần tử f(x) trong B, ta nói ta xác định được một ánh xạ f từ D vào B.
A B
D
Theo cách này chúng ta mô hìnhđược sựthayđổi của một lượng nàođó theo một lượng khác.
91
Thí dụ.Diện tích một hình tròn có bán kínhr làr2. Ta thấyr
f(r) = r2 là một ánh xạtừtập hợp các sốthực dương (0,) vào chính nó.
Thí dụ. Nhiệtđộtại một vịtrí nàođó trong giảngđường này tại thờiđiểmt trong buổi sáng hôm nay, là một ánh xạ từ [6,12] vào [20, 50].
Thí dụ. Cố định một thờiđiểmttrong buổi sáng hôm nay, nhiệtđộtại mỗi vịtrí trong giảngđường này là một ánh xạ từ tập hợpAvào [20, 50], vớiAlà tập hợp cácvịtrí trong giảngđường này.
92
Thí dụ.Tổng trịgiá xuất khẩu của Việt Nam trong từng tháng của năm 2007 là một ánh xạtừtập {1,2, . . ., 12} vào tập [1,20] nếu chúng ta lấyđơn vịlà tỉUSD. Nhưng ánh xạnày được coi là từ{1,2, . . ., 12} vào [16, 340] nếuđơn vịtính tiền là một ngàn tỉ đồng Việt Nam.
Thí dụ. Đểkhảo sát thiết kếhệthống máy lạnh trong giảngđường này, chúng tađo nhiệtđộtại một sốvịtrí trong giãng đường này (gọiBlà tập hợp các vịtríđó) từ7.00 giờsángđến 6.00 giờ chiều trong một ngày nàođó . Gọif(x,t) là nhiệtđộtại vịtríxởthờiđiểmt.
Lúcđóf là một ánh xạtừ B[7,18] vào tập [20,50].
93
f x( )
f )(1 f(2)
Ta có thểmô hình các ánh xạqua đồthịcủa chúng.
Định nghĩa. Chof là một ánh xạtừmột tập hợpA vào một tập hợpB. Ta đặt
= {(x,y) AB : y = f(x) }.
Ta gọi làđồthịcủaf.
94
Để vẽ đồthịcủa một ánh xạf từmột khoảng [a,b] vào
—, ta cĩthểdùng Matlab với lệnh
>> fplot(‘f(x)’,[a,b]); (enter) Thí dụ. Dùng lệnh >> fplot('x.*sin(x)',[0,4*pi]);
ta cĩ đồthịcủa ánh xạ f(x) = xsinxtrên khoảng [0, 4]
nhưbên dưới.
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
95
Tuy nhiên chúng ta cũng có các đồ thị của ánh xạ do các thiết bị ghi chứ không phải vẽ từ định nghĩa của ánh xạ đó.
Hai đồ thị bên cạnh do địa chấn kế ghi lại các gia tốc chuyển động mặt đất của một vị trí theo các hướng bắc-nam và đông- tây trong một trận động đấtởNorthridge.
Theo tưliệu của Calif. Dept. of Mines and Geology (“Stewart, Calculus- concepts and contexts” tr.15)
96
Khiđi xe taxi , chúng ta phải trảmột sốtiền khởiđầu làa và một khoảng tiền theo giá mỗi km chúng tađi.
Nhưvậy giá tiền trung bình mỗi km trong một chuyến đi là bao nhiêu.
Chúng ta mô hình bài toán nhưsau : goi xlà sốkm của chuyếnđi vàblà giá tiền mỗi km, vàt là sốtiềnđi chuyến xeđó, vàylà giá tiền trung bình mỗi km trong chuyếnđiđó; ta có các công thức sau
t = a+ bx và y t a bx a b
x x x
97
>> fplot('(x.^-1)*7+6',[1,10]);
Nhưvậy giá tiền trung bình y mỗi km làm một ánh xạtùy thuộc vào khoảng đườngđi. Dùng Matlab ta có đồthịcủaynhư sau
Theo đồthị này, giá tiền trung bình mỗi km trong một chuyếnđi giãm dần theođộxa của chuyếnđi
0 5 10 15 20
6 7 8 9 10 11 12 13
98
Trong việc điều chỉnh giá một mặt hàng nào đó sẽ dẫn theo hệ quả số người mua và số lượng sản xuất mặt hàng đó sẽ thayđổi.
Dùngđồthịbên trên chúng ta có thểthấyđịnh giá mặt hàng làt làm cho kinh tế ổnđịnh.
Nếu cầu và cung không tương đối bằng nhau, chúng ta sẽ có hai tình hình kinh tế bất ổn : hoặc hàng tồn kho quá lớn, hoặc thiếu hụt hàng hóa.
cung caàu
giá soá
sản phaồm
s
t
99
Cho Dlà một tập con khác trống trong một tậpA và f là một ánh xạtừ Dvài một tậpB. Lúc đó D được gọi là miền xác định của ánh xạ f và tập hợp f(D) = y
=f(x) : x Dđược gọi làtập hợpảnh của f.
A B
D
f(D)
Thí dụ. Cho D là một khoảng mở (a,b) trong —, với x trong D ta đặt f(x) = . Lúcđó f là một ánh xạcó miền xácđịnh là D và tập hợpảnh là (0,)
b x x a
100
Đôi khi chúng ta dùngđồthị đểcó hình ảnh của miền xácđịnh và tậpảnh của một ánh xạ.
miền xác định tập hợp
ảnh y f x = ( )
0 x
y
101
Nhiều khi chúng tađịnh nghĩa một ánh xạbằng một mệnhđề toán học, lúcđó chúng ta phải tìm miền xác định củaf.
Bài toán 4. Với mọi số thựcx tađặt f(x) = y sao cho y(x-1) = 1. Chứng minh miền xácđịnh của f là—\ 1 .
Đặt D = x — : f(x) xácđịnh duy nhất. Ta chứng minh D =—\ 1 . Vậy ta phải chứng minh
—\1 D D —\1
Chottrong—\1 , chứng minhttrongD (1) ChostrongD, chứng minhstrong—\1 (2)
Theo QTGT 3, ta viết rõ bài toán
102
Chottrong—\1 , chứng minhttrongD (1) ChostrongD, chứng minhstrong—\1 (2)
Theo QTGT 1, ta viết (1) và (2) rõ hơn Chot—sao chot 1, chứng minhtD
Chos—, cóz—: z(s -1) = 1, chứng minhs1(2’) Chot—, t 1, tìmy—: y(t-1) = 1 (1’)
Vìt rõ hơns, nên có lẽ(1’) dễchứng minh hơn (2’).
Ta chứng minh (1’) trước. Theo QTGT 5, ta viết các yếu tốtrong (1’) cùng một dạng
Chot—, t -10, tìmy—: y(t-1) = 1 (1’) Để tìmy, tađểy đứng một mình.
Chot—, t-10, tìmy—: y = (t -1)-1 xong 103
Chos—, cóz—: z(s-1) = 1, chứng minhs1(2’) Vì giảthiết không rõ ràng bằng kết luận, theo QTGT 8, ta dùng phản chứng với giảthiết phản chứng
s= 1 (3)
Theo QTGT 5, ta viết các yếu tốtrong giảthiết của (2’) và giảthiết phản chứng (3) cùng dạng
Chos—, cóz—: z .0 = 1 (2”) s -1 = 0 (3)
Vìz .0 = 0, ta có mâu thuẩn
104
QUI TẮC GIẢI TOÁN 19
Khi phải chứng minh nhiều phần nhỏcủa bài toán, ta nên chứng minh phần dễ trước.
QUI TẮC GIẢI TOÁN 20
Để tìm một ẩn số(x, y, . . . ), ta cốgắng để ẩn số đó đứng một mình ởmột vếtrong một đẳng thức hay bất đẳng thức.
105
Trong một kỳtuyển sinh, chúng ta chọn các thí sinh có tổng số điểm thi18. Ta mô hình việc tuyển chọn nhưsau: xácđịnh tập hợp
{ thí sinh : cóđiểm thi18}.
Với giá hiện nay của một sản phẩm nàođó chúng ta cón khách hàng. Nay chúng ta muốn tăng giáđó lên thêm một mức làT, vấnđềnên chọnTsao cho số khách hàng tuy giãm nhưng cũng còn hơn 90% số khách hàng hiện nay.
Mô hình “toán học hơn” nhưsau : đặtX là tập hợp các thí sinh, f(x) làđiểm thi của thí sinhx, lúcđó tập hợp các thí sinhđược tuyển là {x X: f(x) 18}.
106
Chúng ta mô hình vấnđềnày nhưsau : gọi clà hệsố giảm sốlượng khách hàng nếu tăng giá mộtđơn vị tiền tệvàF(T) là sốlượng khách hàng khi chúng ta tăng giá sản phẩm thêmT. Lúcđó
F(T) = -cT + n
Vậy các mức tăng giá có thểchấp nhậnđược là {T : F(T) 0,9n}
Mô hình chung cho các vấnđề này có thểlàm như sau.
107
Định nghĩa. Cho A và B là hai tập hợp khác trống và C là một tập con khác trống trong B. Cho một ánh xạ f từ A vàoB. Ta đặt f-1(C) = {x A : f(x) C} và gọi f -1(C) làảnh ngượccủa C qua f
A C B
f C ( )-1
108
Nhiều lúc chúng ta muốn thu hẹp vấnđề, lúcđó chúng ta phải có các cách mô hình việc thu hẹp này.
Trong một sốvấnđềviệc thu hẹp này còn giúp chúng ta bớt sốtính toán và có kết quảnhanh hơn trước.
Vì các sựvật phải quan sátđược bớtđi, một sốmô hình cũngđược “thu nhỏ” lại. Chúng ta dùng ngôn ngữtoán học diễnđạt sựviệc này nhưsau.
109
Định nghĩa. Cho f là một ánh xạtừmột tập hợpX vào một tập hợpY, và Alà một tập hợp con củaX.
Với mọix A tađặt g(x) =f(x), lúcđóglà một ánh xạtừ A vàoY và ta nóiglàánh xạthu hẹpcủa ánh xạ f trênA và ký hiệu glà f|A.
X
f
Y
A
X Y
A
g Y
110
Thí dụ. Cho A = ( 0, ), B = (-, 0)và f là một ánh xạtừ — vào— xácđịnh như sau
Đặt g =f |A và h =f|B . Ta có g(x) =x với mọi x trong A và h(x) = 0với mọi x trong B.
2 0,
( ) 0 0.
x khi x
f x khi x
f
B A h
111
Định nghĩa. Cho X,Y vàZ là ba tập hợp khác trống, f là một ánh xạ từ X vào Y, và g là một ánh xạ từ Y vàoZ. Ta đặt h(x) = g(f(x)) với mọi x trong X. Lúc đó hlà một ánh xạtừ X vào Z và được gọi là ánh xạhợp củaf vàg vàđược ký hiệu là gof.
112
X
Y
Z x
f x( ) y
g y( )
g f xo( ) g f x( ( )) g fo
x
f g
113
g x( )
g x( ) f g x( ( ))
114
f(x) = x2 g(x) = x2 + x4 gof(x)= x4+ x8
x x2 x +x2 4
f g
+ + +
115
f(x) = x2 g(x) = x2+ x4 fog(x)= (x2+ x4)2
x
f g
+ + +
x2 x2 + x4
2 4
x + x x
g y f y2
+ + +
f go
2 4 2
( x + x )
116
f(x) = x2 g(x) =x2+x4 gof(x)=x4+x8 fog(x) = (x2+ x4)2
2 4
x + x x
g y f y2
+ + +
f go
2 4 2
( x + x )
117
B. Xácđịnh ánh xạhợp
Để xác định ánh xạ hợp gof ta làm như sau : với mọi x trongX tính y =f(x), rồi thay y bằng giá trị đó vào công thức z =g(y), từ đó xác định được giá trị gof(x) theox.
Thí dụ. Cho X =—, Y = [-3, ) và Z = [-5, 4],cho f(x) = với mọi x trong X và g(y) = với mọi y trong Y.Xácđịnh gof.
1x2
2 4
1 1
y y
Với mọix trongX tađặty =f(x) = . Ta có gof(x) = g[f(x)] =g(y) = =
Vậy gof (x) = với mọix trongX.
1x2 2
4
1 1
y y
2 2 2 4
1 ( 1 )
1 ( 1 )
x x
2
4 2 2 2
x
x x
118
Việcđặty =f(x) = mới xem rất tầm thường, nhưng nó giúp ta làm nhanh và ít sai trong tính toán về sau : nó tránh cho chúng ta khỏi lầm lẫn cácx trong f(x) = vàg(x) = ( thường người ta viết g như một hàm sốtheo x chứkhông theo y )
1x2
1x2 1 42
1 x x
Có thểdùng Matlabđể giải thí dụtrên nhưsau
>> f=@(x)sqrt(1+x.^2) f =
@(x)sqrt(1+x.^2)
>> g=@(x)(1-x.^2)/(1+x.^4) g =
@(x)(1-x.^2)/(1+x.^4) 119
>> f=@(x)sqrt(1+x.^2) f =
@(x)sqrt(1+x.^2)
>> g=@(x)(1-x.^2)/(1+x.^4) g =
@(x)(1-x.^2)/(1+x.^4)
>> h=@(x)f(g(x)) h =
@(x)f(g(x))
>> k=@(x)g(f(x)) k =
@(x)g(f(x))
120
>> h=@(x)f(g(x)) h =
@(x)f(g(x))
>> k=@(x)g(f(x)) k =
@(x)g(f(x))
>> syms x
>> h(x) ans =
(1+(1-x^2)^2/(1+x^4)^2)^(1/2)
>> k(x) ans =
-x^2/(1+(x^2+1)^2)
121
Thí dụ. Cho X =Y =Z =—, f(x) =
và g(x) = với mọi x trong —.Tính fog
4 6 3 15 8
x x x
3 2
4 5
7
x x
x
Bài này có sốlượng tính toán khá lớn ta nên dùng máy tính, ở đây ta dùng Matlab
122
>> f=@(x)(x.^4 + 6*x.^3 -15*x +8) f =
@(x)(x.^4+6*x.^3-15*x+8)
>> g=@(x)(x.^3 + 4*x +5)/(x.^2 +7) g =
@(x)(x.^3+4*x+5)/(x.^2+7)
>> h=@(x)f(g(x)) h =
@(x)f(g(x))
>> syms x
123
>> h(x) ans =
(x^3+4*x+5)^4/(x^2+7)^4 +6*(x^3+4*x+5)^3/(x^2+7)^3- 15*(x^3+4*x+5)/(x^2+7)+8
>> simplify(h(x)) ans =
(-642-5980*x-4547*x^3+13181*x^2+1905*x^6 +8713*x^4+119*x^9+657*x^7+345*x^5+x^12 +16*x^10+194*x^8+6*x^11)/(x^2+7)^4
12 11 10 9 8 7 6
2 4
5 4 3 2
2 4
6 16 119 194 657 1905
( ) ( 7)
345 8713 4547 13181 5980 642
( 7)
x x x x x x x
h x x
x x x x x
x
124