PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN GIẢI TOÁN
B. Một giả thiết thường có cấu trúc : một "yếu tố
I. QUI TẮC GIẢI TOÁN
QUI TẮC GIẢI TOÁN 1
Khi bài toán có nhiều yếu tố chưa rõ ràng, trước hết ta làm rõ các yếu tố này trước khi giải bài toán. Thật là phi lý khi giải một bài toán khi chưa rõ các yếu tố trong bài toán.
Nhiều khi bài toán được giải ngay sau khi các yếu tố được làm rõ.
QUI TẮC GIẢI TOÁN 2
Nên xét bài toán trong trường hợp đơn giản nhất. Sau đó xét bài toán dạng phức tạp hơn một chút, dựa vào cách giải trường hợp trước. Lặp qui trình này cho đến khi giải xong bài toán
QUI TẮC GIẢI TOÁN 3
Viết và đánh số cẩn thận các giả thiết và kết luận của bài toán, với cùng các yếu tố đã được làm rõ.
QUI TẮC GIẢI TOÁN 4
Không dùng cùng một ký hiệu cho hai sự việc có thể khác nhau.
QUI TẮC GIẢI TOÁN 5
Viết các yếu tố trong bài toán cùng một dạng QUI TẮC GIẢI TOÁN 6
Xét các yếu tố "giống giống khác khác" trong bài toán, cố gắng làm chúng ra dạng giống nhau hẵn. Sau đó viết lại bài toán với các dạng mới, và xét các yếu tố giống giống khác khác trong dạng bài toán mới. Lặp qui trình này cho đến khi giải xong bài toán. Nếu chỉ có hai yếu tố "giống giống khác khác" còn các yếu tố còn lại hoàn toàn giống nhau, ta chỉ tập trung quan sát hai yếu tố này. Khi dùng phản chứng, ta phải tập trung quan sát các yếu tố "giống giống khác khác" nhưng chống nhau. Không nên để ý nhiều quá những yếu tố hoàn toàn giống nhau.
QUI TẮC GIẢI TOÁN 7
Khi bài toán có yếu tố phức tạp, ta làm mất sự phức tạp đó bằng cách chia thành nhiều trường hợp. Sau đó giải quyết từng trường hợp. Đây là chính sách “chia để trị” trong toán học.
QUI TẮC GIẢI TOÁN 8 (Phản chứng)
Chúng ta dùng phản chứng trong các trường hợp sau :
Dữ kiện cho trước yếu hơn dữ kiện cần chứng minh.
Dữ kiện cho trước không rõ ràng bằng dữ kiện cần chứng minh.
Không thể dùng được dữ kiện cho trước.
Cách dùng phản chứng : để chứng minh “P đúng”. ta chỉ cần chứng minh ~P không thể nào đúng được như sau
Giả sử ~P đúng, coi như đây là một giả thiết của bài toán. Giả thiết mới này thường được gọi là giả thiết phản chứng.
Dùng qui tắc giải toán 6, làm thật giống các yếu tố "giống giống khác khác".
Sau cùng ta sẽ tìm được một yếu tố "giống giống chống chống". Ta viết lại các yếu tố này cho thật giống nhau và thật chống nhau. Từ đó chúng ta cố tìm ra một điều mâu thuẫn với các giả thiết cho sẵn của bài toán hoặc mâu thuẫn với các định nghĩa hoặc các kết quả có từ trước.
QUI TẮC GIẢI TOÁN 9 (Chứng minh bằng đảo đề)
Khi chứng minh “P Q” khó quá, ta có thể chứng minh “~Q ~P”
QUI TẮC GIẢI TOÁN 10
Khi bài toán có yếu tố được xác định trong nhiều trường hợp. Vậy ta phải xét bài toán trong nhiều trường hợp tương ứng.
QUI TẮC GIẢI TOÁN 11
Khi bài toán viết theo dạng tích hợp các trường hợp. Ta tách bài toán ra từng trường hợp.
QUI TẮC GIẢI TOÁN 12
Nếu định nghĩa của một yếu tố trong bài toán khá phức tạp ( sup , sự hội tụ, sự liên tục . . .). Ta phải chép định nghĩa dưới dạng tổng quát, sau đó mới thay vào các ký hiệu tương ứng của bài toán. Cách này giúp ta tránh sai sót, và giúp ta có một kho kiến thức toán có chọn lọc : dùng nhiều được ghi ra nhiều lần.
QUI TẮC GIẢI TOÁN 13
Nếu một số bé hơn (tương tự lớn hơn) một số cụ thể hơn, thay vì chặn trên trực tiếp số đó, ta có thể chặn trên (tương tự chặn dưới) số cụ thể đó.
QUI TẮC GIẢI TOÁN 14
Khi bài toán có các số chỉ số (như yd , zM , . . .), nhất là khi dùng phản chứng, ta biến các yếu tố bài toán ra dạng dãy số. Những số có chỉ số đôi khi ta phải đặt xn = yd. Với mỗi n ta phải chọn d. Thường ta chọn d = n hoặc d = n-1. Ta chọn d sao cho gia tăng thuận lợi giả bài toán, thí dụ gia tăng sự mâu thuẫn trong phản chứng: nếu d càng nhỏ thì mâu thuẫn càng tăng, ta chọn d = n-1 . Nếu d càng lớn thì mâu thuẫn càng tăng, ta chọn d = n.
QUI TẮC GIẢI TOÁN 15
Nếu bài toán có các ký hiệu phức tạp, ta nên đặt ký hiệu mới làm trong sáng bài toán. Tương tự, ta nên biến bất đẵng thức thành đẵng thức . QUI TẮC GIẢI TOÁN 16
Nếu bài toán phức tạp vì có những trường hợp không giải được. Ta giải trước các trường hợp có thể giải được. Sau đó cố gắng đưa các trường hợp còn lại về các trường hợp đã giải.
QUI TẮC GIẢI TOÁN 17
Nếu bài toán phức tạp vì có nhiều trường hợp khác nhau. Ta có thể loại các trường hợp không cần thiết và viết lại bài toán.
QUI TẮC GIẢI TOÁN 18
Nếu trong giả thiết có “với mọi x trong . . .” , “với mọi trong . . .” . . ., ta có thể chọn x , , . . . . cho phù hợp với các yếu tố trong phần kết luận.
QUI TẮC GIẢI TOÁN 19
Khi phải chứng minh nhiều phần nhỏ của bài toán, ta nên chứng minh phần dễ trước.
QUI TẮC GIẢI TOÁN 20
Để tìm một ẩn số (x, y, . . . ), ta cố gắng để ẩn số đó đứng một mình ở một vế trong một đẳng thức hay bất đẳng thức.