Chương 2 Nhóm con c ủa nhóm tuyến tính tổng quát trên một trường
2.4. Lưới trên vành đơn
Định lý 2. Mọi D-lưới các ideal bậc n≥2trong một vành đơn R là giao của các lưới tối đại.
Chứng minh. Lấy σ là một D-lưới khác đơn vị bất kì trong R, và choσk1=(0)(k≠1).Để chứng minh định lí ta chỉ cần chỉ ra rằng tồn tại một lưới tối đại ω sao cho
, k1 (0).
σ ω ω≤ =
Ta kí hiệu i1=1, ,...,i2 ir là chỉ số của các dòng i sao cho σi1=R. Hơn thế, xét phép thế Sn
π∈ với
(1) i1 1,..., ( )r ir, ( 1)r k. π = = π = π + = Khi đó như trong chứng minh Định lí 1 ta có
( ,(0)).r σπ ≤ =τ τ
Dễ thấy rằng lưới tối đại ω τ= π−1 thỏa hai điều kiện (2.3), định lí được chứng minh.
Giả sử n≥2 được biểu diễn thành tổng
1 ... m( 1)
n k= + +k m≥
của các số tự nhiên k1,…,kmvà giữ nguyên thứ tự của các số hạng này. Nếu σ là lưới bậc n, ta có thể liên kết sự phân tích (2.4) với một biểu diễn của lưới này ở dạng ma trận khối
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
... ... .... ....
...
m m
m m mm
σ σ σ
σ σ σ
σ
σ σ σ
=
trong đó σij là mảng chữ nhật các ideal gồm ki dòng và kjcột. Hệ có thứ tự k1,…,km của các số hạng trong (2.4) được gọi là kiểu của biểu diễn.
Một lưới σ bậc n được gọi là D-lưới dạng ma trận khối kiểu k1,…,km nếu trong biểu diễn dạng ma trận khối (2.5) của nó ứng với biểu diễn (2.4) tất cả các khối trên đường chéo là đơn vị
(khối gồm tất cả các ideal đơn vị). Ta gọi một D-lưới dạng ma trận khối (2.5) là một D-lưới bậc thang kiểu k1,…,km nếu tất cả các khối σij(i j> ) nằm bên dưới đường chéo chính là khối 0 (khối gồm tất cả các ideal 0).
Bổ đề 2.4.Trong một D-lưới dạng ma trận khối (2.5), tất cả các ideal trong cùng một khối đều bằng nhau.
Chứng minh.Lấy các ideal σkr và σks cùng nằm trên khối σij(i j≠ ). Khi đó ideal σrs nằm trong khối σjj và do đó σrs =R. Từ điều kiện σ σkr rs⊆σks ta suy ra σkr ⊆σks. Nhờ tính đối xứng ta cũng có bao hàm thức ngược lại σkr ⊇σks, do đó tất cả các ideal trong cùng một dòng
của khối σij đều bằng nhau. Tương tự ta cũng có các ideal trong cùng một cột của khối σijđều bằng nhau.
Hệ quả. Cho R là một vành đơn, σ là D-lưới dạng ma trận khối (2.5). Khi đó mỗi khối σij với i j≠ sẽ hoặc gồm tất cả ideal đơn vị hoặc gồm tất cả ideal 0.
Định lý 3. Mỗi D-lưới các ideal trên một vành đơn đồng dạng với D-lưới bậc thang nào đó.
Chứng minh. Giả sử σ là một D-lưới bất kì trên vành đơn R. Nếu σ là một lưới đơn vị thì σ có dạng ma trận khối (2.5) với m=1 (trong trường hợp này sự phân tích (2.4) trở thành dạng đơn), do đó lưới đơn vị là D-lưới bậc thang. Giả sử σ không là D-lưới đơn vị.
Ta chọn trong σ một cột có số ideal 0 nhiều nhất, và đặt là cột 1. Nếu i1=1,i2, … , ir là chỉ số của tất cả các dòng thứ i sao cho σi1=R và π là một phép thế bậc n với
(1) i1,..., ( )r ir
π = π = thì trong lưới σ'=σπ tất cả hình chữ nhật phía dưới có cấp (n-r) × r gồm các ideal 0 [σij=0 khi i >r và j ≤ r xem chứng minh của Định lí 1]. Nói cách khác, σ đồng dạng với một lưới dạng
11 (1) ' *
0 σ σ
σ
=
trong đó σ11 và σ(1) là các khối vuông có cấp là r và n-r (với 1≤ ≤ −r n 1). Do cách chọn cột 1 là cột có nhiều ideal 0 nhất nên mỗi cột của lưới (2.6) chứa nhiều nhất n-r ideal 0.
Suy ra khối σ11gồm các ideal đơn vị.
Ta xét mảng σ(1) các ideal như là khối đường chéo trong (2.6). Ta có σ(1) là một D-lưới cấp n-r trong R. Nếu σ(1) là lưới đơn vị thì định lí được chứng minh. Nếu σ(1) không là lưới đơn vị, ta sẽ làm tương tự như trên. Cụ thể là, áp dụng cho σ(1) một phép thế thích hợp của các số r+1, …, n ta sẽ đưa lưới σ(1) về dạng
22 (2) ' *
0 σ σ
σ
=
trong đó σ22 là khối gồm những ideal đơn vị. Tiếp theo, tồn tại một phép thế π' của các phần tử 1, … , n mà π' không tác động lên các phần tử 1, … , r sao cho
22
' 22
(2)
* *
'' ( ') 0 *
0 0
π σ
σ σ σ
σ
= =
.
Tiếp tục quá trình trên, ta đến bước thứ k ta được D-lưới bậc thang. Định lý được chứng minh
Định lý 4. Cho σ và σ' là hai D-lưới bậc thang kiểu (k1, … , km) và (k'1, … , k'm) trên vành đơn R. Nếu lưới σ và σ' đồng dạng với nhau thì kiểu của chúng bằng nhau sai khác thứ tự của các thành phần, đặc biệt m'=m.
Chứng minh.Nếu trong vành phép nhân của các ideal có tính giao hoán thì mỗi lưới σ có thể được đặt tương ứng với lưới σ0 với (σ0)ij=σ σij ji. Đối với hai lưới đồng dạng σ và τ các lưới σ0 và τ0 cũng đồng dạng với nhau. Cho R là vành đơn và σ là D-lưới bậc thang kiểu (k1,…, km) trong R. Trong lưới σ0, trên đường chéo chính sẽ chứa các khối
đơn vị có cấp là k1,…,km và tất cả các ideal ở các vị trí khác là (0). Số các khối trên đường chéo chính có cấp k được xác định nhờ số các cột chứa n-k ideal (0).