Chương 2 Nhóm con c ủa nhóm tuyến tính tổng quát trên một trường
2.8. Chu ẩn hóa tử của nhóm con D-lưới trên một trường
Định lý 2.8.1.Cho K là một trường nhiều hơn hai phần tử và σlà một D-lưới bậc n bất kì trong K. Khi đó
( ) ( ) ( ).
N σ =Pσ Gσ
Chứng minh. Từ Nhận xét 2.2.4 iv) đối với một phép thế bất kì π∈Sn hai đẳng thức ( ) ( ) ( )
N σ =P σ Gσ và N(σπ)=P(σπ) (G σπ)là tương đương. Do đó, để chứng minh định lý, ta có thể lấy một lưới bất kì tương đương với lưới σ . Tiếp theo, ta có thể giả sử σ là D-lưới bậc thang. Kí hiệu (k1,…,km) là kiểu của lưới σ , ta có thể viết lưới σ về dạng ma trận khối. Trong dạng này, tất cả các khối σij(i j> ) nằm phía dưới đường chéo chính là khối 0. Do biểu diễn bậc n của lưới σ có dạng tổng n = k1 +…+km một ma trận bất kì
( , )
x GL n K∈ sẽ được xem như ma trận dạng ma trận khối
11 12 1
21 22 2
ij 1 ,
1 2
...
( ) ... ,
... ... ... ...
...
m i j m m
m m mm
x x x
x x x
x x
x x x
≤ ≤
= =
trong đó xijlà ma trận chữ nhật ki dòng và kj cột. Đối với một ma trận không suy biến x, ta có x G∈ ( )σ nếu và chỉ nếu với bất kì khối σij=0trong lưới σ khối tương ứng trong x là khối xij=0. Đặc biệt, trong một ma trận bất kì x G∈ ( )σ tất cả các khối nằm bên dưới đường chéo chính là khối 0. Hơn thế, vì trong một D-lưới bậc thang σ, khối đường chéo σii gồm các ideal đơn vị, nên ta có thể lấy các khối đường chéo x11,…,xm của ma trận
( )
x G∈ σ là các ma trận không suy biến cấp k1,…,km.
Cho a là một ma trận bất kì trong N( )σ ta có
( ) ( )
aG σ =Gσ a. (2.7)
Ta chỉ cần chứng minh tồn tại một ma trận thích hợp b G∈ ( )σ sao cho ab là ma trận dạng Pπ với phép thế π∈Sn. Khi đó Pπ =ab N∈ ( )σ , theo Mệnh đề 2.2.3 kéo theo σπ =σ tức là Pπ ∈P( ).σ Suy ra a P b= π −1∈P( ) ( ).σ Gσ
Sơ đồ chứng minh định lý là như sau: bắt đầu từ ma trận a, ta sẽ nhân nó về bên phải liên tiếp với những ma trận trong G( )σ cho đến khi thu được ma trận dạng Pπ.
Từ (2.7), với một ma trận bất kì x G∈ ( )σ tồn tại một ma trận duy nhất y G∈ ( )σ sao cho
ax=ya. (2.8)
Đồng thời, trong (2.8) ta có thể xem y như là một ma trận bất kì trong G( )σ (khi đó x sẽ phụ thuộc vào y). Ta sẽ viết các ma trận a, x,y trong (2.8) về dạng ma trận khối kiểu (k1,…,km). Tức là a=(aij) và y=(yij) trong đó aij và yij là các khối gồm ki dòng và kj cột.
Ta giả sử rằng với t (1≤ ≤t m),t – 1 cột khối đầu tiên của ma trận a chỉ chứa một khối khác 0, tất cả các khối khác 0 này là những ma trận đơn vị cấp thích hợp. Đó là các vị trí
1 1
( ,1),...,(i it− , 1)t− .
Các chỉ số i1,…,it-1 khác nhau. Ta sẽ chứng minh rằng bằng cách nhân vế bên phải ma trận a một ma trận thích hợp trong G( )σ , có thể đưa cột khối thứ t về cùng dạng của t – 1 cột đầu tiên, tức là cột khối thứ t chỉ có một khối khác 0 và khối này là khối đơn vị.
Trước tiên ta sẽ chứng minh rằng nếu r = is (1≤ ≤ −s t 1) và khối σst ≠0thì trong ma trận a ta có thể dễ dàng thay art bằng khối 0 và giữ nguyên tất cả các khối khác không đổi. Với mục đích như vậy, ta nhân a về bên phải bởi một “phép co dạng ma trận khối”
b=(bij) kiểu (k1,…,km), trong đó các khối bij=0 khi i j≠ và ( , ) ( , ).i j ≠ s t Ta thấy tích ab khác ma trận a chỉ tại khối ở vị trí (r,t). Cụ thể, trong ab vị trí này là ma trận 0 thay vì art. Ma trận b G∈ ( )σ , vì theo giả thiết, khối σst ≠0 và do đó theo Hệ quả 2.4.3, nó gồm tất cả các ideal đơn vị. Vì vậy, ta có thể giả sử rằng ait=0 khi i=is (1≤ ≤ −s t 1) và σst ≠0.
Bây giờ ta sẽ chọn chỉ số r (1≤ ≤r m) sao cho khối art ≠0 và tất cả các khối bên dưới nó ar+1,t,…,amt là 0. Khi đó theo (2.8) ta có hoặc
rt tt rr rt,
a x =y a (2.9)
nếu r i≠ 1,...,it−1, hoặc
arsxst + artxtt = yrrart, (2.10)
nếu r=is(1≤ ≤ −s t 1). Nhưng trong trường hợp thứ hai, vì art ≠0 nên khối σst phải là 0 (do chứng minh trên) và vì thế xst = 0 đối với mọi ma trận x G∈ ( )σ . Vì thế (2.10) trở thành (2.9) nghĩa là trong mọi trường hợp ta đều có (2.9). Trong sự bằng nhau này ta có thể chọn tùy ý hoặc ma trận vuông không suy biến xtt hoặc yrr. Việc chọn một trong hai ma trận này sẽ xác định ma trận còn lại qua sự bằng nhau ở (2.8). Tiếp theo, từ (2.9) ta thu được art là ma trận không suy biến cấp kr = kt. Bây giờ ta chuyển khối art sang ma trận đơn vị bằng cách nhân a về bên phải với một ma trận khối đường chéo [b11,…,bmm] kiểu (k1,…,km) trong đó btt =art−1 và bii là ma trận đơn vị khi i t≠ . Phép nhân b có thể chấp nhận được vì b G∈ ( ).σ Ta được xác định thêm giả thiết rằng ngoài giả thiết liên quan đến ma trận a, khối art là ma trận đơn vị.
Ta quay lại vơi sự bằng nhau (2.8), trong đó ta chọn ma trận y là ma trận khối đường chéo [y11,…,ymm]. Từ sự bằng nhau trong (2.8) các khối của cột thứ t, ta thu được hệ phương trình
aitxtt=yiiait (i = 1,…,r), (2.11)
[Ở đây cần chú ý rằng phương trình aisxst + aitxtt =yiiait với i = is và 1≤ ≤ −s t 1không gì khác ngoài (2.11) vì xst = 0 khi σst =0và ait=0 khi σst ≠0]. Trong hệ phương trình (2.11) yii là những ma trận không suy biến. Lấy θ là phần tử trong K khác 0 và 1. Ta lấy ma trận yrr là ma trận vô hướng với phần tử θ trên đường chéo chính yrr=[θ,…,θ] và yii là ma trận đơn vị với i<r.
Vì art là ma trận đơn vị nên từ (2.9) suy ra xtt=yrr, từ (2.10) suy ra
θait=ait (i = 1,…,r – 1),
kéo theo ait =θ với mọi i < r.
Như vậy sau những phép tính được thực hiện trên ma trận a, ma trận a có khối cột thứ t với một ma trận khác 0 duy nhất và khối này là ma trận đơn vị.
Tóm lại, bắt đầu từ ma trận a N∈ ( ),σ quá trình tính toán trên ma trận a, với t = 1,
…, n ta đến được ma trận có mỗi dòng và mỗi cột có đúng một ma trận khác 0 đó là ma trận đơn vị. Nói cách khác tồn tại một ma trận b G∈ ( )σ sao cho ab=Pπ với π∈Sn.Do chú ý trên nên ta có định lý được chứng minh.
K ết luận
Bài toán được thực hiện trong luận văn là mô tả các nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quát trên trường chứa nhóm con các ma trận đường chéo. Các kết quả chính của luận văn như sau:
1. Trình bày khái niệm về lưới và nhóm con lưới, mô tả lưới và nhóm con lưới trên trường.
2. Đưa ra tính chất của ma trận chứa trong chuẩn hóa tử của nhóm con lưới, mô tả các phép co sơ cấp nằm trong nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quát chứa nhóm con các ma trận đường chéo.
3. Từ đó, mô tả các nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quát trên trường chứa nhóm con các ma trận đường chéo.
Các Định lý 2.7.1 và 2.8.1cho ta cái nhìn tổng quát về tất cả các nhóm con H trong nhóm tuyến tính tổng quát G = GL(n,K) chứa nhóm con các ma trận đường chéo
D=D(n,K) (với giả thiết |K| ≥ 7). Với mỗi nhóm con H, D H G≤ ≤ tồn tại duy nhất một D-lưới σ bậc n sao cho G( )σ ≤H N≤ ( )σ . Hơn nữa, N( )σ =P( ) ( )σ Gσ , khi đó, ta đặt
( ) ( ) ( )
Qσ =P σ G σ . Theo Định lý đẳng cấu 2, các nhóm con thành phần N( ) / ( )σ G σ đẳng cấu với các nhóm con thành phần P( ) / ( )σ Qσ .
Bây giờ, giả sử m < n ta sẽ nhúng GL(m,K) vào GL(n,K) bằng cách sau:
( , ) ( , )
0 . 0 GL m K GL n K
a a
e
→
Đồng nhất a với ảnh của nó qua phép nhúng này, ta có thể xem GL(m,K) là nhóm con của nhóm GL(n,K). Ta sẽ có bài toán mở rộng sau:
Bài toán mở.Mô tả các nhóm con của nhóm GL(n,K), n ≥ 2, K là trường |K| ≥ 7, chứa nhóm con các ma trận đường chéo D(m,K) với 2≤ ≤m n
Hướng giải quyết. Nếu m = n bài toán đã được giải quyết. Bước tiếp theo ta sẽ tìm cách giải của bài toán với m = n - 1.
Tài li ệu tham khảo
[1] Bùi Xuân Hải, Nhóm tuyến tính, NXB Đại Học Quốc Gia Tp. HCM, 2007.
[2] Bui Xuan Hai and Tran Ngoc Hoi, On subgroups of the general linear group over commutative von Neumann regular ring, Acta Mathematica Vietnamica, V. 19(1994), No 2, pp 19-30.
[3] Borevich Z.I. and Vavilov N.A, Subgroups of the general linear group over a
semilocal ring that the contain the subgoups of diagonal matrices, Trud. Mat. Inst. Akad.
Nauk SSSR, 148 (1978), 43-57.
[4] Z.I. Borevich, Description of subgroups in the general linear group that contain the group of diagonal matrices, Zap. Nauch Sem. Leningr. Otd. Mat. Inst. Akad. Nauk SSSR, 64 (1976), 12-29, English translation in J. Soviet Math, 17 (1981), No 2.