CHƯƠNG 2 MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 20
2.1 Sơ lược quá trình tiếp cận khái niệm tính đơn điệu của hàm số
• Lớp 9
Chúng ta tìm hiểu quá trình tiếp cận khái niệm tính đồng biến, nghịch biến của hàm số đối với học sinh phổ thông Việt Nam.
Học sinh Việt Nam được tiếp cận khái niệm sự đồng biến nghịch biến của hàm số lần đầu tiên ở lớp 9. Ở giai đoạn này, sự đồng biến nghịch biến của hàm số được định nghĩa trên tập số thực mà không định nghĩa trên một khoảng bất kỳ. Vì tập số thực là tập số quen thuộc đối với học sinh lớp 9, khái niệm về khoảng đoạn, nửa khoảng lại chưa chính thức được định nghĩa cho học sinh lớp 9, mà các khái niệm này chính thức được định nghĩa trong chương trình đại số lớp 10.
Định nghĩa :
Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến (tăng) trên R nếu với ∀x1, x2 ∈ R mà x1 < x2 thì f(x1) < f(x2).
Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến (giảm) trên R nếu với ∀x1, x2 ∈ R mà x1 < x2 thì f(x1) > f(x2).
Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên R ta gọi là hàm số đơn điệu .[13, tr71]
- Khái niệm này có thể được các giáo viên phát biểu lại cho học sinh trong giai đoạn ban đầu là “trên một khoảng xác định của hàm số, nếu đại lượng x tăng mà kéo theo đại lượng y tăng thì ta nói hàm số đồng biến trên khoảng đó. Nếu đại lượng x tăng mà kéo theo đại lượng y giảm thì ta nói hàm số nghịch biến trên khoảng đó’’.
- Trong giai đoạn này, thể chế ưu tiên cho việc sử dụng hình vẽ trực quan là các đồ thị để mô tả khái niệm, nhằm giúp học sinh hiểu rõ hơn về khái niệm.
Theo tài liệu PPDH môn Toán - Tập 2 – Giáo trình đào tạo giáo viên THCS hệ Cao đẳng sư phạm có viết: “khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến được trình bày ở lớp 9 là khái niệm khó. Khi trình bày khái niệm này cần lưu ý:
Khai thác hình ảnh trực quan minh họa hàm số đồng biến, (nghịch biến) trong khoảng (a, b): đồ thị hàm số là đi lên (đi xuống) từ trái sang phải trong khoảng (a,b). [ 8, tr 67-68]
Hình ảnh trực quan thường làm cho người học dễ tiếp thu một khái niệm lần đầu hơn là sử dụng ngôn từ toán học trừu tượng vì theo tiến trình tư duy thông thường người ta thường đi từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, vì vậy theo chúng tôi việc sử dụng đồ thị trong giai đoạn đầu được xem là cách rất tốt để giúp học sinh hiểu khái niệm trong giai đoạn này.
- Với định nghĩa này học sinh ngầm hiểu là khi các bài tập được cho xét tính đơn điệu của hàm số là xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trên tập R, khi đề bài không đề cập xét trên khoảng nào.
- Khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến được trình bày đối với học sinh lớp 9 là khái niệm khó ở chỗ “với ∀x1, x2 ∈ R mà x1 < x2 thì f(x1) < f(x2)”, vì không phải so sánh 2 số cụ thể, ở đây là so sánh 2 biểu thức có chứa biến x1, x2, vì thế ở lần tiếp xúc đầu tiên học sinh có thể xuất hiện kiểu so sánh 2 biểu thức như sau khi xét sự đơn điệu của hàm số:
Ví dụ để xét tính đơn điệu của hàm số y = -2x +3 trên R.
Lập các biểu thức f(x1) = -2x1 +3; f(x2) = -2x2 +3.
Với x1 < x2 thì -2x1 > -2x2 . Cộng 2 vế của biểu thức cho 3 nên -2x1 +3 > -2x2 +3 hay f(x1) > f(x2).
Vậy hàm số nghịch biến trên R.
- Kiểu so sánh 2 biểu thức đại số thường là so sánh kiểu một - một , nghĩa là cứ một thành phần chứa biến này thì đem so sánh với một thành phần tương ứng với biến
kia như là so sánh các số thực với nhau, rồi cộng các thành phần của biểu thức lại với nhau, suy ra được sự lớn hơn hoặc nhỏ hơn của 2 biểu thức f(x1) và f(x2).
- Mặc dù cách so sánh này không dẫn học sinh đến kết luận sai về tính đơn điệu của hàm số trong trường hợp trên, nhưng kỹ thuật so sánh 2 biểu thức f(x1), f(x2) này lại ít được phổ biến và mong đợi của giáo viên, kỹ thuật mong đợi là:
- Với ∀ x1, x2 ∈ R. Giả sử x1 > x2
- Lập biểu thức hiệu f(x1) - f(x2) = a.(x1 - x2).
+ Nếu a > 0 thì f(x1) - f(x2) > 0. hay f(x1) > f(x2).
Kết luận hàm số đồng biến trên R
+ Nếu a < 0 thì f(x1) - f(x2) < 0. hay f(x1) < f(x2).
Kết luận hàm số nghịch biến trên R.
Vì nếu vận dụng cách so sánh kiểu “một-một” như xuất hiện ở trên cho những hàm số đa thức từ bậc 2 trở lên thì học sinh sẽ gặp khó khăn trong việc so sánh 2 biểu thức, chẳng hạn xét sự biến thiên của hàm số:
y = f(x) = x2 – 2x với x > 1.
f(x1) = x12−2x1; f(x2) = x22−2x2.
Giả sử với 1< x1< x2. Ta có x12 <x22 ; -2x1 > -2x2.
Khi đó nếu cộng các thành phần của biểu thức f(x1), f(x2) lại với nhau thì khó biết được biểu thức nào lớn hơn, sau khi có sự hướng dẫn cách so sánh 2 biểu thức f(x1), f(x2) bằng cách lập hiệu giữa chúng, học sinh có thể dễ nhận thấy dấu của f(x1)- f(x2).
Cụ thể ở ví dụ “ Xét tính đơn điệu của hàm số y = -2x +3 trên R.”
Nếu lập biểu thức hiệu f(x1) - f(x2) thì học sinh sẽ dễ dàng hơn trong so sánh 2 biểu thức f(x1), f(x2):
f(x1) - f(x2) = -2(x1 - x2) > 0 với x1 < x2. Suy ra f(x1) > f(x2).
Do đó hàm số nghịch biến trên R.
Hoặc ví dụ “xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x) = x2 – 2x trên (1, +∞)”.
Giả sử với 1< x1< x2.
f(x1) - f(x2) = x12−2x1- (x22−2x2) = (x1-x2)(x1+x2 -2).
Khi đó ta thấy x1-x2 < 0, và (x1+x2 -2) > 0 (vì 1< x1< x2) Nên f(x1) - f(x2) < 0 hay f(x1) < f(x2).
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (1, +∞).
- Tuy nhiên ở cấp THCS thể chế chỉ yêu cầu sử dụng khái niệm này để xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số bậc nhất và nhìn hình dạng đồ thị mô tả được sự đồng biến nghịch biến trên các khoảng mà hàm số xác định.
Tổ chức toán học [T, τ, θ, Θ] được tìm thấy duy nhất ở đây là:
• Kiểu nhiệm vụ T : Xét tính đơn điệu của hàm số y = ax + b (a ≠ 0).
• Kỹ thuật τ.
- Với ∀ x1, x2 ∈ R. Giả sử x1 > x2
- Lập biểu thức hiệu f(x1) - f(x2) = a.(x1 - x2).
+ Nếu a > 0 thì f(x1) - f(x2) > 0. hay f(x1) > f(x2).
Kết luận hàm số đồng biến trên R
+ Nếu a < 0 thì f(x1) - f(x2) < 0. hay f(x1) < f(x2).
Kết luận hàm số nghịch biến trên R.
• Công nghệ θ: định nghĩa tính đơn điệu của hàm số trên R.
• Lí thuyết Θ: Các lí thuyết về hàm số một biến với biến số thực.
Như vậy ở giai đoạn ban đầu, học sinh tiếp cận khái niệm qua việc quan sát đồ thị của hàm số để mô tả sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng cho trước, và sử dụng định nghĩa để xét sự đơn điệu của những hàm số bậc nhất trên R.
2.1.2- Tiếp cận thứ hai
♦ Lớp 10.
- Khi lên lớp 10, do chưa có công cụ giải tích, thể chế chỉ yêu cầu học sinh chứng minh sự đồng biến, nghịch biến trên những khoảng cho trước và đối với các hàm số đơn giản (hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai và hàm phân tuyến tính) và các bài toán này cũng nhằm giúp cho học sinh nắm vững khái niệm. Yêu cầu đối với học sinh sau khi học khái niệm là học sinh phải biết dựa vào đồ thị để suy ra sự biến thiên của hàm số, đồng thời biết cách lập bảng biến thiên của hàm số.
Định nghĩa sách giáo khoa toán đại số 10 - chương trình nâng cao hiện hành:
Ta hiểu K là một khoảng, nửa khoảng hay đoạn nào đó của R.
Định nghĩa 1.
Cho hàm số f xác định trên K.
Hàm số f gọi là đồng biến (hay tăng) trên K nếu với ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).
Hàm số f gọi là nghịch biến (hay giảm) trên K nếu với ∀x1, x2 ∈K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2). [12, tr38]
- Việc sử dụng đồ thị để minh họa cho khái niệm cũng được chú trọng, nhưng ở đây có sự mở rộng của việc sử dụng hình vẽ, là những đồ thị của hàm số bậc hai và các hàm số có đồ thị phức tạp hơn để mô tả sự đồng biến nghịch biến của hàm số.
Sau khi nêu định nghĩa và minh họa bằng đồ thị, sách giáo khoa cũng tóm lại như sau:’’ Nếu một hàm số đồng biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi lên. Nếu một hàm số nghịch biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi xuống”.
Khi nói đến sự đi lên hay đi xuống của đồ thị, ta luôn kể theo chiều tăng của đối số, nghĩa là tính từ trái sang phải.
Và chú ý về hàm số không đổi trên K cũng được đề cập trong phần chú ý của sách.
CHÚ Ý.
Nếu f(x1) = f(x2) với mọi x1, x2 thuộc K, tức là f(x) = c với mọi x ∈K (c là hằng số) thì ta có hàm số không đổi (còn gọi là hàm số hằng) trên K.
- Khảo sát sự biến thiên của hàm số là xét xem hàm số đồng biến, nghịch biến, hay không đổi trên các khoảng (nửa khoảng hay đoạn) nào trong tập xác định của nó.
Ngoài ra còn có một cách trình bày về khái niệm mà các sách giáo khoa và sách bài tập cũng thường nêu ra để xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trên K. Đó là xét sự cùng dấu hay trái dấu của 2 biểu thức (x2 - x1) và f(x2) - f(x1).
Định nghĩa 2.
Hàm số f gọi là đồng biến trên K khi và chỉ khi với ∀x1, x2 ∈ K , x1≠ x2 2 1
2 2
( ) ( )
f x f x
x x
−
− > 0.
Hàm số f gọi là nghịch biến trên K khi và chỉ khi với ∀x1, x2∈K, x 1≠ x2 2 1
2 2
( ) ( )
f x f x
x x
−
− < 0.
Người ta thường ghi lại kết quả khảo sát sự biến thiên của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên của nó. Ví dụ hàm số y = ax2 được trình bày trong bảng biến thiên như sau:
x -∞ 0 +∞ f(x) = ax2
(a > 0)
+∞ +∞
0 Trong bảng biến thiên, mũi tên đi lên thể hiện tính đồng biến, mũi tên đi xuống
thể hiện tính nghịch biến của hàm số. [12, tr39-40].
- Các kiểu nhiệm vụ được tìm thấy trong giai đoạn gặp gỡ lần thứ hai là:
♦Kiểu nhiệm vụ T1: Nhìn vào đồ thị lập bảng biến thiên của hàm số.
Kỹ thuật τ1để thực hiện kiểu nhiệm vụ T1 là:
+ Nhánh của đồ thị đi lên thì hàm số đồng biến trên khoảng đó.
+ Nhánh của đồ thị đi xuống thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó.
♦ Công nghệ để giải thích cho kỹ thuật này là
Nếu một hàm số đồng biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi lên.
Nếu một hàm số nghịch biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi xuống.
♦ Lí thuyết để giải thích cho công nghệ: các lí thuyết về hàm số một biến với biến số thực.
♦Kiểu nhiệm vụ T2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = ax2 +bx +c.(a ≠ 0) trên mỗi khoảng K và lập bảng biến thiên của hàm số.
Kỹ thuật τ2 để thực hiện kiểu nhiệm vụ T2 là:
+ Với 2 số x1, x2 ∈ K, x1≠ x2.
+ Lập hiệu f(x1) - f(x2) = (ax12 +bx1 +c) - (ax22 +bx2 +c) = a(x12 - x22) + b(x1 - x2).
+ Xét dấu phân thức 1 2
1 2
( ) ( )
f x f x
A x x
= −
− = a.( x1 + x2) + b = a(x1 + x2 +b a) (a ≠ 0)
+ A > 0 thì hàm số đồng biến trên K.
+ A < 0 thì hàm số nghịch biến trên K.
Xét dấu biểu thức A tùy vào dấu của hệ số a và khoảng K được cho sao cho có thể xác định được dấu của biểu thức.
Thường khoảng K được cho trong các bài tập này là các khoảng ( 2
b
− a; +∞);
(-∞; 2 b
− a) hay các khoảng nằm trong các khoảng trên.
Chỉ sau khi học xong hàm số bậc 2 thì học sinh mới được sử dụng kỹ thuật τ2: + Nếu a > 0.
Hàm số đồng biến trên khoảng ( 2
b
− a; +∞), nghịch biến trên khoảng (-∞;
2 b
− a).
+ Nếu a < 0.
Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;
2 b
− a), nghịch biến trên khoảng ( 2
b
− a; +∞).
Kỹ thuật để lập bảng biến thiên:
+ Hàm số đồng biến trên khoảng K, được biểu diễn bằng mũi tên đi lên.
+ Hàm số nghịch biến trên khoảng K, được biểu diễn bằng mũi tên đi xuống.
Ví dụ khảo sát sự biến thiên của hàm số y = -2x2 +4x+1, trên mỗi khoảng (-∞; 1) và (1; +∞) rồi lập bảng biến thiên của nó.
Với x1, x2 ∈ (-∞; 1), x1≠ x2.
Ta có 1 2
1 2
( ) ( )
f x f x
x x
−
− =
2 2
1 1 2 2
1 2
( 2x 4x 1) ( 2x 4x 1)
x x
− + + − − + +
− = -2(x1 + x2 - 2).
Trên khoảng (-∞; 1), với x1, x2 ∈ (-∞; 1) ⇒ x1 < 1 và x2 < 1⇒ x1 + x2 - 2 < 0.
Suy ra 1 2
1 2
( ) ( )
f x f x
x x
−
− = -2(x1 + x2 - 2) > 0 .
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 1).
Tương tự trên khoảng (1; + ∞) hàm số đã cho nghịch biến.
Bảng biến thiên.
x -∞ 1 +∞ f(x) = -2x2+4x+1
3
-∞ -∞
Công nghệ để giải thích cho các kỹ thuật này là định nghĩa 2 về tính đơn điệu của hàm số.
Lí thuyết Θ: Các lí thuyết về hàm một biến với biến số thực.
Thể chế cho rằng trong giai đoạn này, với những kiến thức mà học sinh đã được học tới thời điểm này, chưa đủ để học sinh hiểu thêm những lí thuyết giải thích cho sự hình thành khái niệm này. Và thể chế yêu cầu không làm phức tạp và nặng nề thêm kiến thức cho học sinh trong việc xét tính đơn điệu của hàm số ở giai đoạn này.
2.2 - Phân tích sách giáo khoa toán giải tích 12
Tài liệu chúng tôi chọn phân tích là 2 bộ sách giáo khoa toán do 2 nhóm tác giả biên soạn cho 2 ban: cơ bản và nâng cao.
- Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan -Trần Phương Dung - Nguyễn Xuân Liêm - Đặng Hùng Thắng, Giải tích 12 nâng cao, NXBGD - Bộ Giáo dục và Đào tạo. Kí hiệu [M1].
- Trần Văn Hạo - Vũ Tuấn - Lê Thị Thiên Hương - Nguyễn Tiến Tài - Cấn Văn Tuất, Giải tích 12. NXBGD - Bộ Giáo dục và Đào tạo. Kí hiệu [M2].
Đi kèm mỗi cuốn sách giáo khoa là các sách bài tập, sách giáo viên, các tài liệu hướng dẫn thực hiện chương trình sách giáo khoa cho giáo viên.
Sau đây ta sẽ tìm hiểu mục đích yêu cầu của thể chế đối với chương I của sách giáo khoa, chương có liên quan đến khảo sát sự biến thiên của hàm số.
2.2.1 - Mục đích yêu cầu của thể chế dạy học đối với tri thức a. Mục đích yêu cầu đối với việc dạy học chương I
“ Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.”
Theo tài liệu hướng dẫn thực hiện chương trình sách giáo khoa lớp 12 môn toán, mục đích yêu cầu của chương I là:
1. Thấy rõ bản chất sâu sắc của khái niệm đạo hàm và những kết quả liên quan đến đạo hàm.
2. Nắm vững tất cả các định lí áp dụng đạo hàm để nghiên cứu những vấn đề quan trọng nhất trong việc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số như sự đồng biến, nghịch biến, cực đại, cực tiểu…
3. Vận dụng thành thạo công cụ đạo hàm và sơ đồ khảo sát để nghiên cứu sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm số thường gặp.
- Một số hàm số đa thức ( bậc nhất, bậc hai, bậc ba, trùng phương..) - Một số hàm số phân thức đơn giản.
4. Biết cách giải một số bài toán đơn giản liên quan đến khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (sự tương giao, biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị).
Những hạn chế liên quan.
- Có rất nhiều dạng toán có liên quan đến khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Các bài toán này đa dạng, phong phú và rất hay. Tuy nhiên rất nhiều dạng toán như thế vượt qua yêu cầu học tập tiếp tục ở đại học, cao đẳng, ngay cả các ngành khoa học tự nhiên. Mặt khác nếu đưa nhiều bài toán này vào chương trình sách giáo khoa THPT thì nó sẽ được mở rộng, đào sâu ngày một khó khăn hơn cho học sinh mà lại không cần thiết. Chính vì thế trong chương trình, sự hạn chế được quy định một cách rõ ràng. Cụ thể như chỉ xét các bài toán.
+ Sự tương giao của hai đồ thị.
+ Sự tiếp xúc của hai đồ thị.
+ Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị.
+ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số. [14, tr 26].
b - Mục đích yêu cầu của thể chế dạy học đối với tính đơn điệu của hàm số
Bài tính đơn điệu của hàm số là bài đầu tiên thuộc chương I “ Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số”của cả 2 cuốn sách giáo khoa toán 12.
Theo các tài liệu hướng dẫn giảng dạy của giáo viên đối với cả 2 sách giáo khoa M1, M2, chúng tôi tóm tắt những mục đích và yêu cầu của thể chế như sau:
- Mục đích chủ yếu của thể chế khi đưa khái niệm này vào là để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Ngoài ra còn có những ứng dụng khác như sử tính đơn điệu của hàm số để chứng minh một số bất đẳng thức, chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất.
- Yêu cầu của thể chế đối với giáo viên khi giảng dạy tri thức này là giúp học sinh:
+ Nắm được mối quan hệ giữa tính đơn điệu với dấu của đạo hàm của hàm số.
+ Khảo sát sự biến thiên của của hàm số.
+ Thông hiểu điều kiện (chủ yếu là điều kiện đủ) để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng, một nửa khoảng hay một đoạn. Từ đó giúp học sinh vận dụng thành thạo định lí về điều kiện đủ về tính đơn điệu để xét chiều biến thiên của hàm số và từ đó có thể chứng minh được một số bất đẳng thức đơn giản, chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất.
2.2.2 - Phân tích sách giáo khoa [ M1]
Phần lí thuyết.
- Mở đầu bài học sách giáo khoa muốn nhấn mạnh ứng dụng của đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số. “Trong bài này ta sẽ ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu (tức là tính đồng biến và nghịch biến) của hàm số.’’
[11, tr4].
Đây cũng là ý đồ của thể chế dạy học nhằm nhấn mạnh vai trò chủ yếu của đạo hàm trong việc xét tính đơn điệu của hàm số. Vì vậy trong tất cả các bài hàm số được xét đến là những hàm số có đạo hàm và đạo hàm có thể xét dấu được. Điều đó cũng tạo ra sự tin tưởng bền vững ở học sinh và giáo viên trong khi xét sự biến thiên của hàm số là cứ tính đạo hàm và xét dấu thì ta sẽ biết được tính đồng biến và nghịch biến của hàm số mà không có một chút nghi ngờ gì về hàm số mình đang xét có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng cần xét sự biến thiên hay không. Nếu gặp những trường