- Ứng xử của giáo viên và học sinh trước bài toán tìm tham số để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước.
- Ứng xử của giáo viên và học sinh trước những bài toán mà việc xét dấu biểu thức đạo hàm trở nên khó khăn.
- Phân tích những sai lầm của học sinh xoay quanh vấn đề xét tính đơn điệu của hàm số, cùng với việc đưa ra các giả thuyết nghiên cứu:
H1) Học sinh không nghi ngờ về tính hợp thức của những giá trị tham số tìm được, cụ thể là học sinh thường không thực hiện kiểm tra lại những tham số tìm được có làm cho hàm số đơn điệu hay không trên khoảng đã cho, đối với các bài toán tìm giá trị tham số để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước.
H2) Tôn trọng những qui tắc của hợp đồng, học sinh sử dụng những kiến thức đã học vào việc xét sự biến thiên của hàm số mà không nghi ngờ về tính liên tục của hàm số trên khoảng cần xét sự biến thiên.
3.1- Những qui tắc của hợp đồng trong quá trình dạy - học khảo sát sự biến thiên của hàm số
Xét các bài toán sau:
Bài toán 1: Tìm các giá trị của tham số a để hàm số 1 3 2
( ) 4 3
f x =3x +ax + x+ đồng biến trên R. (Bài tập số 5, [11, tr 8])
Lời giải tìm thấy ở học sinh:
Lời giải 1: Hàm số xác định trên R.
Ta có f’(x) = x2 + 2ax + 4.
Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi
f’(x) ≥ 0 ∀ ∈x R ⇔ ∆' = a2 - 4 ≤ 0⇔-2 ≤ a ≤ 2.
Vậy hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi -2 ≤ a ≤ 2.
Lời giải 2 (Lời giải mong đợi của thể chế dạy học):
f’(x) = x2 + 2ax + 4.
Nếu ∆ =' a2−4< 0 hay -2 < a < 2 thì f’(x) > 0 x∀ ∈R. Hàm số đồng biến trên R.
Nếu a = 2 thì f’(x) = (x+2)2 > 0 với mọi x≠ -2. Hàm số đồng biến trên R.
Tương tự khi a = -2 hàm số đồng biến trên R.
Nếu a < -2 hoặc a > 2 thì f’(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2. Giả sử x1< x2. Khi đó hàm số nghịch biến trên (x1, x2). Các giá trị của a không thỏa điều kiện bài toán.
Vậy hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi -2 ≤ a ≤ 2. [sách giáo viên M1, tr26].
- Nhận xét 2 lời giải trên, ta thấy cả 2 lời giải của những học sinh đều cho một kết luận đúng về giá trị của tham số a thỏa điều kiện của bài toán.
Nhưng tại sao lời giải 1 của học sinh không phải là lời giải mong đợi của thể chế dạy học, lời giải được tìm thấy trong các sách hướng dẫn giảng dạy, các sách bài tập cho học sinh.
- Nhận xét hai lời giải trên, ta thấy rằng định lí về điều kiện cần và đủ về sự biến thiên của hàm số nếu được sử dụng trong các bài toán tìm giá trị của tham số sao cho thoả mãn một điều kiện đồng biến (nghịch biến) trên K thì sự tiện ích của nó rất đáng ghi nhận và được phổ biến, đặc biệt là đối với hàm số dạng đa thức bậc 3, thường xuất hiện chủ yếu trong các bài tập của sách giáo khoa toán giải tích 12 hiện hành.
Định lí:
Trên khoảng K, hàm số y = f(x) có đạo hàm và phương trình f’(x) = 0 có hữu hạn nghiệm thì
+ f(x) đồng biến khi và chỉ khi f’(x) ≥ 0.
+ f(x) nghịch biến khi và chỉ khi f’(x) ≤ 0. [sách giáo viên 4, tr15].
- Trong trường hợp này, kết luận của lời giải 1 vẫn cho đúng giá trị của tham số thỏa yêu cầu bài toán, do hàm số thỏa các tiêu chuẩn điều kiện cần và đủ của định
lí: hàm số có đạo hàm xác định trên khoảng cần xét sự biến thiên và phương trình f’(x) = 0 có hữu hạn nghiệm. Tuy nhiên, cách giải trong lời giải 1 không chính xác.
- Trong lời giải 1, học sinh nên bổ sung thêm cho lời giải đầy đủ “Hàm số có đạo hàm xác định trên R và phương trình f’(x) = 0 có hữu hạn nghiệm (không quá 2 nghiệm)”
- Lợi ích của định lí về điều kiện cần và đủ tính đơn điệu của hàm số ta không thể phủ nhận, trong một số trường hợp của bài toán, như các hàm số đa thức bậc 3 thì cho ta một lời giải thật ngắn gọn.
Tuy vậy lời giải số 2 vẫn rất phổ biến trong các sách bài tập cho học sinh và sách hướng dẫn giảng dạy dành cho giáo viên.
Câu hỏi đặt ra là “Tại sao phải thực hiện như lời giải mong đợi rất dài và phức tạp?”
Lí do nào họ chọn lời giải 2 mà không phải lời giải 1, những qui tắc hợp đồng dạy học nào tồn tại ngầm ẩn giữa thể chế dạy học với giáo viên và học sinh.
Một số lí do có thể đưa ra giải thích:
Sự tồn tại của lời giải 2 và sự không xuất hiện của lời giải 1 trong các sách bài tập và sách hướng dẫn giảng dạy, theo chúng tôi có thể là:
+ Tri thức được ưu tiên đưa vào giảng dạy là điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên K, mà không phải là một điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu trên khoảng K.
+ Đối với những hàm số không có đạo hàm tại một số điểm trên khoảng đó hoặc những hàm số có đạo hàm bằng 0 tại vô hạn điểm thì điều kiện cần và đủ về tính đơn điệu của hàm số không còn phù hợp.
Ví dụ 1: hàm số 2 ; x 0 ; x < 0 x
y x
= ≥
Hàm số này liên tục trên R, và trên mỗi khoảng xác định hàm số có đạo hàm y’≥ 0 nhưng hàm số không có đạo hàm tại x = 0.
Nhưng hàm số vẫn đồng biến trên R.
Ngược lại hàm số đồng biến trên R nhưng ta không thể suy ra hàm số có đạo hàm xác định dấu y’ ≥ 0 với mọi x thuộc R., vì tại x = 0 hàm số không có đạo hàm.
Từ ví dụ 2 ta có một lưu ý: Một hàm số có thể đơn điệu trên khoảng K nào đó, mà hàm số không nhất thiết phải có đạo hàm tại tất cả các điểm thuộc khoảng K, có thể tại một số điểm thuộc khoảng đó hàm số không có đạo hàm.
+ Định lí về điều kiện cần và đủ ở thể chế dạy học phổ thông chỉ áp dụng cho các hàm số có đạo hàm trên khoảng và phương trình f’(x) = 0 có hữu hạn nghiệm. Đối với những hàm số lượng giác thì phương trình f’(x) = 0 có thể có vô số nghiệm vậy thì nó không điều kiện để áp dụng định lí trên.
Qua một số bài toán tìm tham số mà chúng tôi tìm thấy trong các sách giáo khoa và lời giải hướng dẫn của sách giảng dạy, sách bài tập, chúng tôi rút ra qui ước ngầm ẩn giữa thể chế dạy học với giáo viên và học sinh khi thực hiện giải các bài toán tìm tham số để hàm số đồng biến (nghịch biến).
R1: Không sử dụng định lí điều kiện cần và đủ trong bài toán tìm tham số, chỉ sử dụng định lí điều kiện đủ về tính đơn điệu của hàm số.
Xuất phát từ các bài toán “Tìm tham số để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên R, trong sách giáo khoa toán giải tích 12”, mà bài toán tiêu biểu được chúng tôi chọn làm bài toán nghiên cứu số 1, những hàm số trong các bài toán này thường có đặc điểm là những hàm đa thức, xác định bởi một công thức, liên tục trên R.
- Qua việc phân tích các bài toán trong các sách giáo khoa và các lời giải xuất hiện trong sách bài tập, sách hướng dẫn giảng dạy dành cho giáo viên, chúng tôi đi đến lựa chọn bài toán 2 như là một bài toán phá vỡ hợp đồng, bài toán có kiểu nhiệm vụ rất quen thuộc : “tìm tham số để hàm số đồng biến trên R”, nhưng tính chất của hàm số được cho rất khác nhau: là hàm số cho bởi 2 biểu thức, xác định trên R, tính liên tục của hàm số trên R còn phụ thuộc vào tham số cần tìm.
Bài toán 2:
Tìm tham số a để hàm số đồng biến trên R.
2 ; x 0 ax + a - 2 ; x < 0
y x ≥
= .
Mục đích của bài toán này nhằm xem xét ứng xử của học sinh và giáo viên đối với các bài toán tìm tham số để hàm số đơn điệu trên khoảng.
Quan sát lời giải đặc trưng ở học sinh:
2 ; x 0 ax + a - 2 ; x < 0
y x ≥
=
2x ; x 0 ' a ; x < 0
y ≥
= .
Hàm số đồng biến trên R cần có: a ≥ 0.
Kết luận: với a ≥ 0, hàm số đồng biến trên R.
Học sinh không kiểm tra lại những giá trị tham số tìm được có làm cho hàm số đồng biến trên R hay không .
Chẳng hạn: a = 3, hàm số trở thành: x ; x2 0 3x+1 ; x < 0
y ≥
= .
Với x1 = -1/4 < x2 = 0, thì f(-1/4) = 1/4 > f(0) =0.
Hàm số không tăng.
Với x1 = -1< x2 = 1 thì f(-1) = -2 < f(1) =1.
Hàm số không giảm.
Khi a = 3, hàm số không tăng, không giảm trên R.
Như vậy với các giá trị a ≥ 0 tìm được, hàm số không đồng biến trên R.
- Trong lời giải của bài toán này, học sinh thường chủ yếu quan tâm đến dấu của biểu thức đạo hàm trên khoảng, mà không kết hợp tính liên tục của hàm số trên khoảng đó. Khi ra một kết quả về giá trị tham số tìm được, học sinh cũng không nghi ngờ hay kiểm tra lại những tham số tìm được có làm cho hàm số đơn điệu trên khoảng đã cho.
- Để kiểm tra lại tham số có thỏa điều kiện đồng biến trên R ta có thể thực hiện:
+ Kiểm tra điều kiện liên tục của hàm số trên R và dấu của biểu thức đạo hàm trên R.
+ Dùng định nghĩa hàm số đơn điệu chứng minh rằng với giá trị tham số tìm được, hàm số đồng biến trên R.
Lời giải mong đợi:
Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi nó liên tục trên R và y’≥ 0 với x∈R.
Khi đó ta có :
0 0
lim ( ) lim ( ) 2 0
0
x x
f x f x a
a
+ −
→ →
= = − =
≥ ⇒ =a 2.
Với a = 2 hàm số đồng biến trên R.
Thật vậy:
Khi a = 2 hàm số thành: 2 ; x 0 2x ; x < 0
y x ≥
=
Với x1, x2 ∈R , x1 < x2 xét các trường hợp:
+ x1, x2 ∈(-∞; 0) hoặc [0; +∞) thì f(x1) < f(x2).
+ x1< 0 ≤ x2 thì f(x1) - f(x2) = 2x1 – (x2)2 < 0 suy ra f(x1) < f(x2).
+ x1 ≤ 0 < x2 thì f(x1) - f(x2) = 2x1 – (x2)2 < 0 suy ra f(x1) < f(x2).
Vậy hàm số đồng biến trên R.
- Lưu ý rằng, ở đây chúng tôi chỉ đề cập đến những hàm số liên tục trên khoảng cần xét sự biến thiên, trong các thể chế dạy học ở bậc đại học và trung học khi nói đến sự đơn điệu của hàm số trên một khoảng thì hàm số đó phải liên tục trên khoảng đó.
- Trong bài toán này, nếu chỉ quan tâm đến dấu của đạo hàm và sự tồn tại của đạo hàm tại điểm x = 0 thì chưa thể đi đến câu trả lời chính xác, vì hàm số này không có đạo hàm tại điểm x = 0.
Do đó để có một câu trả lời đúng sự mong đợi của thể chế dạy học, thì cần phải kết hợp 2 điều kiện tính liên tục và khả vi của hàm số, mà thông thường người ta chỉ chú trọng đến việc xét dấu của biểu thức đạo hàm.
Như vậy điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu trên khoảng K, ngoài việc chú ý đến dấu của đạo hàm trên khoảng đó thì cần kiểm tra tính liên tục của hàm số trên khoảng K, tính liên tục của hàm số trên khoảng xét sự biến thiên cũng là một yếu tố quan trọng khi xét đến sự đơn điệu của hàm số.
Có thể lưu ý rằng có những hàm số liên tục trên khoảng (a, b) và có đạo hàm y’≥
0 (y’≤ 0) trên (a, b), (nhưng không nhất thiết là tại tất cả các điểm thuộc khoảng (a,b) hàm số có đạo hàm, có thể tại một số điểm thuộc khoảng (a,b) hàm số không có đạo hàm) thì nó vẫn có thể đơn điệu trên khoảng (a,b).
Những yếu tố đặc trưng được thể hiện trong thể chế dạy học phổ thông đối với các bài toán tìm tham số sao cho hàm số đơn điệu trên khoảng.
Sử dụng điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên khoảng.
Không nói đến điều kiện liên tục của hàm số trên khoảng cần xét sự biến thiên khi tìm tham số để hàm số đơn điệu trên khoảng đó.
Dấu của đạo hàm có ảnh hưởng lớn và quyết định sự thành bại trong việc tìm giá trị của tham số để hàm số đơn điệu trên khoảng.
Đối với các hàm số thuộc phạm vi dạy- học, việc không kiểm tra lại những giá trị tham số tìm được thoả mãn sự đơn điệu của hàm số trên khoảng đã cho, cũng không làm ảnh hưởng đến kết luận về tính đơn điệu của hàm số.
Từ những phân tích đặc trưng đối với các bài toán tìm tham số để hàm số đơn điệu trên khoảng K, chúng tôi đã đưa ra giả thuyết nghiên cứu thứ nhất.
Giả thuyết H1 “Học sinh áp dụng qui tắc xét sự biến thiên của hàm số được học để giải bài toán này, không nghi ngờ về tính hợp thức của những giá trị tham số vừa tìm được, cụ thể là học sinh đã không kiểm tra lại những tham số vừa tìm được có làm cho hàm số đơn điệu trên khoảng đã cho”.
Từ phân tích các lời giải trong các bài toán tìm tham số để hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước, chúng tôi rút ra những quy tắc hợp đồng được hình thành trong quá trình dạy học tính đơn điệu của hàm số.
Về phía giáo viên.
PR1. Có trách nhiệm cho khảo sát sự biến thiên của hàm số có đạo hàm cấp 1 có thể xét dấu trực tiếp được.
PR2. Các hàm số cần khảo sát sự biến thiên là những hàm số có đạo hàm và phương trình f’(x) = 0 có hữu hạn nghiệm.
PR3. Những hàm số đã cho là những hàm số liên tục trên các khoảng, các đoạn, nửa khoảng cần xét sự biến thiên. Giáo viên không có trách nhiệm phải kiểm tra tính liên tục của hàm số trên khoảng đó.
PR4. Những hàm số khảo sát sự biến thiên thường là những hàm số sơ cấp xác định bởi một công thức, không có trách nhiệm cho học sinh xét sự biến thiên của hàm số cho từ 2 công thức trở lên.
PR5. Giáo viên có trách nhiệm cho các bài toán xét sự biến thiên của hàm số trên các khoảng mà hàm số xác định, mà không có trách nhiệm xét sự biến thiên của hàm trên miền xác định của hàm số.
Về phía học sinh.
PR1. Học sinh có trách nhiệm xét sự biến thiên của những hàm số có đạo hàm cấp một có thể xét dấu trực tiếp.
PR2. Học sinh có trách nhiệm tìm hết tất cả các nghiệm của phương trình f’(x) =0.
Nếu không thể tìm được tất cả các nghiệm của phương trình f’(x) = 0 thì nghi ngờ khả năng hạn chế của mình trong việc tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình, hoặc cho là không thể suy ra sự biến thiên của những hàm số trên khoảng nào đó.
PR3. Học sinh không có trách nhiệm kiểm tra tính liên tục của hàm số trên khoảng, đoạn, nửa khoảng cần xét sự biến thiên.
PR4. Học sinh không có trách nhiệm khảo sát sự biến thiên của những hàm số xác định bởi nhiều công thức và thực hiện nó như là khảo sát sự biến thiên của nhiều hàm số.
PR5. Học sinh chỉ có trách nhiệm khảo sát sự biến thiên của hàm số trên các
khoảng mà hàm số xác định chứ không có trách nhiệm xét sự biến thiên của hàm số trên miền xác định.
Những nhận xét từ sự phân tích các qui tắc hợp đồng dạy học.
Đạo hàm được xem như là công cụ duy nhất để khảo sát sự biến thiên của hàm số.
Tính liên tục của hàm số trên các khoảng cần khảo sát sự biến thiên không được đề cập trong các lời giải bài toán, nếu có đề cập thì những hàm số xét sự biến thiên vốn là những hàm liên tục trên các tập xác định của chúng, vì thế học sinh không thấy được sự cần thiết của tính liên tục của hàm số trên các khoảng cần xét sự biến thiên để đảm bảo đầy đủ những điều kiện để hàm số đơn điệu trên K.
Học sinh bỡ ngỡ khi đứng trước các bài toán khảo sát sự biến thiên của hàm số xác định bởi 2 công thức trở lên. Họ thực hiện xét sự biến thiên của hàm số này như là xét sự biến thiên của từng hàm số trên các khoảng.
Học sinh thường khảo sát sự biến thiên của hàm số trên các khoảng mà hàm số xác định.
Khó nhận thấy được sự khác nhau giữa hàm số đơn điệu trên các khoảng xác định với hàm số đơn điệu trên tập xác định.
3.2- Những sai lầm của học sinh trong việc xét tính đơn điệu của hàm số Từ những qui tắc ngầm ẩn hình thành giữa học sinh và giáo viên đối với tri thức này, liệu học sinh có mắc những sai lầm nào trong xét tính đơn điệu của hàm số?
Bài toán 1: Xét sự biến thiên của hàm số:y= 1−x2 . Hàm số xác định trên [-1, 1] và liên tục trên đó.
' 2
1 y x
x
= −
− ; y’ = 0 ⇔x = 0 Bảng biến thiên
x -1 0 1 y’ || + 0 - ||
y 1 0 0
Kết luận đúng là hàm số đồng biến trên đoạn [-1, 0] và nghịch biến trên đoạn [0,1].
Sai lầm: câu trả lời nhận được cho lời giải bài toán này là: hàm số đồng biến trên khoảng (-1, 0) và nghịch biến trên khoảng (0, 1).
Để giải thích câu trả lời này, đứng dưới góc độ phân tích sai lầm, học sinh đã sử dụng qui tắc hành động sau:
Qui tắc hành động: “Hàm số y = f(x) xác định trên [a, b] , chỉ đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng (a, b) mà không đồng biến, hoặc nghịch biến trên đoạn [a, b] nếu y’ ≥ 0 (y’ ≤ 0) với mọi x thuộc khoảng (a, b) và tại các điểm đầu mút của đoạn này hàm số không có đạo hàm.”