𝐻�𝛹𝑒𝑥(−) =𝐸𝛹𝑒𝑥(−) , trong đó
𝐻� =� 1
2𝑚𝑖�𝑝⃗𝑖−𝑒
𝑐𝐴⃗𝑖�2+� 𝑒2 𝜀�𝑟⃗𝑖− 𝑟⃗𝑗�
𝑖<𝑗 3
𝑖=1
,
𝐴⃗𝑖 =12�𝐵�⃗,𝑟⃗𝑖�: thế vector,
𝑚𝑖 và e : khối lượng hiệu dụng và điện tích của hạt thứ i, 𝜀 : hằng số điện môi.
Sử dụng gần đúng Born-Oppenheimer, ta giả thiết các lõi nguyên tử đứng yên đối với các nút mạng nên trên biểu thức Hamiltonian ta có thể bỏ qua số hạng động năng của lỗ trống. Ngoài ra thay vì xét tất cả tương tác của electron, lỗ trống, hạt nhân với nhau, ta có thể xét gần đúng, xem thế tương tác của một electron với các electron, lỗ trống, và hạt nhân gần đúng là tương tác chỉ của electron đó với một lỗ trống mang điện tích hiệu dụng 𝑍∗𝑒. Với cách xét như vậy, Hamiltonian được viết lại thành
𝐻� = 1
2𝑚1�𝑝⃗1−𝑒
𝑐𝐴⃗1�2+ 1
2𝑚2�𝑝⃗2−𝑒
𝑐𝐴⃗2�2+ 𝑒2
𝜀|𝑟1− 𝑟2|−𝑍∗𝑒2
𝜀𝑟1 −𝑍∗𝑒2 𝜀𝑟2 . Thực hiện các bước tương tự như phụ lục A.1, ta có
𝐻� =− ℏ2
2𝑚𝑒∗𝛻12− ℏ2
2𝑚𝑒∗𝛻22− 𝑒𝐵
2𝑚𝑒∗𝑐𝐿�𝑧1− 𝑒𝐵
2𝑚𝑒∗𝑐𝐿�𝑧2+ 𝑒2
𝜀|𝑟1− 𝑟2|−𝑍∗𝑒2
𝜀𝑟1 −𝑍∗𝑒2 𝜀𝑟2 . Viết Hamiltonian về dạng không thứ nguyên với bán kính đơn vị là bán kính Bohr hiệu dụng ro, năng lượng đơn vị là hằng số Rydberg hiệu dụng Ry và độ mạnh của từ trường so với trường Coulomb 𝛾:
𝑟𝑜 = 𝜀ℏ2
𝑚𝑒∗𝑒2 , 𝑅𝑦 = 𝑚𝑒∗𝑒4
2𝜀2ℏ2, 𝛾 = 𝜀2ℏ3𝐵 𝑐𝑒3𝑚𝑒∗2.
⟹ 𝐻� =−∇12
2 −∇22
2 −𝛾
2�𝐿�𝑧1+𝐿�𝑧2�+ 1
|𝑟1− 𝑟2|−𝑍∗ 𝑟1 −𝑍∗
𝑟2.
Lời giải cho bài toán exciton âm cũng được giải trong nhiều công trình với nhiều phương pháp khác nhau. Đơn cử trong luận văn này là kết quả từ việc sử dụng Phương pháp biến phân được C. Riva et al [12] sử dụng cho trường hợp exciton bị giam trong giếng lượng tử GaAs/AlxGa1-xAs với thế năng của các hạt giam trong giếng được cho bởi (3.1) và (3.2) như trên.
Ngoài ra phương pháp toán tử cũng đang được nhóm các nhà khoa học Khoa Vật lý – Trường Đại học Sư phạm TP.HCM đưa vào nghiên cứu để tìm nghiệm bằng số cho bài toán này.
Trong giới hạn luận văn, tác giả xin nêu ra một số kết luận thu được từ việc giải phương trình này. Kết luận này được rút ra trong hầu hết các công trình nghiên cứu exciton trong từ trường cả bằng lý thuyết lẫn thực nghiệm [10], [11], [18], [19], [21], [22]:
• Các mức năng lượng vả năng lượng liên kết của exciton âm phụ thuộc vào bề rộng giếng theo chiều bị giam nhốt. Bề rộng càng hẹp thì năng lượng liên kết của hệ hạt này càng lớn [10], [11].
• Các mức năng lượng và năng lượng liên kết của exciton cũng phụ thuộc vào cường độ từ trường áp đặt cho hệ. Ngoài ra, khi so sánh giữa exciton âm và exciton dương, người ta nhận thấy năng lượng liên kết của exciton dương khi đặt trong từ trường hầu như không đổi, trong khi năng lượng liên kết của exciton âm khi có từ trường thay đổi rất mạnh, ví dụ trong thực nghiệm đã đo được năng lượng liên kết exciton âm tăng hơn 60% tại từ trường B = 7T so với lúc chưa có từ trường. Đó cũng có thể là lý do exciton âm thu hút nhiều sự quan tâm hơn exciton dương [19], [21, [22].
• Ngoài ra việc nghiên cứu phổ photoluminescence (PL) của exciton âm trong từ trường hỗ trợ rất nhiều trong việc nghiên cứu tính chất của vật liệu hệ thấp chiều [18].
K ẾT LUẬN
Luận văn đã đạt được các kết quả thỏa mục tiêu đề ra, cụ thể là:
• Tìm hiểu được cơ sở lý thuyết và nguyên nhân hình thành exciton.
• Giải thích được bản chất exciton là trạng thái liên kết của electron và lỗ trống.
• Xác định được điều kiện hình thành exciton và hệ vật lý làm xuất hiện exciton.
• Trình bày được các đặc điểm của exciton: lịch sử, phân loại, định nghĩa, tính chất cũng như xây dựng được Hamiltonian cho các loại exciton trong hai trường hợp không có và có từ trường đều, đưa về phương trình không thứ nguyên.
• Nắm được tình hình giải các bài toán exciton bằng một số phương pháp.
Hướng phát triển đề tài: Tiếp tục tìm hiểu sâu và chi tiết để hoàn chỉnh bức tranh về exciton: bổ sung thêm các hiệu ứng thực nghiệm. Tìm hiểu phương pháp toán tử để có lời giải chính xác cho bài toán exciton âm.
Tài li ệu tham khảo
TIẾNG VIỆT
[1] Charles Kittel, (Đặng Mộng Lân, Trần Hữu Phát dịch) (1984), “Mở đầu vật lý chất rắn”, NXB Khoa học và Kỹ thuật.
[2] Nguyễn Thế Khôi, Nguyễn Hữu Mình (1992), “Vật lý chất rắn”, NXB Giáo dục.
[3] Hoàng Dũng (1999), “Nhập môn cơ học lượng tử - Tập 1”, Nhà xuất bản Giáo dục.
[4] Hoàng Đỗ Ngọc Trầm (2008), “Phương pháp toán tử giải phương trình Schrửdinger cho exciton hai chiều trong từ trường đều với cường độ bất kỳ ”, Luận văn Thạc sỹ, Khoa Vật lý - Trường Đại học KHTN Tp. Hồ Chí Minh.
[5] Lê Văn Hoàng (2005), “Phổ năng lượng trạng thái exciton của khí điện tử hai chiều tạo ra do hệ nhiều lớp GaAs/GaAsAl trong từ trường đều”, Đề tài KHCN cấp bộ B2005.23.72.
[6] Phan Thị Cẩm Nhung (2006), “Bài toán exciton hai chiều trong bán dẫn nhiều lớp GaAs/AlGaAs đặt trong từ trường”, Luận văn tốt nghiệp, Trường Đại học Sư phạm TP.HCM.
[7] Trương Mạnh Tuấn (2010), “Phương pháp toán tử cho bài toán exciton hai chiều”, Luận văn tốt nghiệp, Khoa Vật lý - Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh.
TIẾNG ANH
[8] A.J. Shields, J.L. Osborne, D.M. Whittaker, M.Y. Simmons, M. Pepper and D.A. Ritchie (1997), “Negatively charged excitons in coupled double quantum wells”, Phys. Rev. B 55, 1318.
[9] Charles Kittel (1996), “Introduction to Solid State Physics - 7th edition”, Replika Press Pvt. Ltd. Kundli 131 028.
[10] C.Riva, F.M.Peeters, K.Varga (2000), “Ground state of excitons and charged excitons in in quantum well”, arXiv:cond-mat/0003015v1 [cond-mat.str-el]
[11] C.Riva, F.M.Peeters, K.Varga (2000), “Excitons and charged excitons in semiconductor quantumwells”, arXiv:cond-mat/0010450v1 [cond-mat.str-el].
[12] C.Riva, F.M.Peeters, K.Varga (2001), “Magnetic field dependence of the energy of negatively charged excitons in semiconductor quantumwells”, Phys.
Rev. B 63, 115302.
[13] C.Riva, F.M.Peeters, K.Varga (2001), “Positively charged magneto – excitons in a semiconductor quantumwells”, arXiv:cond-mat/0105192v1 [cond- mat.str-el].
[14] F. M. Peeters, C. Riva, K. Varga (2001), “Trions in quantum wells”, Physica B 300, 139.
[15] G. Finkelstein, H. Shtrikman, and I. Bar-Joseph (1996), “Negatively and positively charged excitons in GaAl/AlxGa1-xAs quantum wells”, Phys. Rev. B 53, 1709.
[16] Izabela Szlufaska, Arkadiusz Wójs, John J. Quinn (2000), “Negatively charged excitons and photoluminescence in asymmetric quantum wells”, arXiv:cond-mat/0009251v1 [cond-mat.mes-hall].
[17] John H. Davies (1998), “The physics of low – dimensional semiconductors”, Cambridge University press.
[18] M. Hayne, C. L. Jones, R. Bogaerts, C. Riva, A. Usher, F. M. Peeters, F.
Herlach, V. V. Moshchalkov, and M. Henini (1999), “Photoluminescence of negatively charged excitons in high magnetic fields”, Phys. Rev. B 59, 2927.
[19] Shmuel Glasberg, Gleb Finkelstein, Hadas Shtrikman, and Israel Bar-Joseph (1999), “Comparative study of the negatively and positively charged excitons in GaAs quantum wells”, Phys. Rev. B 59, (16).
[20] Sylvain Charbonneau, Sylvain Charbonneau (1988), “Transient photoluminescence spectroscopy of GaAs, ZnSe and GaAs/AlGaAs quantum wells”, University of Ottawa.
[21] T. Vanhoucke, M. Hayne, V. V. Moshchlkov, M. Henini (2000), “Energy levels of negatively charged excitons in high magnetic fields”, Solid State Com.
115, 403.
[22] Victor M. Villalba, Ramiro Pino (2002), “Energy spectrum of a two – dimensional screened donor in a constant magnetic field of arbitrary strength”, Physica B 315, 289.
[23] Yu.E.Lozovik, I.L.Kurbakov, I.V.Ovchinnikov (2003), “Nonlinear optical phenomena in coherent phase of 2D exciton system”, Solid State Com. 126, 269.
[24] Yu.A.Ossipyan, Chernogolovka, Russia (2001). “Physics of low – dimensional structures” , Phys. Low-Dim. Struct. 11.
[25] Zheyuan Chen (2011), “Interaction between 0-Dimensional and 2- Dimensional Materials”, Columbia University.
PH Ụ LỤC
A1. Phụ lục: Phương trỡnh Schrửdinger khụng thứ nguyờn cho exciton trung hòa trong từ trường
Ta có:
𝐻�𝛹𝑒𝑥 =𝐸𝛹𝑒𝑥 , trong đó:
𝐻� = 1
2𝑚𝑒∗�−𝑖ℏ∇𝑒 +𝑒
𝑐𝐴⃗𝑒�2+ 1
2𝑚ℎ∗�−𝑖ℏ∇ℎ −𝑒
𝑐𝐴⃗ℎ�2− 𝑒2 𝜀|𝑟𝑒 − 𝑟ℎ| ,
𝐴⃗𝑖 =12�𝐵�⃗,𝑟⃗𝑖�: thế vector, xét trường hợp 𝐵�⃗ = (0,0,𝐵), 𝑉(𝑟⃗) : thế tương tác Coulomb của electron và lỗ trống,
𝑚𝑖∗ và e : khối lượng hiệu dụng và điện tích của hạt thứ i (gồm electron và lỗ trống),
𝜀 : hằng số điện môi.
Ta có 𝐴⃗=1
2�𝐵�⃗,𝑟⃗�=1
2𝐵(−𝑦,𝑥, 0) ⟹ 𝐴⃗2 =𝐵2
4 (𝑥2+𝑦2) =𝐵2 4 𝑟2, 𝐴𝑒 =1
2𝐵(𝑟𝑒 − 𝑟ℎ); 𝐴ℎ =−1
2𝐵(𝑟𝑒 − 𝑟ℎ).
Ta tính
�−𝑖ℏ𝛻𝑒 +𝑒
𝑐𝐴⃗𝑒�2 =�−𝑖ℏ𝛻𝑒 +𝑒
𝑐𝐴⃗𝑒� �−𝑖ℏ𝛻𝑒 +𝑒 𝑐𝐴⃗𝑒�,
=−ℏ2𝛻𝑒2− 𝑖ℏ𝑒𝑐�𝛻𝑒𝐴⃗𝑒 +𝐴⃗𝑒𝛻𝑒�+𝑒𝑐22�𝐴⃗𝑒�2.
Xét
𝛻𝑒𝐴⃗𝑒 = 𝜕
𝜕𝑥𝐴𝑥+ 𝜕
𝜕𝑦𝐴𝑦+ 𝜕
𝜕𝑧𝐴𝑧 =𝑑𝑖𝑣𝐴⃗,
𝐴⃗𝑒𝛻𝑒 =𝐴𝑥 𝜕
𝜕𝑥+𝐴𝑦 𝜕
𝜕𝑦+𝐴𝑧 𝜕
𝜕𝑧 ,
⟹ −𝑖ℏ𝑒
𝑐�𝛻𝑒𝐴⃗𝑒 +𝐴⃗𝑒𝛻𝑒�=−𝑖ℏ𝑒
𝑐�𝑑𝑖𝑣𝐴⃗+𝐴⃗𝑒𝛻𝑒�.
Thế vector 𝐴⃗𝑒 có thể chọn tùy ý nên ta chọn 𝐴⃗𝑒 sao cho 𝑑𝑖𝑣𝐴⃗𝑒 = 0, suy ra
⟹ �−𝑖ℏ𝛻𝑒 +𝑒
𝑐𝐴⃗𝑒�2 =−ℏ2𝛻𝑒2− 𝑖ℏ𝑒
𝑐𝐴⃗𝑒𝛻𝑒 +𝑒2
𝑐2�𝐴⃗𝑒�2,
⟹ 1
2𝑚𝑒∗�−𝑖ℏ𝛻𝑒 +𝑒
𝑐𝐴⃗𝑒�2 =− ℏ2
2𝑚𝑒∗𝛻𝑒2− 𝑖ℏ𝑒
2𝑚𝑒∗𝑐𝐴⃗𝑒𝛻𝑒 + 𝑒2
2𝑚𝑒∗𝑐2�𝐴⃗𝑒�2.
Xét
− 𝑖ℏ𝑒
2𝑚𝑒∗𝑐𝐴⃗𝑒𝛻𝑒 =−𝑖ℏ𝑒𝐵
2𝑚𝑒∗𝑐�𝐴𝑥 𝜕
𝜕𝑥+𝐴𝑦 𝜕
𝜕𝑦+𝐴𝑧 𝜕
𝜕𝑧�,
=− 𝑖ℏ𝑒𝐵
2𝑚𝑒∗𝑐�−𝑦 𝜕
𝜕𝑥+𝑥 𝜕
𝜕𝑦�,
=− 𝑒𝐵 2𝑚𝑒∗𝑐𝐿�𝑧 .
Thực hiện các bước tương tự cho lỗ trống, rồi thế tất cả vào biểu thức Hamiltonian, ta được
𝐻� =− ℏ2
2𝑚𝑒∗𝛻𝑒2− 𝑒𝐵
2𝑚𝑒∗𝑐𝐿�𝑧+ 𝑒2
2𝑚𝑒∗𝑐2�𝐴⃗𝑒�2− ℏ2
2𝑚ℎ∗𝛻ℎ2− 𝑒𝐵
2𝑚ℎ∗𝑐𝐿�𝑧+ 𝑒2
2𝑚ℎ∗𝑐2�𝐴⃗ℎ�2
− 𝑒2 𝜀|𝑟𝑒 − 𝑟ℎ| ,
=− ℏ2
2𝑚𝑒∗𝛻𝑒2− ℏ2
2𝑚ℎ∗ 𝛻ℎ2 −𝑒𝐵
2𝑐𝐿�𝑧� 1 𝑚𝑒∗ + 1
𝑚ℎ∗�+ 𝑒2
2𝑚𝑒∗𝑐2�𝐴⃗𝑒�2+ 𝑒2
2𝑚ℎ∗𝑐2�𝐴⃗ℎ�2
− 𝑒2 𝜀|𝑟𝑒 − 𝑟ℎ|.
Nhận xét: số hạng 𝑒𝑐22 có bậc quá nhỏ, do đó ta có thể bỏ qua 2𝑚𝑒2
𝑖∗𝑐2�𝐴⃗𝑖�2,
⟹ 𝐻� =− ℏ2
2𝑚𝑒∗𝛻𝑒2− ℏ2
2𝑚ℎ∗𝛻ℎ2−𝑒𝐵
2𝑐𝐿�𝑧� 1 𝑚𝑒∗+ 1
𝑚ℎ∗� − 𝑒2 𝜀|𝑟𝑒 − 𝑟ℎ|.
Thực hiện các bước đổi hệ tọa độ như ở trường hợp không có từ trường: ta chuyển từ hệ tọa độ hai biến (𝑟𝑒,𝑟ℎ) về hệ tọa độ với hai biến mới (𝑟,𝑅) với
𝑟 =𝑟𝑒 − 𝑟ℎ , 𝑅 =𝑚𝑒∗𝑟𝑒+𝑚ℎ∗𝑟ℎ
𝑀 ,
𝑀 =𝑚𝑒∗+𝑚ℎ∗ , 𝜇 = 𝑚𝑒∗𝑚ℎ∗
𝑚𝑒∗+𝑚ℎ∗ ,
⟹ 𝐻� =− ℏ2
2𝑀𝛻𝑅2 −ℏ2
2𝜇𝛻𝑟2 −𝑒2
𝜀𝑟−𝑒𝐵𝐿�𝑧 2𝜇𝑐 .
Ta thấy Hamiltonian trên là hàm tách biến, thành phần chứa R khá đơn giản và đã có nghiệm tường minh, ta xét thành phần chứa r:
Viết về dạng không thứ nguyên với bán kính đơn vị là Bán kính Bohr hiệu dụng ro, năng lượng đơn vị là Hằng số Rydberg hiệu dụng Ry và độ mạnh của từ trường so với trường Coulomb 𝛾 cho thành phần:
𝑟𝑜 = 𝜀ℏ2
𝜇𝑒2 , 𝑅𝑦 = 𝜇𝑒4
2𝜀2ℏ2, 𝛾 =𝜀2ℏ3𝐵 𝑐𝑒3𝜇2