1. Cho M là một đa tạp phức. Một tập con A⊂M được là tập con giải tích của M nếu A là tập đóng và nếu với mọi z∈A, tồn tại một lân cận U của z và các hàm chỉnh hình
1,..., n ( )
g g ∈O U sao cho
A∩ =U {z∈U g z: 1( )=0,...,g zn( )=0}
Khi đó g1,...,gn được gọi là hệ phương trình của A trong U . Giao hoặc hợp hữu hạn của các tập giải tích là một tập giải tích
2. Một mầm tập tại một điểm x∈M là một lớp tương đương các phần tử của P M( ),
với A B nếu có một lân cận mở V của x sao choA∩ = ∩V B V . Mầm của tập con A tại x được ký hiệu là ( , )A x
Một mầm ( , )A x được gọi là bất khả quynếu không thể phân tích được
1 2
( , )A x =(A x, )∪(A x, )
với các tập giải tích ( , ) ( , ) A xj ≠ A x j =1, 2
3. Mọi mầm giải tích ( , )A x đều có một phân tích hữu hạn ( , ) 1 ( k, )
A x Uk N A x
= ≤ ≤
ở đây mầm ( , )A xj là bất khả quy và ( , ) ( , )A xj ⊄ A xk với j ≠k và sự phân tích này là duy nhất chỉ sai khác thứ tự.
4. Cho A⊂M là một tập giải tích và x∈A. Ta nói x∈A là điểm chính quy của A nếu A∩ Ω là một -đa tạp con giải tích của Ω với một lân cận Ω nào đó của x. Ngược lại ta nói điểm đó là kỳ dị.
Tập các điểm chính quy của A là Areg, tập các điểm kỳ dị là Asing. Từ định nghĩa Areg là tập con mở của A, các thành phần liên thông của Areg là các -đa tạp con giải tích của M . Asing là tập con giải tích của A.
5. Chiều của một mầm tập giải tích bất khả quy ( , )A x được định nghĩa là dim( , )A x =dim(Areg, )x . Nếu ( , )A x có nhiều thành phần liên thông ( , )A x ta đặt
{ }
dim( , )A x =max dim(A x, ) , cod im( , )A x = −n dim( , )A x
6. Một không gian tôpô cùng với một bó vành trên X được gọi là không gian vành.
Không gian phức là một không gian vành Hausdorff mà về địa phương ( như là một - vành ) được xem là tập không điểm của hữu hạn hàm chỉnh hình trong miền nào đó của không gian các số phức n
Theo định nghĩa không gian phức đẳng cấu địa phương với một tập giải tích. Do đó các khái niệm về hàm chỉnh hình trên X , về tập con giải tích đều có nghĩa. Xsing là tập con giải tích của A. Ngoài ra, ta có
a) Với mọi không gian phức X , tập Xreg là một tập con mở trù mật của X và bao gồm một hợp rời nhau các các đa tạp phức liên thông 'X α. Gọi Xα là bao đóng của 'X α trong X . Khi đó ( )Xα là một họ hữu hạn địa phương các tập con giải tích của X và
X =Xα . Các tập Xα được gọi là các thành phần liên thông bất khả quy toàn cục của X .
b) Với mọi họ ( )Aλ các tập con giải tích trong không gian phức giao Aλ là một tập con giải tích của X .
7. Cho X là một không gian phức có chiều p và A là một tập con giải tích của X có đối chiều codimX A≥2. Khi đó mọi hàm f ∈O X( \ )A bị chặn địa phương gần A.
8. Cho X là một không gian phức bất khả quy và f ∈O X( ),f ≡0. Khi đó f −1(0) hoặc là
∅ hoặc là có chiều bằng dimX −1.
9. Nếu f1,..., fp là các hàm chỉnh hình trên một không gian phức bất khả quy thì mọi thành phần liên thông bất khả quy của f1−1(0)∩...fp−1(0) có đối chiều lớn hơn hoặc bằng p.
10. UĐịnh nghĩaU Cho X là một không gian phức chiều n và A là một tập con giải tích của X có chiều p. Khi đó A được gọi là giao đầy đủ(địa phương) trong X nếu với mọi điểm của A có một lân cận Ω sao cho
A∩ Ω ={x∈Ω: f x1( )=...fp( )x =0}
với p=codimA và fj∈ Ω ∀ =O( ) j 1, 2,...,p 11. Cho X là một không gian phức có chiều n.
a) Một q-xích giải tích Z trên X là một tổ hợp tuyến tính ∑λjAj với (Aj) là họ hữu hạn địa phương các tập giải tích bất khả quy chiều q trong X và λj∈ . Giá của Z
là
0 j
Z U Aj
=λ ± . Nhóm mọi q-xích trên X được ký hiệu là Cycq( )X .
Một q-xích hiệu quảlà phần tử thuộc tập con của Cycq+( )X của các xích sao cho các hệ số λj là ≥0;
Các xích hữu tỷ, thực là các xích với hệ số λj∈ ,
b) Một (n−1)- xích giải tích được gọi là ước Weil, và ta đặt
( ) n i( )
div X =cyc − X
c) Giả sử rằng dimXsing ≤ −n 2. Nếu f ∈C X( ) không triệt tiêu trên mọi thành phần bất khả quy của X , ta cho tương ứng với f một ước.
div f( )= ∑m Aj j theo cách sau :
Các thành phần Aj là các thành phần bất khả quy của f−1(0) và các hệ số mj là cấp triệt tiêu của f tại mỗi điểm chính quy thuộc reg j reg, \ k
k j
X A U A
∩ ≠ .
Khi đó div fg( )=div f( )+div g( )
d) Một ước Cartier là ước D= ∑λjAj mà về địa phương là một - tổ hơp tuyến tính các ước dạng div f( ).
ULưu ýU Khi X là đa tạp, các khái niệm ước Weil và Cartier trùng nhau.
Cho hai xớch giải tớch Z = ∑λjAj , Z '= ∑àjAj ta định nghĩa
Sup Z Z{ , '}= ∑sup{λ àj, j}Aj ; Inf Z Z{ , '}= ∑inf{λ àj, j}Aj
12. UĐịnh lýU Với mọi hàm phân hình f trên không gian phức X tập ,P Zf f các cực điểm và không điểm của f là các tập giải tích.
UĐịnh lýU Nếu f là hàm phân hình khác 0 trên một đa tạp M , dim M =n thì các tập ,Zf Pf
có chiều n−1và tập Zf ∩Pf có chiều bằng n−2.
13. Cho (Aj), (Bj) lần lượt là các thành phần bất khả quy toàn cục của Zf (tương ứng Pf).
Khi đó có ,m pj j để ước toàn cục của f trên M là div f( )= ∑m Aj j − ∑p Bj j 14. Một hàm phân hình f với div f( )=0 là một hàm chỉnh hình khả nghịch.