Lý thuyết cắt vừa là một nhánh của Hình học đại số, trong đó các đa tạp con cắt nhau trên một đa tạp đại số, vừa cũng là một nhánh của Tô-pô đại số, nơi các phần giao (cắt) được tính trong vành đối đồng điều.
William Fulton viết trong quyển Lý thuyết giao (cắt) (1984) như sau:
“… nếu A và B là các đa tạp con của một đa tạp không kỳ dị X, tích gaio A.B là một lớp tương đương của các xích đại số có liên hệ chặt chẽ với bộ môn hình học nghiên cứu về A∩B, A và B ở trong X. Hai trường hợp cực đoan của nó là quen thuộc nhất. Trường hợp nếu phần cắt là thực sự (proper), nghĩa là nếu dim(A∩B)=dimA+dimB−dimX thì A.B là tổ hợp tuyến tính của các thành phần bất khả quy của A∩B, với hệ số là số bội giao (cắt). Trường hợp nếu A = B là một đa tạp không kỳ dị, công thức tự cắt chỉ ra rằng A.B được chỉ ra bởi lớp Chern bậc cao nhất của bó vectơ A trong X” .
Trong chương này chúng ta trình bày một số kết quả của hai trường hợp trên.
Trước hết ta trình bày một số kiến thức có liên quan Nhóm đối đồng điều De Rham ([De2])
Nhắc lại rằng một phức đối đồng điều K• với Kplà các mô-đun trên một vành nào đó, được trang bị các vi phân, nghĩa là, các ánh xạ tuyến tính
: 1
p p p
d K →K + sao cho dp+1dP =0.
Các mô-đun đối xích (đối dây chuyền), đối bờ, đối đồng điều Zp(K•), Bp(K•) và
( )
Hp K• lần lượt được định nghĩa như sau
Zp(K•)=Kerdp:Kp →Kp+1, Zp(K•)⊂Kp
1 1
( ) Im : , B ( ) ( )
p p p p p p p
B K• = d − K − →K K• ⊂Z K• ⊂K Hp(K•)=Zp(K•) /Bp(K•)
Cho X là một đa tạp khả vi thuộc lớp C∞. Phức De Rham của X được định nghĩa là phức Kp =C∞( ,X ΛpTX*) với vi phân được trang bị là đạo hàm ngoài dp =d và Kp ={ }0 ,
p 0
d = với p<0. Ta ký hiệu Zp( , )X là đối xích ( p-dạng đóng) và Bp( , )X là đối bờ (các p-dạng khớp) . Ta quy ước B X0( , ) ={ }0 . Nhóm đối đồng điều De Rham bậc p là
( , ) ( , ) / ( , )
p p p
HDR X =Z X B X .
Để đơn giản ta ký hiệu HDRp ( , )X =Hp( , )X . Ở đây để nhấn mạnh là p-dạng vi phân lấy giá trị thực. Ta cũng có thể giới thiệu nhóm tương tự HDRp ( , )X các dạng lấy giá trị phức, nghĩa là dạng lấy giá trị trong ⊗ ΛpTX* tức là HDRp ( , )X = ⊗ HDRp ( , )X .
Ta có HDR0 ( , )X được đồng nhất với không gian các hàm hằng địa phương trên X, do đó
0( )
0 ( , ) X
HDR X =π , với π0( )X là tập các thành phần liên thông của X.
Nhóm đối đồng điều De Rham với giá compact HDR cp , ( , )X =Zcp( , ) /X Bcp( , )X
tương ứng với phức De Rham Kp =Cc∞( ,X ΛpTX*) các dạng vi phân trơn với giá compact.
Cho X là một đa tạp khả vi paracompact n chiều. Xét phép giải
0 0 1 1
0→ j→ε → → →d ε .. εq →dq εq+ →...εn →0
cho bởi đạo hàm ngoài d tác động lên bó các mầm các dạng vi phân lớp C∞ bậc q.
Theo định lý đẳng cấu DeRham- Weil có một đẳng cấu HDRq ( , )X →Hq( , )X từ đối đồng điều De Rham lên đối đồng điều với giá trị trong bó hằng .
Thay vì sử dụng các dạng C∞ vi phân, ta có thể xét phép giải của cho bởi đạo hàm ngoài d tác động lên các dòng.
' ' ' ' '
1 1 0
0→ →Dnd→Dn− → →.. Dn q− d→Dn q− − →...Dεn →0 Ta có đẳng cấu Hq(Dn'−•( ))X →Hq( , )X .
Định lý đối ngẫu PoinCaré ([De2])
Nếu M là một đa tạp đóng định hướng n chiều thì nhóm đối đồng điều thứ k của M đẳng cấu với nhóm đồng điều thứ n – k của M với mọi k: Hk(M)≅Hn k− (M)
(ở đây đồng điều và đối đồng điều được lấy trong vành các số nguyên, nhưng đẳng cấu đúng với mọi vành hệ số).
Tích hợp (Cup product) ([De2])
Nếu c là p- đối xích và 'c là q- đối xích thì tích hợp của c và c’ là một p+q - đối xích c∪c'xác định bởi:
0... 0... ...
(c∪c')α αp q+ =cα αp ⊗c'αp αp q+ trên
0... p q 0 1 ... p q
Uα α + =Uα ∩Uα ∩ ∩Uα + Tích hợp có một số tính chất:
' ( 1)p q( ' ) c∪ = −c + c∪c ,
(c∪c')∪c''= ∪ ∪c' ( 'c c'')
( ') ( 1) ( ')
p q p p q
c c c c c
δ + ∪ =δ ∪ − ∪ δ
Từ đẳng cấu De Rham Weil Hq( , )X →HDRq ( , )X ta có tích hợp 'c∪c'' được biến thành tích ngoài 'f ∧ f '' các lớp đối đồng điều De Rham.
Khi hai đa tạp con của một đa tạp trơn cắt nhau thì giao của chúng lại là một đa tạp con. Lấy lớp đồng điều cơ bản của các đa tạp con dẫn đến tích song tuyến tính trên đồng điều. Tích này đối ngẫu với tích hợp, nghĩa là lớp đồng điều của giao hai đa tạp con là đối ngẫu PoinCare của tích hơp của các đối ngẫu PoinCare.
Bó vectơ chỉnh hình ([De2])
Trong toán học một bó vectơ là một cấu trúc tô pô thực hiện ý tưởng về một học các không gian vectơ được tham số hóa bởi một không gian vectơ khác: Với mọi điểm x của không gian X được gán với một không gian vectơ V(x) sao cho các không gian này ghép với nhau tạo thành một không gian vectơ cùng loại với X.
1. Cho M là một C∞- đa tạp khả vi có chiều m và K = hay K = là trường vô hướng. Một bó vectơ(thực hoặc phức) hạng r trên M là một ∞ - đa tạp E cùng với
i) Một C∞ ánh xạ :π E →M được gọi là phép chiếu
ii) Một K −không gian vectơ chiều r trên mỗi thớ Ex =π−1( )x sao cho cấu trúc vec- tơ là tầm thường địa phương. Nghĩa là, tồn tại một phủ mở ( )Vα α∈I của M và các C∞ vi phôi được gọi là các tầm thường hóa :
: r
EV V
α α α
θ → × Κ với 1( )
EV V
α =π− α
sao cho với mọi x V∈ α ánh xạ Ex→θα { }x × Κ → Κr r là một đẳng cấu tuyến tính Với mỗi ,α β∈I ánh xạ θαβ :θ θα β−1: (Vα ∩Vβ)× Κ →r (Vα ∩Vβ)× Κr
là một tự đồng cấu tuyến tính trên mỗi thớ { }x × Κr.Nó có thể được viết dưới dạng θαβ( , )x ξ =( ,x gαβ( ). ) , ( , )x ξ xξ ∈(Vα ∩Vβ)× Κr
trong đó (gαβ α β∈ ×) , I J là họ các ma trận khả nghịch với hệ số trong C V∞( α ∩Vβ, )Κ thỏa mối liên hệ đối xích
g gαβ βγ =gαγ trên Vα ∩Vβ ∩Vγ (1.1) Họ (gαβ) được gọi là hệ các ma trận biến đổi (transition)
Ngược lại mọi họ ma trận khả nghịch thỏa (1.1) xác định một bó vectơ E, nhận được bởi dán các bản đồ Vα× Κr bằng θαβ.
UVí dụU : Đa tạp tích E =M×k là một bó vectơ trên M được gọi là bó vectơ tầm thường hạng r trên M.
UVí dụU: Bó tiếp tuyến TM : Nếu :τα Vα →n là họ các bản đồ tọa độ trên M thì θα = ×π dτα :TMVα →Vα×m
xác định các tầm thường hóa của TM và ma trận biến đổi được cho bởi gαβ =dταβ(xβ) với
αβ α β1
τ =τ τ − và xβ =T xβ( ). Đối ngẫu T M∗ của TM được gọi là bó đối tiếp xúc và lũy thừa ngoài thứ p: ΛPT M∗ được gọi là bó các dạng vi phân bậc p trên M.
Nếu Ω ⊂M là một tập con mở và k là số nguyên dương hoặc bằng ∞, ta ký hiệu ( , )
Ck Ω E là không gian các Ck- thiết diện của EΩ, nghĩa là không gian các Ck- ánh xạ :
s Ω →E sao cho ( )s x ∈Ex với mọi x∈Ω (nghĩa là π s=IdΩ).
Một phép nối tuyến tính D trên bó vectơ E là một toán tử vi phân tuyến tính cấp 1 tác động lên C•∞(M E, ) thỏa các tính chất sau :
(2.1) D C: q∞(M E, )→Cq∞+1(M E, ) (2.1’) D f( ∧ =s) df ∧ + −s ( 1)p f ∧Ds
với mọi f ∈Cp∞(M K, ) và s∈Cq∞(M E, ) với df là đạo hàm ngoài của f
Giả sử :θ EΩ → Ω×Kr là cái tầm thường hóa của EΩ và cho ( ,.., )e1 er là hệ tọa độ tương ứng của EΩ. Khi đó với mọi s∈Cq∞( , )Ω E có thể được viết
1 r
s λ eλ
λ
σ
≤ ≤
= ∑ ⊗ , σλ∈Cq∞( ,Ω K)
Theo (2.1’) có ( )
1
( 1)p
r
Ds d λ eλ λ Deλ
λ
σ σ
≤ ≤
= ∑ ⊗ + − ⊗ .
Nếu ta viết
1 r
Deà aλà eλ
λ
≤ ≤
= ∑ ⊗ với aλà∈C1∞( ,Ω K) ta cú
1 r
Ds d λ aλà à eλ
λ à
σ σ
≤ ≤
= + ∧ ⊗
∑ ∑ .
Đồng nhất EΩ với Ω× Κr bằng θ và ký hiệu d là phép nối tầm thường dσ =(dσλ) trên Ω× Κr. Toán tử D được viết Dsθ dσ + ∧A σ
với A=( )aλà ∈C1∞( ,Ω Hom K K( r, r)).
Chúng ta tính D2:Cq∞(M E, )→Cq∞+2(M E, ) với cái tầm thường hóa :θ EΩ → Ω× Κr Ta có
D s2 θ d d( σ + ∧A σ)+ ∧A (dσ + ∧A σ)
=d2σ +(dA∧ −σ Adσ)+(A∧dσ + ∧ ∧A A σ) =(dA+ ∧A A)∧σ
dẫn đến tồn tại một 2- dạng Θ( )D ∈C2∞(M Hom E E, ( , )) được gọi là tenxơ độ cong của D, sao cho D s2 = Θ( )D ∧s với tầm thường hóa được cho bởi ( )Θ D θ dA+ ∧A A
Nếu E có hạng r =1 thì A∈C1∞(M K, )và Hom E E( , ) đẳng cấu chính tắc với bó tầm thường M ×K. Đồng nhất Hom E E( , )=K tenxơ độ cong ( )Θ D được xem là một 2-dạng đóng với giá trị trong K: ( )Θ D =dA.
2. Một bó vectơ :π E→ X được gọi là bó vectơ chỉnh hình nếu E là một đa tạp phức, ánh xạ chiếu π là chỉnh hình và nếu tồn tại một phủ ( )Vα α∈I của X và một họ các tầm thường hóa chỉnh hình :EV V r
α α α
θ → × .
Ta ký hiệu ( )O E là bó các mầm của thiết diện chỉnh hình của E.
Trong trường hợp r = 1 ta gọi bó vectơ chỉnh hình của bó đường chỉnh hình Toán tử d’’ được gọi là phép nối (0,1) chính tắc của bó chỉnh hình E.
Ta có H0,q( , )X E Hq( , ( ))X O E Ta đồng nhất bó tự do O(E) với bó vectơ E nên có thể viết H0,q( , )X E Hq( , )X E .
Nếu X là một đa tạp phức, ΩPX ký hiệu bó vectơ. Ta có đẳng cấu
, ( , ) ( , )
p q q p
H X E H X Ω ⊗X E
Đặc biệt Hp,0( , )X E là không gian các thiết diện chỉnh hình toàn cục của Ω ⊗Xp E
Cho π :E→ X là bó vectơ chỉnh hình Hermit hạng r. Phép nối Hermit duy nhất D sao cho D’’ = d’’ được gọi là phép nối Chern của E. Tenxơ độ cong của phép nối này ký hiệu là ( )Θ E được gọi là tenxơ độ cong Chern.
Nếu ( )Θ E là tenxơ độ cong Chern thì iΘ( )E ∈C1,1∞( ,X Herm E E( , ))
Nếu :θ EΩ → Ω×r là một tầm thường hóa chỉnh hình và nếu H là một ma trận biểu diễn mê-tric dọc theo các thớ EΩ thì iΘ( )E =id H d H''( −1 ' ) trên Ω.
Trường hợp r =rankE =1 thì H là một hàm dương mà ta có thể viết H =e−ϕ, ( , )
ϕ∈C∞ Ω ta có iΘ( )E =id d'' 'ϕ trên Ω. Đặc biệt ( )iΘ E là một dạng thực (1,1) đóng trên X.
Lớp Chern ([De2])
Cho một bó vectơ phức V trên không gian tô pô X, các lớp Chern của V là một dãy các phần tử của đối đồng điều X. Lớp Chern thứ k của V, thường được ký hiệu là ( )c Vk là một phần tử của H2k( , )X , đối đồng điều của X với các hệ số nguyên. Ta cũng có thể định nghĩa lớp Chern tổng là c V( )=c V0( )+c V1( )+c V2( ) ..+
Các lớp Chern thỏa một số tính chất sau:
a. c V0( )=1 với mọi V.
b. Nếu :f Y → X là ánh xạ liên tục và *f V là kéo ngược bó vectơ của V thì
( * ) * ( )
k k
c f V = f c V .
c. Nếu W → X là một bó vectơ phức khác thì các lớp Chern của tổng trực tiếp V ⊕W được cho bởi (c V ⊕W)=c V( )∪c W( ), nghĩa là:
0
( ) ( ) ( )
k
k i k i
i
c V W c V c − W
=
⊕ =∑ ∪
d. Nếu 0→E'→ →E E''→0 là dãy khớp các bó vectơ thì ( ) ( ') ( '')
c E =c E +c E
e. Nếu n là hạng phức của V thì c Vk( )=0 với mọi k > n.
f. Lóp Chern cao nhất của V ( nghĩa là ( )c Vn , với n là hạng của V luôn bằng lớp Euler của bó vectơ thực.
Đối với bó đường bó Chern không tầm thường duy nhất là lớp Chern thứ nhất , mà là một phần tử của nhóm đối đồng điều thứ hai của X. Vì nó là lớp Chern hạng đầu nên nó trùng với lớp Euler của bó.
Lớp Chern thứ nhất là một bất biến đầy đủ để phân loại các bó đường phức. Nghĩa là có một song ánh giữa các lớp đẳng cấu của các bó đường trên X và các phần tử của
2( , )
H X . Hơn nửa nhóm đối đồng điều thứ 2 trùng với tích tenxơ của các bó đường.
Định lý ([De2])
Cho E là một bó đường phức (hạng r = 1). Ảnh của c E1( ) trong HDR2 (M, ) qua đồng cấu tự nhiên H2(M, ) →H2(M, ) HDR2 (M, ) trùng với lớp đối đồng điều De
Rham ( )
2
i D
π
Θ
tương ứng với mọi phép nối (Hermit) D trên E.
Sự phân loại (các lớp đẳng cấu) các bó đường phức bởi lớp Chern xấp xỉ với việc phân loại các bó đường chỉnh hình bằng các lớp tương đương các ước.
Ta giả sử M là một đa tạp có định hướng, Z là một đa tạp con định hướng đối chiều 2 của M (hướng của Z được xác định duy nhất bởi M và E). Ta ký hiệu [ ]Z là dòng của tích phân trên Z và { } [ ]Z ∈HDR2 (M, ) nhóm đối đồng điều của nó.
Khi đó ta có: { } [ ]Z =c E1( ) .
Phương trình Lelong- Poincare và lớp Chern thứ nhất ([De2])
1. Phương trình Lelong Poincare: Cho f ∈M X( ) là hàm phân hình không triệt tiêu trên mọi thành phần liên thông của X và cho ∑m Zj j là một ước của f. Khi đó hàm log f là khả tích địa phương trên X và thỏa phương trình:
' ''log j[ j]
i d d f m Z
π =∑
trong không gian D'n−1,n−1( )X các dòng song chiều (n-1,n-1).
2. Một thiết diện phân hình của một bó đường E→ X là một thiết diện s được xác định trên một tập con mở của X sao cho với mọi tầm thường hóa :EV V r
α α α
θ → × các
thành phần σα =θα( )s là một hàm phân hình trên Vα .
Cho một bó đường E→ X và s là một thiết diện phân hình của E mà không triệt tiêu trên mọi thành phần liên thông của X. Nếu ∑m Zj j là một ước của f thì
2
1( ) j[ j] ( , )
c E =∑m Z ∈H X .
Ví dụ : Nếu ∆ =∑m Zj j là một ước bất kỳ trên X, ta gán ∆ với bó ( )O ∆ các mầm hàm phân hình f sao cho divf + ∆ ≥0. Cho ( )Vα là một phủ mở của X và uα là một hàm phân hình trên Vα sao cho divuα = ∆ trên Vα. Xét bó các đường E trên X xác định bởi các
đối xích : u *( )
g O V V
u
αβ α α β
β
= ∈ ∩ . Khi đó bó ( )O ∆ đẳng cấu với ( )O E . 3. Cho X là đa tạp phức tùy ý.
a) Với mọi bó đường héc-mít E trên M, dạng độ cong Chern ( ) 2
i E
π Θ là dạng (1,1) thực đóng có lớp đối đồng điều De Rham là ảnh của một lớp nguyên.
b) Ngược lại, cho ω là một dạng (1,1) thực ∞-đóng có lớp ω∈HDR2 ( , )X là ảnh của một lớp nguyên. Khi đó tồn tại một bó Héc-mít đường E→ X sao cho ( )
2
i E ω
π Θ = . Cho X là đa tạp phức compact n chiều. Với mỗi dòng đóng θ bậc k (tức là dòng song bậc (p q, ) với p+ =q k), ta có thể liên kết nó với một lớp đối đồng điều De Rham
{ }θ ∈HDRk (X, ). Các đối đồng điều De Rham có thể được tính bằng phức của các dạng vi phân trơn hoặc bằng phức của các dòng: cả hai bó phức này là phép giải tốt của bó hằng địa phương . Hơn nữa, phép gán θ { }θ là liên tục đối với tôpô yếu của các dòng (suy từ đối ngẫu Poincare). Như vậy việc nghiên cứu tính cắt của các đa tạp dẫn đến việc tính toán trên các vành đối đồng điều. Đặc biệt, mỗi xích giải tích A=∑λiAi có số chiều p trong X có thể liên kết với một lớp đối đồng điều De Rham { }A ={ ∑λi[ ]Ai }∈HDR2n−2p(X, ),
trong đó các hệ số λi là các số nguyên, lớp { }A nằm trong ảnh của H2n−2p(X,).
Khi xét trường hợp uj =log fj với một hàm chỉnh hình khác 0 nào đó trên X , chúng ta thấy tích của các ước của không = Zj dd uc j được xác định khi các giá Zj thỏa điều kiện
1 1
dim ...
j jm
co Z ∩ ∩ Z =m với mọi m. Tương tự, Khi T =[ ]A là một p- xích giải tích, hệ quả 2.1.14 chỉ ra rằng [ ] [ ]Z ∧ A được xác định với mọi ước Z sao cho dim Z ∧ A = −p 1. Nhận xét này dẫn đến:
4.1 Định lý ([De1])
Giả sử các ước Zj thỏa mãn điều kiện về đối chiều ở trên và ( )Ck k≥1 là các thành phần bất khả quy của tập [ ]Z1 ... Zq . Khi đó, tồn tại các số nguyên dương mk sao cho:
[ ]Z1 ∧ ∧... Zq =∑m Ck[ ]k .(*)
Số mk được gọi là bội của lớp cắt của Z1,...,Zq dọc theo Ck. Chứng minh:
● Tích ngoài ở vế trái của (*) có song bậc ( )q q, và có giá trong C =Ck, co dimC=q. Do đó nó có dạng tổng như ở vế phải với mk là các số thực dương.
● Ta chứng minh các số mk nguyên dương bằng quy nạp theo q.
Ký hiệu A là một thành phần bất khả quy của [ ]Z1 ... Zq−1. Ta chỉ cần kiểm tra
[ ]A ∧ Zq là một xích tích phân giải tích có đối chiều q với hệ số dương trên mỗi thành phần Ck của lớp cắt.
+ Ta có: [ ]A ∧ Zq =ddc(log fq [ ]A ).
+ Giả sử không có thành phần nào của A fq−1( )0 chứa trong phần kỳ dị Asing.
+ Áp dụng phương trình Lelong – Poincare trên Areg được: ddc(log fq [ ]A )=∑m Ck[ ]k
trên X \ Asing, trong đó mk là bậc triệt tiêu của fq dọc theo Ck trong Areg. + Vì CAsing có đối chiều ≥ +q 1 nên đẳng thức là đúng trên X .
+ Trường hợp tổng quát: thay fq bởi fq−ε sao cho ước của fq−ε không có thành phần nào chứa trong Asing. Khi đó: ddc(log fq−ε [ ]A ) là một xích tích phân đối chiều q với bội dương trên mỗi thành phần của A fq−1( )ε .
Cho ε →0 ta có đpcm. ■
Tích ngoài của các dạng vi phân trơn xác định cấu trúc vành trên đối đồng điều De Rham. Cho hai dòng Θ1,Θ2 trên X có một lớp giao { } { }Θ1 . Θ2 trên vành đối đồng điều ngay cả khi Θ ∧ Θ1 2 không là một dòng. Nhận xét này chỉ ra rằng tích ngoài của các dòng đóng dương không thể xác định nếu không có giả thiết bổ sung. Một cách tổng quát một dòng (1,1) dương đóng T không thể xấp xỉ trong tô- pô yếu với dòng đóng dương trơn: một
điều kiện cần là { } { }T p Y ≥0 với mọi đa tạp con Y chiều p của X. Tuy nhiên dựa vào một kết quả của Demailly (định lý 4.2) chỉ ra rằng T có thể xấp xỉ với một dòng đóng mà có phần âm được kiểm soát bởi độ cong của X. Kết quả này cho phép tính lớp tự cắt bằng cách lấy giới hạn yếu của tích mà các dòng ban đầu được thay thế bởi các chính quy hóa của nó.
Kỹ thuật này được áp dụng và nhận được một bất đẳng thức về sự tự cắt cho các dòng dương đóng song bậc (1,1) (định lý 4.4).
Cho dòng T có song chiều (p p, ). Ta nói T là gần dương nếu tồn tại dạng trơn v có song bậc (n−p n, −p) sao cho T+ ≥v 0. Tương tự, một hàm ϕ trên X được gọi là gần đa điều hòa dưới nếu ϕ về địa phương bằng tổng của một hàm đa điều hòa dưới và một hàm trơn. Khi đó, ( )1,1 - dòng ddcϕ là gần dương. Ngược lại, nếu ϕ là hàm khả tích địa phương và ddcϕ là gần dương thì ϕ bằng một hàm gần đa điều hòa dưới hầu khắp nơi. Nếu T là dòng gần dương, đóng thì số Lelong v T x( , ) xác định.
Có thể tham khảo chứng minh định lý sau trong [De2]:
4.2 Định lý ([De1])
Cho T là ( )1,1 - dòng gần dương, đóng và α là ( )1,1 - dạng thực trơn trong cùng lớp ddc- đối đồng điều với T, tức là T = +α ddcψ trong đó ψ là hàm gần đa điều hòa dưới.
Cho γ là ( )1,1 - dạng thực liên tục sao cho T ≥γ . Giả sử OTX ( )1 được trang bị một metric Hermit trơn sao cho dạng độ cong thỏa mãn: c O( TX ( )1 )+π*u≥0 với π:P T X( )* → X và
u là ( )1,1 - dạng không âm trên X .
Khi đó với mỗi c>0, tồn tại dãy các ( )1,1 - dòng gần dương, đóng
, ,
c
c k c k
T = +α ddψ sao cho ψc k, là trơn trên X E T\ c( ) và giảm đến ψ khi k→ +∞ (đặc biệt
,
Tc k trơn trên X E T\ c( ) và hội tụ yếu đến T trên X ), và
, ,
c k c k k
T ≥ −γ λ u−ε ω, trong đó:
i. λc k, ( )x là dãy giảm các hàm liên tục trên X sao cho lim c k, ( ) min( ( , ), )
k λ x v T x c
→+∞ =
tại mỗi điểm.
ii. lim k 0
k ε
→+∞ = .
iii. v T( c k, ,x)=(v T x( , )−c)+ với mọi x∈X .
ở đây OTX ( )1 là bó đường gắn với TX trên bó siêu phẳng P(T*X). Nhận xét rằng định lý đưa ra một xấp xỉ đặc biệt Tc k, trơn trên X nếu max ( , )
c x X ν T x
> ∈ . Đẳng thức trong iii. chỉ ra rằng mọi số Lelong nhỏ hơn hoặc bằng c đều bị loại bỏ và chuyển những số còn lại xuống bởi c.
4.3 Hệ quả ([De1])
Cho θ là dòng gần dương, đóng song chiều (p p, ) và α1,...,αq là ( )1,1 - dòng gần dương, đóng sao cho α1∧ ∧... αq ∧θ là xác định theo 2.1.10 hoặc 2.1.12,
với αj có biểu diễn địa phương là αj =dd uc j. Khi đó: {α1∧ ∧... αq ∧θ}={ }α1 ....{ }αq .{ }θ .
Chứng minh
Định lý 4.2 và định lý liên tục đơn điệu (Định lý 2.1.5)ở chương 2 suy ra:
1 ... lim 1 ...
q
k k
q k
α α θ α α θ
∧ ∧ ∧ = →+∞ ∧ ∧ ∧
Trong đó αkj ∈{ }αj là trơn. Do đó kết quả đúng cho các dạng trơn. Từ tính liên tục yếu của
các lớp đối đồng điều ta có đpcm. ■
Bây giờ, giả sử X là đa tạp compact Kahler được trang bị metric Kahler ω. Bậc của một (p p, )- dòng dương đóng θ đối với ω được định nghĩa:
deg p
ωθ =∫Xθ ω∧ .
Đặc biệt, bậc của một tập giải tích p chiều A⊂ X là p
Aω
∫ .
Xét dãy 0= ≤ ≤b1 ... bn ≤bn+1 sao cho chiều của E Tc( ) giảm một đơn vị khi c lớn hơn bp, nghĩa là codimE Tc( )= p với ít nhất một thành phần có đối chiều p khi c∈(b bp, p+1. Đặt ( )Zp k, k≥1 là các thành phần có đối chiều p của E Tc( ) với c∈(b bp, p+1 và đặt
( ) (
,
, min , , 1
p k
p k p p
v x Z v T x b b +
∈
= ∈ là số Lelong chung của T trên Zp k, . Khi đó ta có: