M ột số kết quả trên tập các chỉ số đếm được- 123docz.net

Chương 2. TÍNH CHẤT CỦA GIỚI HẠN NGƯỢC

2.2. M ột số kết quả trên tập các chỉ số đếm được

Trong phần này, chúng ta nghiên cứu chi tiết các trường hợp tập các chỉ số I là tập đếm được, định hướng.

2.2.1. Định nghĩa

Cho A là một tập hợp và ≤ là một quan hệ thứ tự trên A. Một tập con B của A được gọi là cùng gốc nếu thỏa mãn điều kiện:

Với mỗi a∈A, tồn tại b∈Bmà a≤b.

I chứa một tập hợp con cùng gốc đẳng cấu với tập N số tự nhiên với thứ tự thông thường, và ta có thể giả sử I= N. Thật vậy, kết quả tổng quát hơn của Định lý 2.1.16 là lim( ) lim( )

J I

n n

Aα Aα

← ≅← với mỗi hệ xạ ảnh { }Aα và bất kỳ tập hợp con cùng gốc J của I.

2.2.2. Mệnh đề

Một hệ xạ ảnh {A fi, ij} với N là tập hợp các chỉ số là mềm khi và chỉ

khi fi i, 1+ là toàn ánh với mọi i∈N. Chứng minh:

Một tập hợp con mở của N có dạng {i i≤n} với n thích hợp. Như vậy , đồng cấu lim A lim A

i N i n

i i An

≤

←∈  →← =



là toàn ánh khi và chỉ khi fj j, +1 là toàn ánh với j≥n. Ở đây n có thể là một số nguyên. 

Tất nhiên trong trường hợp này các thuật ngữ "mềm" và "cận mềm" là như nhau.

2.2.3. Định lý

Cho hệ xạ ảnh {A fi, ij} với N là tập hợp các chỉ số, ta có lim( )n Ai =0 với n≥2.

Chứng minh:

Theo Mệnh đề 2.1.5 có dãy khớp

{ } { } { }

0→ A fi, ij → B gi, ij → C hi, ij →0

với {B gi, ij} là hệ mềm. Vì vậy gi i, 1+ là toàn ánh với mọi i, điều này có được bằng phép săn biểu đồ, và tương tự trong trường hợp hi i, 1+ . Từ Mệnh đề 2.2.2, ta có {C hi, ij} là hệ mềm. sau đó áp dụng Định lý 2.1.16.

Nhận xét 1: Mệnh đề 2.2.2 dẫn đến một kết quả mạnh hơn so với định lý 2.2.3 là bất kỳ hệ xạ ảnh với N là tập hợp các chỉ số có độ dài phép giải mềm ≤1, ta nói “chiều mềm” của N với thứ tự thông thường là ≤1.

Với N là tập các chỉ số với thứ tự thông thường. Cũng trong trường hợp I =N , ta mô tả tường minh lim( )1 Ai. Cho fi = fi i, 1+ và xét đồng cấu

i A i

i N i N

A δ A

∈ ∈

∏ →∏

Cho bởi:

( 1, 2,..., ,...) ( 1 1 2, 2 2 3,..., 1,...)

A a a an a f a a f a an f an n+

δ = − − −

Rõ ràng Kerδ ≅A limA1, là đẳng cấu tự nhiên. Ta chứng minh rằng

( )1

lim Ai ≅CokerδA .

Dễ dàng kiểm tra được Cokerδ =A 0, nếu { }Ai là hệ xạ ảnh mềm (các ánh xạ là toàn ánh).

Và nếu

{ } { } { }

0→ Ai → Bi → Ci →0 là dãy khớp, với { }Bi là hệ mềm, ta có sơ đồ giao hoán

0→ Π → Π → Π →Ai Ai Ai 0

0→ Π → Π → Π →Ai Ai Ai 0 Áp dụng bổ đề con rắn, ta có dãy khớp

0→Kerδ →A Kerδ →B Kerδ →C Cokerδ →A Cokerδ →B Cokerδ →C 0 Từ { }Bi là hệ mềm, nên cokerδ =B 0. Như đã biết, ta có sơ đồ giao hoán mà mũi tên thẳng đứng là đẳng cấu:

0→kerδ →A kerδ →B kerδ →C kerδ →D 0

( )1 ( )1

0→limAi →limBi →limCi →lim Ai →lim Bi =0

Trong dòng cuối cùng, ta sử dụng tính chất { }Bi là hệ xạ ảnh mềm. Bằng phép "săn biểu đồ " chúng ta nhận được đẳng cấu lim( )1 Ai CokerδA .

Nhận xét 2: Nếu tập chỉ số là không đếm được, ta không có một đẳng cấu tương tự đối với lim( )1 (và lim ,( )i i>1) .

Bây giờ, ta xem xét một hệ xạ ảnh của các nhóm Abel hữu hạn Ai, với N là tập các chỉ số, và xác định cấu trúc của lim( )1 Ai.

δA

δB δC

2.2.4. Mệnh đề

Với mọi hệ xạ ảnh {A fi, ij},i∈ Ν của các nhóm Abel hữu hạn, ta có

( )1

lim Ai =0.

2.2.5. Mệnh đề

Các nhóm Abel lim( )1 A ii, ∈ Ν,Aitự do hữu hạn đều có dạng Ext1Z(M Z, ), với M là nhóm Abel không xoắn đếm được.

Chứng minh:

Như kết quả của chứng minh Mệnh đề 2.1.5, tồn tại dãy khớp các hệ xạ ảnh

{ } { } { }

0→ Ai → Bi → Ci →0 ( i j

j i

B A

≅ ⊕≤ )

Với { }Bi là hệ mềm, mỗi Bi tự do hữu hạn, và đồng cấu Ai →Bi chia được với mỗi i (tất nhiên nói chung không chính tắc ), do đó Ci là tự do hữu hạn.

Kí hiệu A* = HomZ(A Z, ). Vì tất cả các nhóm đều tự do hữu hạn, ta có dãy khớp:

{ } { } { }* * *

0→ Ci → Bi → Ai →0 Và do đó, lim là một hàm tử khớp :

* * *

0→limCi →limBi →limAi →0 Từ đó dẫn tới dãy khớp:

( * ) ( * ) ( * )

Z Z Z

0→Hom limA Zi , →Hom limB Zi , →Hom limC Zi , →Ext1Z(limA Zi*, )→Ext1Z(limB Zi*, )

Ở đây lim i* i*

i N

B A

= ⊕∈

 là tự do. Ta có đối ngẫu , với Ai,Bi và Ci là các tạo ảnh, thu được:

( )

1 *

0→limAi →limBi →limCi →ExtZ limA Zi , →0

Đối chiếu với dãy khớp:

( )1

0→limAi →limBi →limCi →lim Ai →0

Suy ra limAi* Ext1Z(limA Zi*, ), với limAi* là một giới hạn của các nhóm Abel tự do hữu hạn, do đó đếm được và không xoắn.

Mặt khác bất kỳ nhóm Abel đếm được M mà không xoắn là giao của lọc đếm được các nhóm conAitự do hữu hạn. Từ đó ta có Ext1Z(M Z, )≅lim( )1 Ai*.



2.2.6. Định lý

Các nhóm lim( )1 A ii, ∈ Ν,Ai tự do hữu hạn đều có dạng Ext1Z(M Z, ), với M là nhóm Abel không xoắn đếm được.

Chứng minh:

Ta viết ( )Ai T kí hiệu cho nhóm con không xoắn của Ai, ta có dãy khớp các hệ xạ ảnh

{ ( ) } { } { ( ) }

0 Ai Ai A / Ai i 0

T T

→ → → →

( )2

lim biến mất khi tập chỉ số là đếm được, vì vậy ta suy ra dãy khớp

( )1 ( ) ( )1 ( )1 ( )

lim Ai lim Ai lim A / Ai i 0

T → ϕ→ T →

  

Theo Mệnh đề 2.2.4, đồng cấu ϕ là một đẳng đẳng cấu. Với mỗi i,

( )

A / Ai i T không xoắn và hữu hạn, do đó là tự do, và theo Mệnh đề 2.2.5 có

( )1

lim A i có dạng Ext1Z(M Z, ), M là nhóm Abel đếm được không xoắn.  Sự khẳng định ngược lại của Định lý 2.2.6 là một trường hợp đặc biệt của Mệnh đề 2.2.5.

2.2.7. Định lý

Nhóm Abel mô tả ở Định lý 2.2.6 ( và Mệnh đề 2.2.5) là chia được.

Chứng minh:

Lấy { }Ai ,i∈N là hệ xạ ảnh các nhóm Abel hữu hạn. Theo Mệnh đề 2.2.6 ta có thể giả sử Ai là tự do với mọi i. Nếu x là một số nguyên 0≠ , ta có dãy khớp các hệ xạ ảnh:

{ } { } { }

0→ Ai →•x Ai → Ai / xAi →0 Từ đó có dãy khớp:

( )1 ( )1 ( )1 ( )

lim Ai →•x lim Ai →lim Ai / xAi =0

Trường hợp phần tử cuối bằng 0, thì /Ai xAi là hữu hạn (Mệnh đề 2.3.4).

Do đó phép nhân bởi x là toàn ánh với lim( )1 Ai, suy ra điều phải chứng minh.



Ta đã biết, tất cả các nhóm Abel chia được là tổng trực tiếp các nhóm con chia được và không chia được, Q và Z( )p∞ . ( Nhắc lại Z( )p∞ là P Z/ ,

với P là nhóm các số hữu tỉ có mẫu chung là bội của số nguyên tố p ). Với các nhóm được mô tả trong Định lý 2.2.6, ta thiết lập

( ) ( )0 ( ( ) )( )

Ext1Z , n Z np

M Z =Q ⊕∑⊕ p∞ (1)

Với Q( )n0 biểu thị tổng trực tiếp của n0 nhóm Q , tương tự Z( )p∞ ( )n p

biểu thị tổng trực tiếp của np nhóm Z( )p∞ .

Ta sẽ xác định n0 và np ở trên.

2.2.8. Định lý

Lấy G là nhóm Abel trong Định lý 2.2.6 có dạng Ext(M Z, ), M đếm được và không xoắn. Nếu G không bằng 0, ta có

i. n0 =2x0.

ii. np là hữu hạn (có thể bằng 0) hoặc =2x0.

Ngược lại, với mỗi số n0, np thỏa mãn (i) và (ii), có một nhóm Abel M đếm được và không xoắn với phân tích (1).

Chứng minh :

Trước tiên, ta chứng minh n0 =2x0. Từ định nghĩa Ext(M Z, ) ta thấy rằng bậc của Ext(M Z, ) không lớn hơn 2x0 , do đó n0 ≤2x0 (và tương tự

p 2

n ≤ ) Lấy { }aj là tập hợp (hữu hạn hoặc đếm được) các phần tử trong M độc lập tuyến tính trên Z, và Mi là nhóm con có hạng hữu hạn được lập bởi các phần tử phụ thuộc tuyến tính { }aj của M, j≤i. Ta có

, 1

i i i

M = ∪M M ⊆M +

Mi có hạng hữu hạn, Mi+1/Mi không xoắn, G ≠0, do đó tồn tại Mi không tự do; nếu tất cả Mi không tự do hữu hạn, Mi+1/Mi là không xoắn và hữu hạn, ta có

1 2 / 1 3 / 2 ...

M ≅ M ⊕M M ⊕M M ⊕

và M là tự do, mâu thuẫn với G≠0. Vì vậy, tồn tại một nhóm con K không tự do có hạng hữu hạn. K không hữu hạn sinh.

Dễ thấy n0là chiều (trên Q) của không gian véctơ Q⊗ZG. Từ K ⊆M dẫn đến toàn cấu

( ) ( )

Ext M Z, →Ext K Z, →0

Và hàm tử Q⊗ −x0 là khớp phải , điều đó chứng tỏ Q xuất hiện 2x0 lần trong khai triển của Ext(K Z, ).

Nếu K có hạng n, tồn tại dãy khớp

0→Zn → → →K C 0 (2) Trong đó C là một nhóm xoắn. (2) cho ta dãy khớp

( ) ( ) ( ) ( )

Zn =Hom Z ,n Z →Ext C Z, →Ext K Z, →Ext Z Zn, =0

Vậy rõ ràng chiều (trên Q) của không gian véctơ Q⊗Z Ext(C Z, ) bằng

2 .

Vì K có hạng n, và K là một nhóm con của Qn, do đó C là một nhóm con của ( / )n (Z( ) )n

Q Z ⊕ p∞ , trong đó p chạy qua các số nguyên tố. Tất cả p thành phần p-nguyên sơ Cp của C là một nhóm con của Z( )p∞ n, và do đó là nhóm Artin. Từ đó dãy giảm Cp ⊇ pCp ⊇ p C2 p ⊇... là dừng, nên tồn tại r mà

r r 1

p p

p C = p C+ . Vậy Dp = p Cr p chia được và Cp Dp ⊕Fp, với / r

p p p

F C p C là một nhóm hữu hạn.

Bây giờ ta xem xét hai trường hợp:

i. Tồn tại p sao cho Dp ≠0. ii. Dp =0 với mọi p.

Trong trường hợp i. Dp ⊇Z( )p∞ , điều đó chứng tỏ rằng chiều ( trên Q) của Ext Z( ( )p∞ ,Z) là 2x0 . Áp dụng dãy khớp các hàm tử Hom và Ext cho

0→ → →Z Q Q Z/ →0 Thu được

( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ( ) )

Ext Z p∞ ,Z Hom Z p∞ ,Q Z/ Hom Z p∞ ,Z p∞ . Từ đó đẳng cấu với nhóm cộng các số p-adic. Vậy, ta đã chứng minh xong trong trường hợp i.

Trong trường hợp ii. Fp ≠0với mọi p, do đó K là hữu hạn sinh. Vậy, tồn tại một dãy vô hạn p1,....,pi,... các số nguyên tố mà /

p i

S = ⊕Z Zp ⊆C. Ext là hàm tử khớp phải, điều đó chứng tỏ chiều ( trên Q) của không gian véctơ

( )

Ext S,

Q⊗ Z là 2x0 . Nhưng Ext S,( ) /

i p

Z ∏Z Zp là nhóm bậc 2x0 , có nhóm con xoắn đếm được.

Bây giờ ta chứng minh nplà hữu hạn (có thể bằng 0) hoặc =2x0.

Trước tiên ta thấy np bằng với chiều (trên Z Zp/ ) của không gian véctơ

( )

( / , Ext , )

Hom Z Zp M Z . có đẳng cấu

( )

( ) ( ( ) )

( )

( ) ( ( ) )

Ext / , , / , Ext ,

Ext / , Tor / , ,

Z Zp Hom M Z Hom Z Zp M Z Z Zp M Z Hom Z Zp M Z

⊕

⊗ ⊕

 (3)

Theo kết quả của Nunke-Rotman: tất cả các nhóm đếm được M có thể biểu diễn dưới dạng M = ⊕L M′ với L tự do và Hom M Z( ′, )=0.

TừExt(M Z, )Ext(M Z′, ) ta có thể giả sử Hom M Z( , )=0. Hơn nữa, M không xoắn, Tor(−,M)=0 suy biến thành đẳng cấu

( )

( / , Ext , ) Ext( ( / ) , )

Hom Z Zp M Z ≅ Z Zp ⊗M Z

(Z Zp/ )⊗M là một không gian véctơ trên (Z Zp/ ) , Do đó

( / )

⊕ Z Zp

∑ có tập chỉ số là hữu hạn hoặc đếm được. Từ đó có

( )

( ) ( )

Ext / , /

Z Zp ⊗M Z ≅∏ Z Zp

Nếu I hữu hạn, thì np hữu hạn ; nếu I đếm được thì np =2x0 . Ta đã chứng minh phần đầu tiên của Định lý 2.2.8.

Cuối cùng, xét bậc n0 =2x0, np, p là số nguyên tố thỏa mãn ii). Với M phù hợp, ta chứng minh các trường hợp sau.

Trường hợp n0 =2x0 ,np =0 với mọi p. Từ Q chia được, Ext(Q Z, )

không xoắn, do đó, theo các chứng minh trên, ta có Ext(Q Z, )Q( )N0 , với

0 2

n = .

Trong trường hợp tổng quát, hoặc Pk, k là số nguyên, là tập số đầu tiên

mà 0

k ≤n <x hoặc P′ là tập số đầu tiên mà np′ =2x0.

Lấy Mk là nhóm con ( cộng tính ) của Q, bao gồm số hữu tỉ mà mẫu số chia hết cho bất kỳ pk, và M′ là nhóm các số hữu tỉ mà mẫu số chia hết cho bất kỳ p′. Sử dụng đẳng cấu (4) dễ thấy ( )( )x0

1 k k

M M M

∞

= ′ ⊕∑⊕ là nhóm

không xoắn đếm đươc. 2.2.9. Hệ quả

Cho G là một nhóm Abel có bậc ≤2x0 . Các điều kiện sau là tương đương:

i. G là nhóm được mô tả trong Định lý 2.2.5, tức là có dạng Ext(M Z, ),

M đếm được và không xoắn.

ii. Đối với một tôpô phù hợp G (như một nhóm tôpô) là compắc và liên thông.

Nhận xét : Định lý 2.2.8 cho kết quả ([4], tr 36):

Một nhóm đếm được và không xoắn M là tự do nếu (và chỉ nếu)

( )

Ext M Z, là đếm được.