Th ứ nguyên đối đồng điều của một tập hợp bậc x k

Chương 2. TÍNH CHẤT CỦA GIỚI HẠN NGƯỢC

2.3. Th ứ nguyên đối đồng điều của một tập hợp bậc x k

Trong phần trước chúng ta đã thấy, cho I =N (hoặc bất kỳ I định hướng đếm được) thì lim( )p Ai =0 với bất kì hệ xạ ảnh Ai là nhóm Abel và với mọi p≥2. Ta nói rằng N có thứ nguyên đối đồng điều ≤1. Ta đã chứng minh rằng chiều mềm của N là ≤1 (Xem nhận xét ở Định lý 2.2.3).

Đối với một tập có thứ tự định hướng bậc xk, ta có định lý sau 2.3.1. Định lý

Cho I là tập thứ tự định hướng ≤ xk. Với mọi hệ xạ ảnh {Aα, fαβ} thì lim( )i Aα =0 với i≥ +k 2. Ta nói, I là thứ nguyên đối đồng điều ≤ +k 1.

Chứng minh :

Ta chứng minh bằng quy nạp trên k. Với k =0 , đây là kết quả của Định lý 2.2.3. Giả sử điều cần chứng minh đúng với x hh, <k .

có { }Aα là một hệ xạ ảnh

{ } { } { }0 1 { }

0→ Aα → Fα → Fα →....→ Fαp → (1) một phép giải (cận) mềm của { }Aα .

(1) được hợp thành bởi các dãy khớp sau :

{ } { } { } { } { } { } { } { } { }

0 1

1 1 2

1

0 A 0

0 0

0 p p p 0

F X

X F X

X F X

α α α

α α α

+

α α α

→ → → →

→ → → →

→ → → →

(2)

Chuyển ngược lại ta suy ra lim( )i Aα lim( )1 Xαi−1. Vì vậy, để chứng minh rằng lim( )i Aα =0 với i≥ +k 2 ta chứng minh ánh xạ

lim i 1 lim i

I I

Fα− → Xα

  (3) là toàn ánh với i≥ +k 2.

I là hợp của một họ xắp thứ tự tốt I Ià, ,

à∈Ω

= à∈Ω , Ià định hướng.

Nếu thu hẹp tập chỉ số I tớiIà (à cố định ), ta xỏc định thu hẹp tương ứng cỏc hệ xạ ảnh trờn Ià là phộp giải cận mềm của { }Aα ,α∈Ià( do Bổ đề 2.1.12 (1)). Tương tự, (2) trở thành dóy khớp cỏc hệ xạ ảnh trờn Ià. Theo giả thiết quy nạp lim( )i Aα =0 với i≥ +k 1, { }Aα là một hệ xạ ảnh trờn Ià. Theo Mệnh đề 2.1.14, có thể thấy bằng cách chuyển như trên, rằng

lim i 1 lim i

I I

F X

à à

−

α → α

 

là toàn ánh với i≥ +k 1.

Để chứng minh (3) toàn ánh, ta xem xét một phần toàn cục s (trên I ) của

{ }Xαi . Theo sự toàn ỏnh của (4) là thu hẹp sà của s đến Ià từ một phần tà của

{ }Fαi−1 trờn Ià, với i≥ +k 2 . Để chứng minh (3) là toỏn ỏnh (với i≥ +k 2 ) ta cần chứng minh rằng ta cú thể chọn được tà,à∈Ω sao cho tà là thu hẹp của tν với mỗi cặp à < ν. (tức là tà,à∈Ω hỡnh thành một phần của { }Fαi−1

trên I ).

Bằng phương phỏp quy nạp ta giả sử, với νnằm trong Ω, tỡm được tà thuộc { }Fαi−1 trờn Ià,à < ν chẳng hạn như, với λ < à,tλ là thu hẹp của tà. Ta sẽ chỉ ra rằng cú thể tỡm thấy một phần tν (trờn Iν ) bị giới hạn tới tà với mỗi

à < ν.

Nếu ν là một tự số giới hạn , tà,à < ν hỡnh thành một phần trờn Iν thỏa món tớnh chất cần cú từ Iν Ià

à<ν

= .

Nếu ν khụng là một tự số giới hạn , ν = à +1. Như đó núi ở trờn, sà+1 cú từ một phần tà+1 của { }Fαi−1 trờn Ià+1, cú thu hẹp tà′ đến Ià cảm sinh trong

{ }Xαi tương tự như tà. Vỡ vậy, theo dóy khớp

{ } { } { }1 1

0→ Xαi− → Fαi− → Xαi →0

Và tớnh khớp trỏi của lim, tà −tà′ cú từ một phần và của { }Xαi−1 . Theo giả thiết quy nạp, ánh xạ lim i 2 lim i 1

I I

F X

α α

− −

α → α

  là toàn ỏnh, tức là, và cú từ một phần uà của { }Fαi−2 . Hệ sau là cận mềm, do đú uà là thu hẹp của một phần uà+1 trờn Ià+1. uà+1 cảm sinh trong Xαi−1 một phần và +1, cú thu hẹp tới Ià là và. tà+′′1 là phần của { }Fαi−1 cảm sinh bởi và +1, ta suy ra rằng tà+1−tà+1 là một

phần của { }Fαi−1 cảm sinh sà+1 trong { }Xαi và thu hẹp tới tà′ +(tà −tà′)=tà trờn Ià. Ta suy ra được đpcm. 

Như đã lưu ý ở phần 2, lim( )n lim( )n

J I

Aα  Aα

  (với mọi n), khi J là một tập con cùng gốc của I. Từ đó, ta có được

2.3.2. Hệ quả

Cho I là một tập thứ tự định hướng có một tập con cùng gốc bậc ≤ xk. Thì với mọi hệ xạ ảnh {Aα, fαβ} ta có lim( )i Aα =0 nếu i≥ +k 2.

Lưu ý: Nếu ta chấp nhận một tập hữu hạn có bậc x−1, thì Hệ quả 2.3.2 cũng đúng trong trường hợp k = −1.

2.3.3. Mệnh đề

Cho { }Aα là một hệ xạ ảnh và n là một số nguyên. Các điều kiện sau là tương đương :

i. Tồn tại dãy khớp các hệ xạ ảnh

{ } { }0 { }

0→ Aα → Fα → →... Fαn →0 với { } { }Fα0 ,..., Fαn là mềm.

ii. lim( )i (U, Aα)=0 với mọi tập mở U của I và bất kì i>n. iii. Nếu dãy

{ } { }0 { } { }1

0→ Aα → Fα → →... Fαn− → Xαn →0 là khớp, với { } { }Fα0 ,..., Fαn−1 là mềm, thì { }Xnα là mềm.

Chứng minh :

Hiển nhiên định lý đúng với n=0. Ta sẽ chỉ ra rằng { }Aα là mềm nếu và chỉ nếu lim( )i (U, Aα)=0 với mọi tập mở U của I và với mọi i>0.

Lấy 0→{ }Aα →{ }Qα { }Vα →{ }Cα (5)

là một dãy khớp, với { }Qα là nội xạ (trong phạm trù các hệ xạ ảnh). Từ (5) sinh dãy khớp các hàm tử dẫn xuất

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

lim ,

1 1

0 lim , A lim , lim ,

lim , A lim , 0

U U Q U V U C

U U Q

α α α α

α α

→ → →

→ → =

   

  (6)

Giả sử trước tiên { }Aα là mềm. Lấy t là một phần của { }Cα , triệt tiêu trong U. Từ { }Aα là mềm, t có từ một phần toàn cục s của { }Qα (Mệnh đề 2.1.15). Thu hẹp s′ của s đến U cảm sinh phần 0 trên U, do đó s′có từ một phần r′ của { }Aα trên U. Vì tính mềm của { }Aα , r′ là thu hẹp của một phần toàn cục r của { }Aα . (s-r) là một phần toàn cục của { }Qα , triệt tiêu trong U và cảm sinh t trong { }Cα . Điều này cho thấy lim(U,vα) là toàn ánh, và (6) chỉ ra rằng lim( )1 (U, Aα)=0. Sử dụng { }Cα là mềm khi { }Aα là mềm, ta xác định bằng quy nạp trên i rằng lim( )i (U, Aα)=0 với mọi i>0 .

Ngược lại, giả sử rằng lim( )i (U, Aα)=0 với mỗi tập mở U và mọi i>0 (hay chỉ i=1). Thì từ (6) cho thấy lim(U, vα ) là toàn ánh. Ta chứng minh bất kì phần r trên tập mở U là thu hẹp của một phần toàn cục.

{ }Qα là nội xạ, đặc biệt (theo Hệ quả 2.1.6), là mềm, do đó r cảm sinh trong { }Qα một phần là thu hẹp của một phần toàn cục s. s cảm sinh trong

{ }Cα một phần , triệt tiêu trong U. Do đó t là một phần tử của lim(U C, α), và

qua toàn ánh lim(U,vα ), t có từ một phần a1 của Qα, triệt tiêu trong U. s−s1 cảm sinh phần 0 trong { }Cα , và do đó s−s1có từ một phần toàn cục { }Aα , có

thu hẹp tới U là r.  2.3.4. Định lý

Cho I là một tập thứ tự định hướng, tập mở định hướng U ⊂I chứa một tập con cùng gốc bậc ≤xk−1, thì chiều cận mềm I ≤ +k 1.

Chứng minh:

Cho hệ xạ ảnh { }Aα và

{ } { } { } { } { } { } { }

0 1

1

0 A ... 0

0 0

k k

k k k

F F F

X F X

−

α α α α

+

α α α

→ → → → → →

→ → → → (7)

là các dãy khớp, với { } { }Fα0 ,..., Fαk là cận mềm.

Với tập mở định hướng U ⊂I , bằng cách xét những thu hẹp về U (và sử dụng Bổ đề 2.1.15) có được

( )1 ( 1)

lim k limk A 0

U U

Xα  + α =

 

Từ đó ánh xạ

lim k lim k 1

U U

Fα → Xα+

 

là toàn ánh. Mà { }Fαk là mềm, ta kết luận rằng bất kì phần của { }Xαk+1

trên U là thu hẹp của một phần toàn cục { }Xαk+1 . Với mọi tập mở định hướng U, ta thấy rằng { }Xαk+1 là cận mềm. Do đó (7) dẫn đến một phép giải cận mềm có độ dài k+1.

Đối với tập thứ tự tổng quát, khái niệm "mềm" và "cận mềm" là đồng nhất, ta có hệ quả.

2.3.5. Hệ quả

Cho I là một tập thứ tự tổng quát, tất cả tập mở U ⊂I có một tập con cùng gốc bậc ≤ xk−1, thì chiều mềm ≤ +k 1, kí hiệu dim.fl(I) ≤ +k 1.