BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 17 Một số bài toán về tỉ số thể tích)
1. Cho khối chóp tam giác SABC có ∆ABC vuông cân tại B, AC a = 2,SA ⊥ ( ABC ), góc giữa SB và mp(ABC) bằng 60. H là hình chiếu của A trên SB, mp(P) chứa AH và song song với BC, cắt SC tại K.
a) Hãy nêu cách dựng mp(P)?
b) Tính tỉ số thể tích của 2 khôi đa diện SAHK và ABCHK?
2. Cho khối chóp tam giác SABC có ABC là tam giác vuông cân tại B, AC a = 2, SA ⊥ ( ABC ), góc giữa SC và mp(ABC) bằng 60. H là hình chiếu của A trên SC, mp(P) chứa AH và song song với BC, cắt SB tại K.
a) Hãy nêu cách dựng mp(P)?
b) Tính tỉ số thể tích của 2 khôi đa diện SAHK và ABCHK?
KQ : 1 3 3 3 7 3
( ) 3; ( ) 3; ( ) 3
6 32 96
V SABC = a V SAHK = a V ABCHK = a => Tỉ số 9
= 7. Bài 18 Cho khối chóp SABCD có SA ⊥ ( ABC SA a ); = 2. Đáy ABCD là hình vuông cạnh a, C’ là hình chiếu của A trên SC. Mặt phẳng (P) chứa AC’ và song song với BD, cắt SB, SD tại B’, D’.
a) Hãy nêu cách dựng mp(P) ?
b) Tính tỉ số thể tích 2 khôi đa diện SAB’C’D’ và ABCDD’C’B’
KQ : 1 3 1 3 2 3
( ) 2; ( ' ' ') 2; ( DD' ' ') 2
3 9 9
V SABCD = a V SAB C D = a V ABC C B = a
Một số bài tập luyện tập .
1. (CĐ 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông cân tại B. AB = a, SA⊥(ABC). Góc (SBC) và (ABC) bằng 30, M là trung điểm SC. Tính V(S.ABM) (
3
12 3 V = a ).
2. (CĐ2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. (SAB)⊥(ABCD), ,SA=SB, góc SC và đáy bằng 450. Tính V(S.ABCD) . ( 3 5
6 V = a ).
3. (CĐ 2009) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB =a, SA a= 2. Gọi M,N,P là trung điểm SA, SB, CD. CMR : MN vuông góc SP và tính V(AMNP) ?
4. (CĐ 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang. Góc BAD, ABC cùng bằng 90.
BA=BC=a, AD=2a, SA vuông góc với đáy và SA=2a. Gọi M, N là trung điểm SA, SD. CMR : BCNM là HCN và tính V(S.BCNM) ?
5. (TN 2011) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A, D, AD=CD=a, AB=3a,
( )
SA⊥ ABCD , SC tạo với đáy góc 450. Tính thể tích S.ABCD. ( 2 2 3 3 V = a ).
6. (TN 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc giữa (SBD) và đáy bằng 600. Tính V(S.ABCD) .
7. (TN 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là HCN tâm O; SA=SB=SC=SD. Biết AB=3a, BC=4a và góc OAS bằng 450. Tính V(S.ABCD) .
8. (TN 2009) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Biết góc BAC bằng 120. Tính V(S.ABCD) ?
9. (TN 2008) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy a, cạnh bên 2a. Gọi I là trung điểm BC. CMR : SA vuông góc BC, và tính V(S.ABI) ?
10.(TN 2007) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết SA=AB=BC=a. Tính V(S.ABC) ?
11.(TN 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh SB a= 3 .
a) Tính V(S.ABCD)?
b) CMR : trung điểm SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD .
12.(B – 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, SA=a, SB a= 3 và mp (SAB) vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N là trung điểm Ab, BC. Tính V(S.BMDN) và cosin của góc giữa 2 đường thẳng SM, DN.
13.(A – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là t.giác đều và nằm trong mp vuông góc với đáy. Gọi M, N, P là trung điểm của SB, BC, CD. CMR : AM vuông góc với BP, và tính V(CMNP).
14. (B – 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng với D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. CMR : MN vuông góc BD và tính d(MN; AC).
15. (D – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, góc ABC, BAD bằng 90. BA=BC=a, AD=2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a= 2. Gọi H là hình chiếu của A trên SB. CMR : t.giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H tới (SCD).
16. (B – 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là HCN với AB=a, AD a= 2, Sa=a và SA vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N là trung điểm AD, SC; I là giao điểm của BM và AC. CMR : mp(SAC) vuông góc mp(SMB) và tính V(ANIB).
17. (B – 2004) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng α . Tính tan của góc giữa 2 mp (SAB) và (ABCD), V(S.ABCD)?
18. (A – 2002 ) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M, N là trung điểm SB, SC. Tính S(AMN), biết rằng mp(AMN) vuông góc với mp(SBC).
19. (D – 2002) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với (ABC), AC=AD=4, AB=3, BC=5. Tính khoảng cách từ A tới mp(BCD) ?
1. Phương pháp gián tiếp.
a) Cơ sở : Để tính V(H) ta có thể tính thể tích V’ của một khối chóp khác đơn giản hơn. Dựa vào mối quan hệ giữa V và V’ => V.
b) Một số tính chất.
+ Cùng chiều cao :
' '
V B
V = B + Chung đáy :
' '
V h
V = h + Sử dụng :
' ' '
. .
' ' '
SABC SA B C
V SA SB SC
V = SA SB SC (CT chỉ dùng cho hình chóp tam giác) Bài 1(CĐ 2011)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là t.giác ABC vuông cân tại B. AB = a, SA⊥(ABC). Góc (SBC) và (ABC) bằng 300, M là trung điểm SC. Tính thể tích S.ABM. (
3
12 3 V = a ) Gợi ý : Bài toán có thể giải theo 3 phương pháp
1. Tính trực tiếp : Coi M là đỉnh .
2. Gián tiếp : Coi B là đỉnh, so sánh với thể tích S.ABC.
3. Phân chia khối đa diện : V =V SABC( )−V MABC( ) Bài 2 (CĐ 2009)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB=a, SA a= 2. Gọi M, N, P là trung điểm SA, SB, CD. CMR : MN ⊥SP, và tính V(AMNP) ?
Gợi ý : 1 1 1 3 6
( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( )
4 4 8 48
V P AMN =V C AMN = V C SAB = V S ABC = V SABCD = a . Bài 3 (D – 2010 )
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA=a. Hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) là H thuộc AC sao cho AC=4.AH. Gọi CM là đường cao của SAC. CMR : M là trung điểm SA và tính V(SMBC) ?
Gợi ý : 1 1 3 14
( ) ( . ) ( . ) ( . )
2 2 48
V SMBC =V C SMB = V C SAB = V S ABC = a . Bài 4 (Thử ĐT 2010 lần 2)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a, M,N là trung điểm SA, BC. Biết góc MN và (ABCD) bằng 600. Tính V(SMNC)?
Gợi ý : 1 30
( . ) ( . ) ( . ) .
3 ANC 48
V S MNC =V A MNC =V M ANC = MH S = a . Bài 5 (Thử ĐT 2011)
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB=5, BC=6, AC=9, 27 SA SB C= = = 4 . Tính V(S.ABCD) ?
Gợi ý : V(S.ABCD)=2.V(S.ABC) Theo herong : (S ABC) 10 2= .
Do SA=SB=SC nên kẻ đường cao SH thì H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.
SA=R 4
abc
= S , tính được SA => tính được SH => V(S.ABCD)=45.
Bài 6 (Thử ĐT lần 2 – 2011 )
Cho tứ diện OABC có OA=2, OB=3, OC=4, các góc ở đỉnh S bằng 600. Tính V(O.ABC) ? Gợi ý : Áp dụng
' ' '
. .
' ' '
SABC SA B C
V SA SB SC
V = SA SB SC . KQ : V =2 2 Trên OB, OC lấy OB’=OC’=2 ta tính được V(OAB’C’).
Bài 7 (B – 2009 )
Cho lăng trụ ABC.A’BC’ có BB’=a, góc giữa BB’ và (ABC) bằng 600. Hình chiếu vuông góc của B’
lên (ABC) trùng với trọng tâm ∆ABC. Tính V(A’ABC).
KQ : V(A’ABC)=V(B’.ABC) =9 3 208
a
• G là trọng tâm ∆ABC=> góc B’BG bằng 600 => 3
2 4
a a
BG= => BD= (D trung điểm AC)
• Đặt AB=x, biểu diễn BC, CD theo x, dựa vào ∆BCD=> x . Bài 8
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là HV cạnh a, cạnh bên SA=2a và vuông góc với đáy. Gọi B’, C’, D’ là hình chiếu của A trên SB, SC, SD.
a) CMR : A, B’, C’ D’ đồng phẳng . (cùng nằm trên mp vuông góc với SC).
b) Tính V(S.AB’C’D’) Gợi ý : Áp dụng
' ' '
. .
' ' '
SABC SA B C
V SA SB SC
V = SA SB SC bằng cách chia khối chóp tứ giác thành 2 khối chóp tam giác.