CHUYÊN ĐỀ 12: HÌNH HỌC PHẲNG
Dạng 1: Viết pt mp biết điểm thuộc mp và vectơ pháp tuyến
Loại 1: Mặt phẳng (P) qua điểm M x ;y ;z( 0 0 0) và có vectơ pháp tuyến nr =(A;B;C).
Phương pháp:
• Mặt phẳng (P) qua điểm M x ;y ;z( 0 0 0).
• Mặt phẳng (P) có VTPT nr =(A;B;C) .
• Ptmp (P): A x x( − 0) +B y y( − 0) +C z z( − 0) =0.
Loại 2: Mặt phẳng (P) qua điểm M x ;y ;z( 0 0 0) và song song hoặc chứa giá của hai vectơ a , br r
. Phương pháp:
• Mặt phẳng (P) qua điểm M x ;y ;z( 0 0 0).
• Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là
( ) ( )
a= ... , br r = ....
• Mặt phẳng (P) có VTPT nr = a,br r .
• Ptmp(P): A x x( − 0) +B y y( − 0) +C z z( − 0) =0.
Dạng 2: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và song song với mp(Q).
Phương pháp:
• Do mp(P) song song mp(Q) nên pt có dạng:
Ax+By+Cz+m=0, với m D≠ .
• Vì M thuộc mp(P) nên thế tọa độ của M và pt (P) ta tìm được m.
Chú ý: Hai mp song song cùng vectơ pháp tuyến.
Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;-2;3) và song song với mp(Q): 2x-2y-z-1=0.
Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ và song song với mặt phẳng (Q): 2x-y-10=0.
Bài 3: Cho hai điểm M(-1;-2;-3), N(-3;-2;-1). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua trung điểm của đoạn thẳng MN và song song với mặt phẳng (Q): 3x-y+z-10=0.
Bài 4: Cho ba điểm A(2;1;0), B(3;-1;-2), C(1;-2;-1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trọng tâm tam giác ABC và song song với mặt phẳng (Q): y-2z-1=0.
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d.
Phương pháp:
• Mặt phẳng (P) đi qua M.
38
M
n r
P)
a r
b r n a b ,
= r r r
P)
Q)
M
nQ
uur
M
uur ad
d
•
• Mặt phẳng (P) có VTPT: nuur uurP =ad =(a ;a ;a1 2 3).
• Ptmp(P): A x x( − 0) +B y y( − 0) +C z z( − 0) =0
Bài 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ và vuông góc với đường thẳng d:
x 2 t y 1 2t z 1 2t
= −
= +
= −
.
Bài 6: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua trung điểm đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng d:
x t y 1 z 1 2t
=
=
= −
, biết A(1;2;3), B(3;2;1).
Bài 7: Cho ba điểm A(2;1;0), B(3;-1;-2), C(1;-2;-1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với đường thẳng d: x 1 y z 1
2 1 2
− = = +
− − . Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C.
Phương pháp:
• Mặt phẳng (P) đi qua A.
• Mặt phẳng (P) có VTPT: n= AB,AC r uuur uuur
.
• Pt(P): A x x( − 0) +B y y( − 0) +C z z( − 0) =0
Bài 8: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
Bài 9: Cho ba điểm A(-2;0;0), B(0;-2;0), C(0;0;-2). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm A, B, C.
Bài 10: Cho ba điểm A(1;1;1), B(-1;-1;-1), C(0;1;0). Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
Bài 11: Cho ba điểm A(-2;0;2), B(2;-2;0), C(0;-2;2). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm A, B, C.
Bài 12: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng A(0;1;1), B(-1;0;1), C(2;0;1).
Bài 13: Cho ba điểm A(0;-1;-1), B(-1;1;1), C(2;0;-1). Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
Bài 14: Cho hai điểm A(2;-1;0), B(-1;2;1) .Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm O, A, B .
Bài 15: Cho ba điểm A(0;-1;-1), B(-1;1;1), C(4;3;-3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trọng tâm tam giác ABC, gốc tọa độ và điểm A .
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai điểm A, B và vuông góc với mp(Q).
Phương pháp:
• Mặt phẳng (P) qua điểm A.
• Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là:
AB ...nuuur= uurQ =....
.
, n= AB AC r uuur uuur
A B
C
B n uur Q
P)
Q) A
• Nên mp(P) có VTPT: n= AB,nQ r uuur uur
.
• Ptmp(P): A x x( − 0) +B y y( − 0) +C z z( − 0) =0
Bài 16: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(2;- 1;-1), B(1;0;1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): 2x-y-z-1=0.
Bài 17: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1;1;1), B(2;1;1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): 2x-y-1=0.
Bài 18: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(0;1;0), B(1;0;1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): 2x-3y-2z- 1=0.
Dạng 6:
Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d và d’.
Hoặc viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d song song với đường thẳng d’.
Phương pháp:
• Mặt phẳng (P) qua điểm M d∈ .
• Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: auurd =...auurd' =....
.
• Mp(P) có VTPT: n= a ,ad d' r uur uur
.
• Ptmp(P): A x x( − 0) +B y y( − 0) +C z z( − 0) =0
Bài 19: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đt cắt nhau d:
x 2 x 2 2t
y 2t , d': y 4 z 1 2t z 3 t
= = − −
= = −
= − = −
. Bài 20: Cho bốn điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1).
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AC và song song với BD.
2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa DC và song song với AB.
3. Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa BC và song song với AD.
Bài 21: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau d:
x 1 t x 1 y 2 z 4 , d': y t
2 1 3
z 2 3t
= − +
− = + = − = −
− = − +
.
Bài 22: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d: x 1 y 2 z 3
1 2 3
− = − = − và song song với đường
thẳng d’:
x 1 t y t z 1 t
= −
=
= +
.
Bài 23: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d:
x 1 y 4 2t z 3 t
=
= − +
= +
và song song với đường thẳng
d’:
x 3 3t y 1 2t
z 2
= −
= +
= −
.
Bài 24: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d:
x 2 2t y 1 t z 1
= +
= − +
=
và song song với đường thẳng d’:
x 1 y 1 t z 3 t
=
= +
= −
.
Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d.
Phương pháp:
• Chọn điểm M thuộc đt d.
• Mặt phẳng (P) qua điểm A.
• Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là:
AM ...auuuur= uurd =....
.
• Nên mp(P) có VTPT: n= AM,ad r uuuur uur
.
• Ptmp(P): A x x( − 0) +B y y( − 0) +C z z( − 0) =0
Bài 25: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A(2;0;-1) và đường thẳng d:
x 2 t y 1 2t z 1 2t
= −
= +
= −
.
Bài 26: Viết phương trình mặt phẳng(P) đi qua gốc tọa độ và chứa đt d: x 1 y z 1
2 1 2
− = = +
− − . Bài 27: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;-1;-3) và chứa trục Ox.
Bài 28: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;-1;-3) và chứa trục Oy.
Bài 29: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;-1;-3) và chứa trục Oz Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (P) là mp trung trực của
đoạn thẳng AB.
Phương pháp:
• Gọi I là trung điểm AB⇒ I=( )...
• Mặt phẳng (P) qua điểm I.
• Mặt phẳng (P) có VTPT n ABr uuur= .
• Ptmp (P): A x x( − 0) +B y y( − 0) +C z z( − 0) =0.
P)
A I B
Bài 30: Cho hai điểm A(2;1;0), B(-2;-3;4). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Bài 31: Cho hai điểm A(-2;3;0), B(-2;-3;-4). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Bài 32: Cho hai điểm A(2;1;0), B(-4;-1;4). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Dạng 9: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và vuông góc với hai mp (Q) và (R).
Phương pháp:
• Mặt phẳng (P) qua điểm M.
• Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: nuurQ =...,nuurR =....
.
• Nên mp(P) có VTPT: n= n ,nQ R r uur uur
.
• Ptmp(P): A x x( − 0) +B y y( − 0) +C z z( − 0) =0
Vấn đề 4: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S):
Dạng 1: Lập phương trình mp(P) tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm A.
Phương pháp:
• Xác định tâm I của mc(S).
• Mặt phẳng (P) qua điểm A.
• Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n IAr uur= .
• Ptmp(P): A x x( − 0) +B y y( − 0) +C z z( − 0) =0
Dạng 2: Viết pt mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến nr =(m;n;p) và tiếp xúc mặt cầu (S).
Phương pháp:
• Trước tiên: Ta xác định tâm I và bán kính r của mặt cầu.
• Ptmp(P) có dạng: Ax+By+Cz+D=0.
Vì mp(P) có VTPT nr =(m;n;p) ⇒mx ny pz+ + + =D 0.
• Do mp(P) tiếp xúc mc(S)⇔ d I; P( ( ) ) =r
Chú ý: A B
A B A B
=
= ⇔ = − .
Dạng 2.1: Viết phương trình mặt phẳng(P ) tiếp xúc với mặt cầu và song song với mặt phăng (Q ):Ax+By+Cz+D= 0
• Vì (P)//(Q)=>(P) và (Q) có cùng véc tơ pháp tuyến
• Áp dụng dạng 2 =>pt(P)
r = d(I,(P)) I
P)