1.3 Biểu diễn thời gian tần số
1.3.2. Biến đổi sóng nhỏ
Biến đổi sóng nhỏ là một trong những phép biến đổi tích phân quan trọng trong nghiên cứu giải tích thời gian - tần số. Để đơn giản, trước hết, chúng ta nghiên cứu về sóng nhỏ một chiều. Sóng nhỏ nhiều chiều được nghiên cứu thông qua phép tính tensor của các sóng nhỏ một chiều.
Định nghĩa 1.13. Một hàm ψ ∈ L2(R) được gọi là một sóng nhỏ phân tích nếu nó thỏa mãn Z ∞
−∞
ψ(t)dt = 0 (1.31)
Chú ý 1.6. Nếu ψ ∈ L1(R)∩L2(R) thỏa mãn Cψ = 2π
Z
R
|ψ(ω)ˆ |2
|ω| < ∞ (1.32)
trong đó ψ(ω)ˆ là phép biến đổi Fourier của hàm ψ, thì (1.31) được thỏa mãn. Vì vậy điều kiện (1.32) được gọi là điều kiện sóng nhỏ chấp nhận được. Thật vậy, từ (1.32) ta suy ra lim
ω→0
ψ(ω) = 0ˆ và do tính liên tục của phép biến đổi Fourier, ta có 0 = ˆψ(0) = R∞
−∞ψ(t)dt.
Bổ đề 1.5. Cho ϕ là một hàm khác 0, khả vi n lần (n≥ 1), với ϕ(n) ∈ L2(R). Khi đó hàm số
ψ(x) = ϕ(n)(x), x∈ R (1.33) là một sóng nhỏ phân tích.
Chứng minh. Từ tính chất của phép biến đổi Fourier, ta có
|ψ(ω)ˆ | = |ω|k|ϕ(ω)ˆ |. (1.34) Khi đó
Cψ = 2π Z
R
|ψ(ω)ˆ |2
|ω| dω
= 2π Z
R
|ω|2k|ϕ(ω)ˆ |2
|ω| dω
= 2π Z 1
−1|ω|2k−1|ϕ(ω)ˆ |2dω+ 2π Z
|ω|>1
|ω|(2k)|ψ(ω)ˆ |2
|ω|
≤ 2π(||ϕ||2L2 +||ϕ(k)||2L2) < ∞
vì vậy (1.32) được thỏa mãn, có nghĩa làψ là một sóng nhỏ phân tích.
Bổ đề 1.6. Cho0 6= ψ ∈ L1(R)∩L2(R)với R
Rψ(t)dt = 0và R
R|x|βψ(x)dx <
∞ với β > 12 nào đó. Khi đó ψ là một sóng nhỏ phân tích.
Chứng minh. Không làm mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả sử rằng 12 < β ≤ 1. Từ điều này suy ra 1 + |x|β ≥ (1 + |x|)β và R
R(1 +
|x|)β|ψ(x)|dx < ∞
Đặt ϕ(x) = Rx
−∞ψ(t)dt, ta có ϕ là khả vi hầu khắp nơi và ϕ(x) = ψ(x).
Với x ≤ 0, chúng ta thấy rằng
|ϕ(x)| ≤ Z x
−∞
(1 +|t|)−β(1 +|t|)β|ψ(t)|dt
|ϕ(x)| ≤ 1 (1 +|x|)β
Z
R
(1 +|t|)β|ψ(t)|dt (1.35) Nếu x > 0 thì do giá trị tích phân của ψ bằng 0 nên ta suy ra
ϕ(x) = −R∞
x ψ(t)dt
Điều này chỉ ra rằng (1.35) thỏa mãn với ∀x ∈ R. Từ (1.35) suy ra ϕ ∈ L2(R). Bởi vì ϕ0 = ψ ∈ L2(R), nên theo Bổ đề 1.5, ta có ψ là một sóng nhỏ phân tích.
Sau đây, chúng ta sẽ xét một số ví dụ về sóng nhỏ.
Ví dụ 1.1. (Sóng nhỏ Haar). Cho hàm ψ
y = ψ(x) =
1, nếu 0 ≤ x < 12
−1, nếu 12 ≤ x ≤ 1
0, với những x còn lại trên R
(1.36)
Ta có Z +∞
−∞
ψ(x)dx = Z 0
−∞
ψ(x)dx+ Z 12
0
ψ(x)dx+ Z 1
1 2
ψ(x)dx+
Z +∞
1
ψ(x)dx
= 0 + Z 12
0
dx− Z 1
1 2
dx+ 0
= 0.
Mặt khác, ψ(x) có giá là tập compact [0; 1]. Có thể kiểm tra được ψ(ω) =ˆ 1
2π
(sinω4)
ω 4
e−i(ω−π)2 .
y
1
-1
O 1
2 1 x
Hình 1.1: Sóng nhỏ Haar
và
Z +∞
−∞
|ψ(ω)ˆ |2
|ω| dω = 8 π
Z +∞
−∞
|sinω4|4
|ω|3 dω < ∞.
Hàm ψ được xác định ở trên được gọi là sóng nhỏ Haar. Sóng nhỏ Haar là không liên tục tại x = 0, x= 12, x = 1
Ví dụ 1.2. (Sóng nhỏ mũ Mexico). Xét hàm ψ cho bởi đẳng thức ψ(x) = (1−x2)e−x
2
2 , x ∈ R.
Đồ thị của ψ có hình dạng như là một chiếc mũ của người Mexico, nên người ta gọi nó là hàm mũ Mexico (Mexico hat). Hàm này thỏa mãn đẳng thức (1.33) của bổ đề 1.5, cụ thể là
ψ(x) = (1−x2)e−x
2
2 = ψ(2)(x), x∈ R với ϕ(x) = −e−x22
Mặt khác, ψ(2)(x) ∈ L2(R), vì vậy nó là một sóng nhỏ phân tích
-1
O x
1
1 y
-2e−32
Hình 1.2: Sóng nhỏ mũ Mexico
(theo bổ đề 1.5). Rõ ràng hàm số này không có điểm gián đoạn.
Định lý tiếp theo có thể được sử dụng để tạo ra những sóng nhỏ phân tích mới.
Định lý 1.16. Cho ψ là một sóng nhỏ phân tích và ϕ là hàm bị chặn khả tích, khi đó hàm tích chập ψ∗ϕ là một sóng nhỏ phân tích.
Chứng minh. áp dụng bất đẳng thức Minkowski, ta có Z ∞
−∞ | (ψ∗ϕ)(x)|2 dx= Z ∞
−∞| Z ∞
−∞
ψ(x−t)ϕ(t)dt|2dx
≤ Z ∞
−∞
[ Z +∞
−∞ |ψ(x−t)||ϕ(t)|dt]2dx
= Z ∞
−∞
[ Z ∞
−∞|ψ(x−t)|2|ϕ(t)|12|ϕ(t)|12dt]dx
≤ Z ∞
−∞
[ Z ∞
−∞|ψ(x−t)|2|ϕ(t)|dt Z ∞
−∞|ϕ(t)|dt]dx
≤ Z ∞
−∞|ϕ(t)|dt Z ∞
−∞
Z ∞
−∞|ψ(x−t)|2|ϕ(t)|dxdt
= ( Z ∞
−∞|ϕ(t)|dt)2 Z ∞
−∞|ψ(x)|2dx < ∞. do ϕ là sóng nhỏ.
Từ đó suy ra ψ∗ϕ∈ L2(R). Hơn nữa Cψ∗ϕ = 2π
Z ∞
−∞
|ψ ∗ϕ(ω)|2
|ω| dω
= 2π Z ∞
−∞
|ψ(ω) ˆˆ ϕ(ω)|2
|ω| dω
= 2π Z ∞
−∞
|ψ(ω)ˆ |2
|ω| |ϕ(ω)ˆ |2dω
≤2π Z ∞
−∞
[|ψ(ω)ˆ |2
|ω| dω] sup|ϕ(ω)ˆ |2 < ∞. Định lý 1.17. Cho
A =
ψ ∈ L2(R)|ψ 6= 0,R∞
−∞ϕ(t)dt= 0 và ψ có giá compact . Khi đó A là tập hợp con trù mật của L2(R).
Chứng minh. Cho h ∈ L2(R), ta có ˆh ∈ L2(R). Xét hàm hε được xác định bởi
hˆε(ω) =
ˆh(ω), nếu |ω| ≥ ε 0, nếu |ω| < ε
(1.37)
Khi đó, với mọi ε, h thỏa mãn (1.32) và vì vậy theo Chú ý 1.6, hε
là một sóng nhỏ phân tích, mặt khác ||h||L2 = ||ˆh||L2, do đó
||hε −h||2L2 = R∞
−∞|ˆh(ω)|2dw → 0 khi ε → 0. Điều này có nghĩa là mọi hàm h trong L2 được coi như là một giới hạn của một dãy các sóng nhỏ, do đó A là trù mật trong L2(R).
Định lý trên có ý nghĩa về mặt lý thuyết rằng các lớp sóng nhỏ phân tích có giá compact trongL2(R)đủ để đặc trưng không gian L2(R).
Định nghĩa 1.14. Phép biến đổi sóng nhỏ liên tục Tψ của một hàm f ∈ L2(R) đối với sóng nhỏ phân tích ψ được xác định bởi
F(a, b) = Tψf(a, b) = 1 p|a|
Z
R
f(t)ψ(t−b
a )dt (1.38) với a ∈ R\ {0}, b ∈ R và ψ là kí hiệu liên hợp phức của ψ.
Rõ ràng là đối với một hàm giá trị thực, ψ = ψ.
Chú ý 1.7. i) Nếu chúng ta coi ψa,b(t) = 1
p|a|ψ(t−b
a ), a > 0, b ∈ R (1.39) ở đây ψ là một hàm cố định, thường được gọi là sóng mẹ, thì (1.38) có thể được viết là Tψf(a, b) =< f, ψa,b > là tích vô hướng của f với ψa,b. ii) Bởi phép biến đổi của sóng nhỏ được biểu diễn như là tích vô hướng của f với ψa,b(t), nên nó là tuyến tính. Bởi vậy, bằng cách sử dụng các tính chất của tích vô hướng, chúng ta có thể kiểm tra được những khẳng định dưới đây là đúng đắn:
Cho ψ và ϕ là các sóng nhỏ và f, g ∈ L2(R). Khi đó hệ thức sau đây được thỏa mãn:
1) Tψ(αf +βg)(a, b) = αTψf(a, b) +βTψg(a, b), với ∀α, β ∈ R.
2) Tψ(Scf)(a, b) = Tψf(a, b −c), trong đó Sc là toán tử tịnh tiến xác
định bởi Scf(t) = f(t−c).
3) Tψ(Dcf)(a, b) = (√1c)Tψf(ac, bc),c > 0 và Dc là toán tử giãn được xác định bởi Dcf(t) = 1cf(ct).
4) Tψφ(a, b) = Tφψ(1a,−ab), a6= 0.
5) Tαψ+βφ(a, b) = αTψf(a, b) +βTφf(a, b), với mọi α, β ∈ R.
6)TAψAf(a, b) = Tψf(a,−b) ở đây A được xác định bởi Aψ(t) = ϕ(−t).
7) (TScψf)(a, b) = Tψf(a, b+ca).
8) (TDcψf)(a, b) = (√1c)Tψf(ac, b), c > 0
Chú ý 1.8. Ta kí hiệu phép giãn Dαf(x) = |a|−12 f(a−1x), a 6= 0, phép giãn này bảo toàn hình dạng của hàm f, nhưng thay đổi tỉ lệ. Nếu giá của hàm f là tập E thì giá của phép giãn Daf là aE, thành phần |a|−12 được chọn sao cho Da là toán tử unita trên L2(R). Biến đổi Fourier của phép giãn thỏa mãn Ddaf(ω) = D1
a
fˆ(ω). Lúc đó ta có thể viết lại biến đổi sóng nhỏ liên tục của f bởi
Wψf(a, b) = |a|−12 Z
Rf(t)ψ(a−1(t−b))dt =< f, TbDaψ >
Trong đó Tb là toán tử dịch chuyển, Tbf(t) = f(t−b).
Nếusuppψ ⊂ Evà Ecó tâm là gốc tọa độ thìsuppTbDaψ ⊂ b+aE là một lân cận của điểm b với kích thước a. Do đó Wψf(a, b) mã hóa thông tin của f tại điểm b. Thang bậc a chỉ giải pháp tại chi tiết địa phương đến mức nào sẽ được quan sát. Với mỗi a > 0 cố định, biến đổi sóng nhỏ liên tục có thể được hiểu như là một xấp xỉ của f chi tiết ở mức a tại mỗi điểm b. Mặt khác, với mỗi b cố định và cho a → 0, Wψf(., b) phóng to tại b và giống như là kính viễn vọng phân tích chi tiết địa phương tại b. Mặt phẳng được xác định bởi biến số (a, b) được gọi là thang bậc - không gian hoặc mặt phẳng thời gian - tần số.
Tương tự như phép biến đổi Fourier, người ta cũng rất quan tâm đến việc khôi phục một hàm thuộc L2(R) từ phép biến đổi sóng nhỏ
liên tục. Cơ sở để xác định một hàm từ phép biến đổi sóng nhỏ liên tục là việc nghiên cứu biến đổi ngược. Trong phép biến đổi Fourier của các hàm thuộc L2(R), việc nghiên cứu biến đổi Fourier ngược có thể bắt đầu từ đẳng thức Parseval. Dưới đây lần lượt là các định lý về công thức Parseval đối với các phép biến đổi sóng nhỏ, phép đẳng cự của phép biến đổi sóng nhỏ liên tục và công thức ngược của nó.
Định lý 1.18. (Đẳng thức Parseval). Cho ψ ∈ L2(R) thỏa mãn (1.32), nghĩa là ψ là một sóng nhỏ. Khi đó, với bất kỳ f, g ∈ L2(R), đẳng thức sau đây là đúng
< f, g >= 1 Cψ
Z ∞
−∞
Z ∞
−∞
(Tψf)(a, b)(Tψg)(a, b)dbda
a2 . (1.40) Chứng minh. áp dụng công thức Parseval đối với phép biến đổi Fourier, ta có
(Tψf)(a, b) =< f, ψa,b >
= Z ∞
−∞
fˆ(x)|a|12eibxψ(ax)dxˆ
= (2π)12F n
|a|12fˆ(x) ˆψ(ax)o (−b) và
Tψg(a, b) = < ˆg,ψˆa,b > = Z ∞
−∞
ˆ
g(x)|a|12ψ(ax)eˆ −ibxdx
= (2π)12F n
|a|12g(x) ˆˆ ψ(ax)o (−b).
Khi đó áp dụng công thức Parseval đối với phép biến đổi Fourier
và định lý Fubuni, ta có Z ∞
−∞
Z ∞
−∞
(Tψf)(a, b)(Tψg)(a, b)dbda a2 =
= 2π Z ∞
−∞
Z ∞
−∞
F n
fˆ(x) ˆψ(ax)o
(−b)F n ˆ
g(x) ˆψ(ax)o
(−b)dadb a
= 2π Z ∞
−∞
Z ∞
−∞
fˆ(x)ˆg(x)|ψ(ax)|2dxda a
= 2π Z ∞
−∞|ψ(ax)|2da a
Z ∞
−∞
fˆ(x)ˆg(x)dx
= 2π Z ∞
−∞
|ψ(ωx)|2
|ω| dx < f ,ˆ g >ˆ
= Cψ < f, g > .
Định lý 1.19. (Calderon, Grossman, Morlet). Cho ψ ∈ L2(R) thỏa mãn (1.32). Khi đó, với bất cứ f ∈ L2(R) nào, những đẳng thức dưới đây là đúng
f(t) = 1 Cψ
Z ∞
−∞
Z ∞
−∞
(Tψf)(a, b)|a|−12 ψ(t−b
a )dbda
a2 (1.41)
Z ∞
−∞|f(t)|2dt = 1 Cψ
Z ∞
−∞
Z ∞
−∞|(Tψf)(a, b)|2dbda
a2 (1.42) Đẳng thức (1.42) có thể được viết là
||f||L2 = ||(Tψf)(a, b)||L2(R2,dadba2 ). (1.43) Công thức (1.41) được gọi là công thức nghịch đảo.
Chứng minh. Với bất kỳ g ∈ L2(R) theo định lý 1.18 và định lý Fubuni,
chúng ta có
Cψ < f, g >=< Tψf, Tψg >
= Z ∞
−∞
Z ∞
−∞
Tψf(a, b)Tψg(a, b)dbda a2
= Z ∞
−∞
Z ∞
−∞
Tψf(a, b) Z ∞
−∞
g(t)ψa,b(t)dtdbda a2
= Z ∞
−∞
Z ∞
−∞
Z ∞
−∞
Tψf(a, b)ψa,b(t)dbda
a2 g(t)dt
=<
Z ∞
−∞
Z ∞
−∞
Tψf(a, b)ψa,b(t)dbda a2 , g >
hay
< Cψf − Z ∞
−∞
Z ∞
−∞
Tψf(a, b)ψa,b(t)dbda
a2 , g > = 0, ∀g ∈ L2(R).
Từ đó suy ra Cψf −
Z ∞
−∞
Z ∞
−∞
Tψf(a, b)ψa,b(t)dbda a2 = 0.
và do vậy chúng ta có (1.41).
Bây giờ chúng ta chứng minh (1.42). Do phép biến đổi Fourier theo biến b của Tψf(ξ, b) là √
2πξfˆ(ω)(ξω), áp dụng đẳng thức Parseval của phép biến đổi Fourier đối với vế phải của (1.42) cho ta
1 Cψ
Z ∞
−∞
Z ∞
−∞|Tψf(ξ, b)|2dbdξ ξ2 =
= 1 Cψ
Z ∞
−∞|fˆ(ω)|22π
Z ∞
−∞|ψ(ω)(ξω)ˆ |2dξ ξ
dω
= Z ∞
−∞|fˆ(ω)|2dω = ||f||2. Từ đó suy ra (1.42).
Định lý được chứng minh.
Trong những ứng dụng thực tế, đặc biệt là những ứng dụng liên quan đến thuật toán nhanh, phép biến đổi sóng nhỏ liên tục chỉ có thể
được tính toán trên một lưới rời rạc các điểm (an, bn), n ∈ Z mà ta gọi là mẫu. Vấn đề quan trọng là sự lựa chọn mẫu thế nào để mà nó chứa tất cả thông tin về hàm f. Đối với một sóng nhỏ ψ , chúng ta xác định các hàm
ψm,n(t) = a0n2ψ(an0t−b0m), m, n∈ Z,
Với a0 > 1 và b0 > 0 là những tham số cố định. Hàm ψ khi đó được gọi là sóng mẹ, còn họ các hàm ψm,n được gọi là sóng nhỏ.
Định nghĩa 1.15. Phép biến đổi sóng nhỏ rời rạc là ánh xạT : L2(R) −→
l2(Z2) được xác định bởi T(f) = ((T(f))m,n)m,n∈Z với (T(f))m,n =< f, ψm,n >= a
n 2
0
Z ∞
−∞
f(x)ψ(an0x+mb0)dx,∀f ∈ L2(R) (1.44) Có hai câu hỏi đặt ra đối với phép biến đổi sóng nhỏ rời rạc:
i) Dãy (T(f))m,n có hoàn toàn đặc trưng cho hàm f hay không?
ii) Có thể khôi phục lại hàm f từ dãy (T(f))m,n hay không?
Những câu hỏi này có liên quan mật thiết đến khái niệm của các khung mà chúng ta sẽ đề cập tóm tắt dưới đây trong một không gian Hilbert bất kỳ:
Định nghĩa 1.16. (Khung). Một dãy {ϕn}n∈Z trong một không gian Hilbert H được gọi là một khung (frame) nếu tồn tại các số A, B với 0< A ≤B sao cho
A||f||2 ≤ X∞
n=1
| < f, ϕn > |2 ≤ B||f||2,∀f ∈ H (1.45) Các hằng số A và B được gọi là các cận khung (frame bound).
Nếu A = B thì (1.45) trở thành đẳng thức. Có thể nhận thấy rằng, một khung là một cơ sở trực chuẩn nếu và chỉ nếu A = B = 1.
Định nghĩa 1.17. ( Toán tử khung). Cho {ϕn}n∈Z là một khung trong không gian Hilbert H. Thì toán tử F : H →l2(Z) được định nghĩa bởi
F(f) = (< f, ϕn >)n∈Z.
được gọi là một toán tử khung liên kết với khung {ϕn}n∈Z.
Có thể chứng minh rằng toán tử khungF là tuyến tính, khả nghịch và bị chặn. Kí hiệuF∗ là toán tử liên hợp của toán tử khungF. Với phần tử tuỳ ý α = (αn) ∈ l2(Z), chúng ta có
< F∗α, f > =< α, F f >=
X∞
n=1
αn< f, ϕn >
= X∞
n=1
αn < ϕn, f >=<
X∞
n=1
αnϕn, f >
Do vậy toán tử liên hợp F∗ của toán tử khung F có dạng sau F∗(α) =
X∞
n=1
αnϕn,α = {αn} ∈ l2(Z) (1.46) Do P∞
n=1| < f, ϕn > |2 = ||F f||2 =< F∗F f, f >, nên bất đẳng thức (1.45) có thể được viết là
AI ≤ F∗F ≤ BI (1.47)
theo nghĩa A(f, f) ≤(F∗F f, f) ≤ B(f, f),∀f ∈ H
trong đó I là toán tử đơn vị. Bất đẳng thức (1.47) khẳng định F∗F là khả nghịch.
Định lý 1.20. Cho {ϕn}n∈Z là một khung với các cận khung A và B, F là toán tử khung liên kết. Kí hiệu ϕ∼n = (F∗F)−1ϕn. Khi đó n∼
ϕno
n∈Z là một khung với các cận khung là B1 và A1.
Dãy n∼ ϕno
n∈Z được gọi là khung đối ngẫu của {ϕn}n∈Z .
Chứng minh. Vì F∗F khả nghịch nên chúng ta có (F∗F)−1 = ((F∗F)−1)∗
do vậy,
< f,ϕ∼n > =< f,(F∗F)−1ϕn >=< (F∗F)−1f, ϕn >
và do đó X∞
n=1
| < f,ϕ∼n > |2 = X∞
n=1
| < (F∗F)−1f, ϕn > |2
= ||F(F∗F)−1f||2
=< F(F∗F)−1f, F(F∗F)−1f >
=< F(F∗F)−1f, f > . Bây giờ từ (1.47) ta suy ra
1
BI ≤ (F∗F)−1 ≤ 1
AI (1.48)
Điều này có nghĩa là 1
B||f||2 ≤ X∞
n=1
| < f,ϕ∼n > |2 ≤ 1 A||f||2 Vì vậy n∼
ϕno
n∈Z là khung đối ngẫu của {ϕn}n∈Z với các cận là B1 và A1 . Định lý được chứng minh.
Bổ đề 1.7. Cho F là một toán tử khung liên kết với khung {ϕn}n∈Z và toán tử khung F∼ liên kết với khung đối ngẫu n∼
ϕno
n∈Z của nó. Thế thì F∼∗F = I = F∗F∼
Chứng minh. Bởi vì
F(F∗F)−1f = (< (F∗F)−1f, ϕn >) = (< f, ϕn >) = F f∼
chúng ta có
F∼∗F = (F(F∗F)−1)∗F = (F∗F)−1F∗F = I và
F∗F∼ = F∗F(F∗F)−1) =I.
Bổ đề được chứng minh.
Định lý 1.21. Cho {ϕn}n∈Z là một khung trong không gian Hilbert H và khung đối ngẫu n∼
ϕno
n∈Z. Thế thì f =
X∞
n=1
< f, ϕn > ϕ∼n, (1.49) f =
X∞
n=1
< f,ϕ∼n > ϕn, (1.50) với bất kỳ f ∈ H.
Chứng minh. Cho F là một toán tử khung liên kết với khung {ϕn}n∈Z , toán tử khung F∼ liên kết với khung đối ngẫu n∼
ϕno
n∈Z .
Do bổ đề 1.7 ta có F∼∗F = I = F∗F∼, nên với bất kỳ f ∈ H, chúng ta có f = F∼∗F f = F∼∗(< f, ϕn >) =
X∞ n=1
< f, ϕn > ϕ∼n Tương tự, ta cũng có
f = F∗F f∼ = F∗(< f,ϕ∼n >) = X∞
n=1
< f,ϕ∼n > ϕn, Định lý được chứng minh.
Chú ý 1.9. Nếu khung là chặt, thì ϕ∼n = A−1ϕn, vì vậy (2.18) có dạng f = 1
A X∞
n=1
< f, ϕn > ϕn.
Nếu khung là một cơ sở trực chuẩn thì f =
X∞
n=1
< f, ϕn > ϕn.
Định nghĩa 1.18. (Cơ sở Riesz). Một dãy các vector {ϕn} trong một không gian Hilbert H được gọi là một cơ sở Riesz nếu các điều kiện sau được thỏa mãn
i) Tồn tại các hằng số A và B, 0 < A ≤B sao cho A||α|| ≤ ||X
n∈N
αnϕn|| ≤ B||α||
trong đó ||α|| = (P
n∈N|αn|2)12, α = (α1, α2), ..., αn
ii) span{ϕn} = H, nghĩa là nọi tổ hợp tuyến tính hữu hạn các phần tử của {ϕn} trù mật khắp nơi trong H.
Một dãy {ϕn} trong H thỏa mãn điều kiện (i) được gọi là dãy Riesz.
Có thể nhận thấy rằng, một cơ sở Riesz là một trường hợp đặc biệt của các khung và một cơ sở trực chuẩn là một trường hợp điển hình của một cơ sở Riesz, trong đó A = B = 1.Những trường hợp như vậy có thể thu được bằng cách chọn đặc biệt các hàm sóng nhỏ a0 = 2 và b0 = 1, m = j và n = k; đó là ψj,k(t) = 22jψ(2jt−k).
Bằng cách sử dụng lý thuyết khung, ta đã có thể trả lời các câu hỏi bên trên, đặc biệt là trong trường hợp khung chặt hay tồn tại một cơ sở trực chuẩn của L2(R) (xem chú ý 1.9).
Định nghĩa 1.19. Một hàm ψ ∈ L2(R) được gọi là một sóng nhỏ (trực giao), nếu ψ thỏa mãn điều kiện chấp nhận được (1.32), họ các hàm ψj,k(t) được xác định bởi
ψj,k(t) = 2j2ψ(2jt−k) (1.51) trong đó j và k là những số nguyên tuỳ ý, là một cơ sở trực chuẩn trong không gian L2(R) .
Định nghĩa 1.20. Các hệ số sóng nhỏ của một hàm f ∈ L2(R), được kí hiệu bằng dj,k được xác định như là tích vô hướng của f với ψj,k, đó là
dj,k =< f, ψj,k >=
Z
R
f(t)ψj,k(t)dt (1.52) Chuỗi
X
j∈Z
X
k∈Z
< f, ψj,k > ψj,k(t) (1.53) được gọi là chuỗi sóng nhỏ của f. Biểu thức
f(t) = X
j∈Z
X
k∈Z
< f, ψj,k > ψj,k(t) được gọi là phép biểu diễn sóng nhỏ của f.
Nhận xét 1.3. (i) Hệ ψj,k, j, k ∈ Z thích hợp hơn so với hệ các hàm lượng giác trong việc biểu diễn các chi tiết của một dấu hiệu khi nó dao động nhanh. Các hệ số sóng nhỏ dj,k đo lượng biến thiên quanh điểm t = 2−jk với một tần số được xác định bởi chỉ số giãn j. (ii) Thật thú vị khi quan sát thấy dj,k = Tψ(2−j, k2−j) = Biến đổi sóng nhỏ của f với sóng nhỏ ψ tại điểm (2−j, k2−j).
Định nghĩa 1.21. Sóng nhỏ ψ được gọi là có moment bậc n triệt tiêu
nếu Z ∞
−∞
tkψ(t)dt= 0 với mọi k = 1, ..., n. (1.54) Một sóng nhỏ ψ có n moment triệt tiêu và khả nghịch và khả vi lớp Cn triệt tiêu nhanh, nghĩa là với mọi k = 1, ..., n và m ∈ N, tồn tại Mn sao cho
∀t ∈ R,|ψ(k)(t)| ≤ Mn
1 +|t|m. (1.55)