Định nghĩa 2.3. Giả sử ϕ∈ L1(R)∩L2(R) sao cho Z ∞
−∞
ϕ(x)dx = 1
Giả sử f ∈ L2(R). Khi đó với 1 ≤ s ≤ ∞, chúng ta xác định biến đổi Stockwell điều chỉnh Sϕsf của f bởi
(Sϕsf)(b, ξ) = (f, ϕb,ξs )L2(R), b ∈ R, ξ ∈ R\ {0},
ở đây
ϕb,ξs = (2π)−1/2MξT−bDξsϕ và toán tử giãn Dξs ở đây xác định bởi
(Dsξ)(x) = |ξ|1/sh(ξx) (2.59) với ∀x ∈ R và mọi hàm đo được h trên R. Rõ ràng hơn,
(Sϕsf)(b, ξ) = |ξ|−1/s0(Sϕf)(b, ξ), b ∈ R, ξ ∈ R\ {0} (2.60) ở đây s0 là chỉ số liên hợp của s, và
(Sϕsf)(b, ξ) = (2π)−1/2|ξ|−1/s Z ∞
−∞
e−ixξf(x)ϕ(ξ(x−b))dx với b ∈ R và ξ ∈ R\ {0}
Trong biểu diễn (2.60), chúng ta thấy rằng biến đổi Stockwell điều chỉnh thay đổi tần số theo cách mà tần số thấp được mở rộng và tần số cao được thu hẹp. Chúng ta chú ý rằng trong trường hợp đặc biệt tần số rất thấp, hầu hết không được phát hiện bởi biến đổi Stockwell, có thể sử dụng biến đổi Stockwell điều chỉnh với s = 2 và biểu thị rõ ràng nếu biến đổi Stockwell điều chỉnh với s= 8 được sử dụng.
Với thừa số chuẩn mới với toán tử giãn trong (2.59) chúng ta cũng có định lý về mối liên hệ với biến đổi sóng nhỏ như sau
Định lý 2.8. Với ∀f ∈ L2(R)
(Sϕsf)(b, ξ) = (2π)−1/2|ξ|(1/2)−(1/s0)(Ωψf)(b,1/ξ), b ∈ R, ξ ∈ R\ {0} Chú ý 2.4. Với s = 2 biến đổi Stockwell điều chỉnh Sϕ2 chính là biến đổi sóng nhỏ.
Tương tự trường hợp s = 1, chúng ta cũng có các định lý sau mà việc chứng minh của chúng hoàn toàn tương tự:
Định lý 2.9. Giả sử ϕ ∈ L2(R) sao cho
||ϕ||L2(R) = 1 Khi đó với mọi hàm f ∈ L1(R)∩L2(R),
Z ∞
−∞
(Sϕf)(b, ξ)db= |ξ|−1/s0fˆ(ξ), ξ ∈ R\ {0}
Một tính chất quan trọng của biến đổi Stockwell điều chỉnh được cho bởi định lý dưới đây trên lời giải của đồng nhất thức.
Định lý 2.10. Giả sử ϕ∈ L1(R)∩L2(R) sao cho Z ∞
−∞
ϕ(x)dx = 1
và Z ∞
−∞
|ϕ(ξˆ −1)|2
|ξ| dξ <∞ Khi đó với ∀f, g ∈ L2(R), chúng ta có
(f, g)L2(R) = 1 cϕ
Z ∞
−∞
Z ∞
−∞
(Sϕsf)(b, ξ)(Sϕsg)(b, ξ) dbdξ
|ξ|1−(2/s0) ở đây
cϕ = Z ∞
−∞
|ϕ(ξˆ −1)|2
|ξ| dξ.
Một hệ quả của định lý 2.10 là với ∀f ∈ L2(R), Sϕsf ∈ L2(R×R, dbdξ
|ξ|1−(2/s0)) và
||Sϕsf||L2(R×R, dbdξ
|ξ|1−(2/s0
)) = √cϕ||f||L2(R) (2.61) Định lý 2.10 cũng chỉ ra rằng mỗi tín hiệu f ∈ L2(R) có thể được xây dựng lại từ phổ Stockwell của nó, nghĩa là công thức
f = 1 cϕ
Z ∞
−∞
Z ∞
−∞
f, ϕb,ξs
L2(R)ϕb,ξs dbdξ
|ξ|1−(2/s0).
Hoàn toàn như trong trường hợp s = 1, chúng ta cũng có thể định nghĩa biens đổi stockwell rời rạc (chuỗi thời gian vô hạn). Dưới đây, chúng ta chọn bước tần số ξ0 và bước thời gian b0 sao cho ξ0 > 1 và b0 > 0. Khi đó chúng ta rời rạc hóa tần số ξ và thời gian b bởi
ξ = ξ0m và
b = nb0ξ0m
Với ∀m, n ∈ Z, chúng ta giả sử φm,n và φm,ns được xác định bởi φm,n = ϕnb0ξm0 ,ξ0m
và
φm,ns = ϕnbs 0ξ0m,ξ−m0
Khi đó chúng ta có công thức nghịch đảo rời rạc dưới đây của một tín hiệu từ biến đổi Stockwell của nó.
Định lý 2.11. Giả sử rằng {φm,n : m, n ∈ Z} là một khung chặt trong L2(R) với cận khung là 1. Khi đó với ∀f ∈ L2(R), chúng ta có
f = 2π X
m,n∈Z
ξ02((1/s)−(1/2))m(f, M−ξ−m
0 φm,ns ).
Kết luận chương 2.
Trong chương này, chúng ta đã trình bày về:
1. Biến đổi stockwell một chiều, nguồn gốc của biến đổi Stockwell, công thức biến đổi ngược, các phiên bản rời rạc hóa.
2. Mở rộng sang trường hợp hai chiều, trình bày các dạng riêng và dạng tổng quát của biến đổi Stockwell hai chiều cùng với định lý về biến đổi ngược.
3. Mở rộng biến đổi Stockwell phụ thuộc một tham biếns, chỉ ra biến đổi Stockwell và biến đổi sóng nhỏ liên tục là các trường hợp đặc biệt khi s= 1 và s = 2.
Luận văn đã đạt được mục đích của đề tài, đó là trình bày tổng quan về biến đổi Stockwell và chứng minh chi tiết một số kết luận mà trong các tài liệu tham khảo không chứng minh. Cụ thể là
1. Biến đổi stockwell một chiều, nguồn gốc của biến đổi Stockwell, công thức biến đổi ngược, các phiên bản rời rạc hóa.
2. Mở rộng sang trường hợp hai chiều, trình bày các dạng riêng và dạng tổng quát của biến đổi Stockwell hai chiều cùng với định lý về biến đổi ngược.
3. Mở rộng biến đổi Stockwell phụ thuộc một tham biếns, chỉ ra biến đổi Stockwell và biến đổi sóng nhỏ liên tục là các trường hợp đặc biệt khi s= 1 và s = 2.
Lý thuyết về phép biến đổi Stockwell là công cụ rất hiệu quả trong nghiên cứu ứng dụng trên lĩnh vực địa vật lý và xử lý ảnh trong y học, luận văn này mới chỉ trình bày các yếu tố lý thuyết toán học thuần túy.
Chúng tôi sẽ tiếp tục triển khai các nghiên cứu ứng dụng của biến đổi này.
72
A. Tài liệu tiếng Việt
[1] Nguyễn Minh Chương (chủ biên), Hà Tiến Ngoạn, Nguyễn Minh Trí, Lê Quang Trung (2002), Phương trình đạo hàm riêng, NXB Giáo dục, Hà Nội.
[2] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học và kỹ thuật, Hà Nội.
[3] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội.
[4] A.N. Kolmogorov và S.V. Fomine (1981), Cơ sở lý thuyết hàm và giải tích hàm, tập 3 (bản dịch tiếng Việt), XNB Giáo dục, Hà Nội.
B. Tài liệu tiếng Anh
[5] Daubechies, I.(1990), "The wavelet transform, time-frequency lo- calization and signal analysis", IEEE Trans. Inform. Theory, Vol 36(5), pp. 961-1005.
[6] Daubechies, I.(1992),Ten lectures on wavelets, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, USA.
[7] Folland, G. B.(1989),Harmonic Analysis in Phase Space, Princeton University Press, Princeton, NJ, USA.
[8] Qiang Guo and M. W. Wong(2008), "Modified Stockwell Trans- forms", To appear.
73