Định nghĩa 3.2.
• Tập hợp tất cả các bội của các phần tử thuộc A, kí hiệu là M(A), được gọi là tập các bội số của A.
• Giả sử B ⊂ Z+, tập B được gọi là tập các bội số nếu tồn tại tập các số nguyên dương A sao cho B = M(A).
Chẳng hạn, nếu A = {2}, M(A1) ⊆ M(A2), thì M(A) là tập các số nguyên dương chẵn. Nếu P là tập hợp các số nguyên tố thì M(P) là tập tất cả các số nguyên n
• Tập con khác rỗng A các số nguyên dương được gọi là tập nguyên thủy nếu với mọi a, a0 ∈ A, quan hệ a chia hết cho a0 kéo theo a = a0.
Nhận xét:
• Nếu A1 ⊂A2 ⊂ Z+ thì M(A1) ⊆ M(A2).
• Nếu A2 là tập nguyên thủy và A1 là tập con thực sự của A2 thì M(A1) là tập con thực sự của M(A2).
Bổ đề 3.2. Cho A là tập các số nguyên dương khác rỗng, và A∗ là tập con của A bao gồm các số nguyên a ∈ A không chia hết cho mọi phần tử của A thì A là tập nguyên thủy và
M(A) =M(A∗).
Chứng minh.
Tập A∗ là tập nguyên thủy được suy ra trực tiếp từ định nghĩa.
Nếu b ∈ M(A) thì b là bội của một phần tử a ∈ A. Nếu a /∈ A∗, thì a có ước thực sự trongA. Giả sử a0 là phần tử nhỏ nhất của Alà ước củaakhi đó a0 ∈ A∗ và b là bội của a0. Suy ra b ∈ M(A∗). Vì vậy M(A) ⊂ M(A∗).
Vậy định lí đã được chứng minh xong.
Bổ đề 3.3. Nếu A1, A2 là tập các số nguyên dương khác rỗng thỏa mãn M(A1) =M(A2) thì M(A1 ∩A2) =M(A1).
Chứng minh.
Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng.
Theo nhận xét trên hiển nhiên M(A1 ∩ A2) là tập con của M(A1). Giả sử M(A1 ∩ A2) là con thực sự của M(A1), thì tồn tại số nguyên dương nhỏ nhất b ∈ M(A1)\M(A1 ∩A2).
Từ b ∈ M(A1) =M(A2), ta có
b = m1a1 = m2a2.
Với m1, a1, m2, a2 ∈ Z+ và với a1 ∈ A1, a2 ∈ A2. Hơn nữa a1 6= a2 do b /∈ M(A1 ∩A2). Giả sử a1 < a2. Từ a ∈ M(A1) và
a1 < a2 ≤ m2a2 = b,
Do b là phần tử bé nhất trong M(A1) mà không thuộc M(A1∩A2) suy ra a ∈ M(A1∩A2). Thì a1 = ma với mọi a ∈ A1∩A2 vì vậy b = m1a1 = m1ma ∈ M(A1 ∩A2) điều này vô lý. Vậy M(A1 ∩A2) = M(A1). Suy ra điều phải chứng minh.
Định lý 3.3. Cho B là tập bội số. Khi đó tồn tại duy nhất tập nguyên thủy A∗ thỏa mãn B = M(A∗).
Chứng minh.
Giả sử B = M(A)vớiA là tập con khác rỗng củaZ+và A∗ là tập nguyên thủy của A thì B = M(A∗). Giả sử A0 là tập các số nguyên dương bất kì thỏa mãn B = M(A0). Theo Bổ đề 3.3, ta có
B = M(A0) = M(A∗ ∩A0) = M(A∗).
Vì A∗∩A0 là tập con của A∗, ta suy ra được A∗∩A0 = A∗. Do đó, A∗ là tập con của mọi tập A0 với M(A0) = B và vì vậy A∗ là tập nguyên thủy duy nhất xác định bởi
A∗ = \
A0∈N,M(A0)=B
A0.
Vậy định lí đã được chứng minh xong.
Định nghĩa 3.3. Cho A là tập số nguyên. Hàm A(x) cho giá trị tại số nguyên dương x bằng số các số nguyên dương của A không vượt quá x và gọi là hàm đếm của tập A, nghĩa là
A(x) = X
1≤a≤xa∈A
1.
Mật độ tiệm cận dưới của tập A được định nghĩa là dL(A) = lim inf
x→∞
A(x) x . Mật độ tiệm cận trên của tập A được định nghĩa là
dU(A) = lim sup
x→∞
A(x) x .
Ta nói tập A là tập có mật độ tiệm cận d(A) =α nếu dL(A) = dU(A) = α, hoặc tương đương với
d(A) = lim
x→∞
A(x) x .
Có thể chứng minh được tập bội số của tập hữu hạn các số nguyên dương luôn luôn có mật độ tiệm cận, tập vô hạn A có tập bội số M(A) nhưng chưa chắc chắn có mật độ tiệm cận.
Định lý 3.4. Nếu A là tập con vô hạn của tập các số nguyên dương thỏa mãn
X
a∈A
1
a < ∞, thì tập bội số của A có mật độ tiệm cận.
Chứng minh.
Giả sử A = {ai}∞i=1 với a1 < a2 < . . ., và B = M(A). Với mọi số nguyên dương k, kí hiệu Bk là tập tất cả các số nguyên dương chia hết cho ak nhưng không chia hết cho ai với mọi i < k. Ta có Bk ∩Bk 6= ∅ với mỗi k 6= h là từng cặp rời nhau, kí hiệu B = S∞k=1Bk. Ta suy ra rằng
B(x) =
∞
X
k=1
Bk(x),
và
B(x)
x =
∞
X
k=1
Bk(x) x ,
với mọi x ≥1. Có [x/ak] số nguyên dương không vượt qua x và chia hết cho ak, vì vậy
0≤ Bk(x) ≤ x
ak
≤ x ak. Tương đương với
0 ≤ Bk(x)
x ≤ 1
ak,
với mọi x > 0. Giả sử ε > 0 và chọn K1 = K1(ε) thỏa mãn
∞
X
k=K1+1
1 ak < ε, thì
0≤ B(x)
x −
∞
X
k=1
B(x)
x =
∞
X
k=K1+1
Bk(x)
x ≤
∞
X
k=K1+1
1 ak < ε.
Khi đó tập Bk có mật độ tiệm cận, nghĩa là tồn tại một số Bk(x) ≥ 0 thỏa mãn
d(Bk) = lim
x→∞
Bk(x)
x = βk.
Hơn nữa, β1 = d(B1) = 1/a1 > 0. Với mọi số nguyên dương l, mật độ của tập hợp các số nguyên chia hết cho ít nhất một trong số các số nguyên a1, a2, . . . , al là β1 +β2 +ã ã ã+βl, vỡ vậy
0 <
l
X
k=1
βk ≤1.
Do đó, chuỗi
l
X
k=1
βk,
hội tụ tới một giá trị β > 0 nào đó. Ta sẽ chứng minh tập bội số M(A) có mật độ β, nghĩa là
x→∞lim
Bk(x) x = β.
Với mọi ε > 0 tồn tại số nguyên K2 = K2(ε) thỏa mãn
∞
X
k=K2+1
βk < ε.
Giả sử K = max{K1, K2} ta cần chọn một số x0 = x0(ε) thỏa mãn
Bk(x) x −βk
< ε k, với mọi x ≥x0 và k = 1, . . . , K. Khi đó
B(x) x −β
=
∞
X
k=1
Bk(x) x −βk
<
K
X
k=1
Bk(x)
x −
K
X
k=1
βk
+ 2ε
≤
K
X
k=1
Bk(x) x −βk
+ 2ε
< 3ε.
Vậy định lí được chứng minh xong.
Định lý 3.5. Nếu A là tập vô hạn các số nguyên với hàm đếm A(x) =O
x log2x
,
với x ≤2, thì tập hợp bội số M(A) có mật độ tiệm cận.
Chứng minh.
Ta có chuỗi vô hạn P
a∈A
a−1 hội tụ. Theo định lí (3.4) tập bội số của M(A) là tập có mật độ tiệm cận.