Trong phần này ta sẽ chỉ nghiên cứu các số hoàn hảo và số thừa, đơn giản ta sẽ gọi chung cho chúng một tên là số thừa. Như vậy một số nguyên dương n là thừa nếu σ(n) ≥ 2n.
Nhận xét 3.1. Nếu n là số thừa thì mọi bội số của n cũng là số thừa.
Thực vậy, ta có σ(n) ≥ 2n. Giả sử a = tn là một bội bất kỳ của n.
Do σ là hàm nhân tính nên ta có
σ(a) =σ(t)σ(n) ≥ (t+ 1)(2n) ≥2tn = 2a.
Vậy a cũng là số thừa.
Định nghĩa 3.4. Số nguyên dương n được gọi là số thừa nguyên thủy nếu n là số thừa (nghĩa là σ(n) ≥2n), nhưng n không có một ước thực sự nào là số thừa (nghĩa là với mọi d|n, 1 < d < n, ta có σ(d) < 2d).
Nhận xét 3.2. Tập hợp tất cả các số thừa chứa tất cả các bội số của các số thừa nguyên thủy.
Thật vậy, nếu n là một số thừa nguyên thủy, hiển nhiên mọi bội số của n cũng là một số thừa.
Dưới đây ta sẽ chứng minh tập hợp tất cả các số thừa có mật độ tiệm cận.
Định nghĩa 3.5.
- Số nguyên dương n được gọi là số k - thừa nếu σ(n) ≥ kn. Ta kí hiệu Ak là tập tất cả các số nguyên là số k- thừa.
- Số nguyên dương n được gọi là số k - thừa nguyên thủy nếu σ(n) ≥ kn nhưng σ(d) < kd với mọi ước thực sự d của n. Ta kí hiệu P Ak là tập tất cả các số k - thừa nguyên thủy.
Nhận xét 3.3. Ta có Ak = M(P Ak), nghĩa là tập Ak là tập bội số của tập P Ak. (hiển nhiên).
Bổ đề 3.4. Số lượng các số nguyên dương n ≤ x mà là ước của các số nguyên pr ≥ log4x với r ≥2 là O(xlog−2x).
Chứng minh.
Nếu p là số nguyên tố thỏa mãn p ≥ log2x và p2 chia hết n thì n chia hết cho lũy thừa số nguyên tố pr ≥ log4x với r ≥ 2. Số các số nguyên n≤ x là x/p2.
Nếu p < log2x, cho up là số nguyên bé nhất thỏa mãn pup ≥ log4x. Số
các số nguyên n≤ x chia hết cho lũy thừa của số nguyên tố pr ≥ log4x là [x/pup].
Cho N1(x) là kí hiệu cho các số nguyên n ≤x chia hết cho lũy thừa các số nguyên pr ≥log4x. Thì
N1(x) ≤ X
p≥log2x
x p2
+ X
p<log2x
x pup
≤ x X
p≥log2x
1 p2 +
x log4x
X
p<log2x
1
≤ x X
p≥log2x
1 n2 +
x log4x
log2x
x
log2x. Vậy bổ được chứng minh xong.
Kết quả tiếp theo chỉ ra rằng nó là kết quả hiếm đối với một số có nhiều ước nguyên tố phân biệt hoặc chỉ có một ước nguyên tố nhỏ nhất. Cho ω(n) kí hiệu cho số các ước nguyên tố phân biệt củan và P(n) là kí hiệu cho ước nguyên tố lớn nhất của n.
Bổ đề 3.5. Giả sử x ≥ ee và y = log logx. Số các số nguyên dương n≤ x thỏa mãn ω(n) ≥ 5y hoặc P(n) ≤ x1/(6y) là O(xlog−2x) với x đủ lớn.
Chứng minh.
Cho N2 kí hiệu cho số các số nguyên dương n≤ x với ω(n) ≥ 5y. Ta có N2(x) x
(logx)5 log 2−1 ≤ x log2x.
Cho p là số nguyên tố. Nếu pr ≤ x thì 0 ≤ r ≤ x/logx/logp ≤ logx/log 2, vì vậy số các lũy thừa của số nguyên tố pr ≤ xvới p ≤x1/(6y) không vượt quá
1 + logx log 2
x1/(6y) x1/(6y)logx.
Cho N3(x) kí hiệu cho số các số nguyên n ≤ x thỏa mãn ω(n) ≥ 5y và P(n) ≤ x1/(6y). Khi đó
N3(x) (x1/(6y)logx)5y x log2x, với mọi x đủ lớn.
Vậy bổ đề được chứng minh.
Kết hợp bổ đề 3.4 và 3.5 ta có kết quả sau.
Bổ đề 3.6. Chỉ có O(xlog−2x) số nguyên n ≤ x không thỏa mãn tất cả ba điều kiện sau:
(i) Nếu pr chia hết n và r ≥ 2,thì pr < log4x.
(ii) ω(n) < 5y.
(iii) P(n) > x1/(6y).
Bổ đề 3.7. Cho n ≤ x là số nguyên thủy k – thừa thỏa mãn các điều kiện (i),(ii) và (iii) trong bổ đề 3.6. Khi đó n chia hết cho số nguyên tố p thỏa mãn
log4x ≤p ≤ x1/(3y). (3.9)
Chứng minh.
Ta viết n = ab, với a là tích của các số nguyên tố nhỏ hơn log4x và b là tích của các số nguyên tố nhỏ hơn x1/(3y). Từ x1/(3y) ≤ x1/(6y) và điều kiện (ii), ω(b) ≤ω(n) < 5y thì
ω(b)
b < Y
p|b
1 + 1
p + 1
p2 +. . .
≤ Y
p|b
1 + 2
p
<
1 + 2 x1/(13y)
ω(b)
<
1 + 2 x1/(13y)
5y
< 1 + 20 x1/(13y),
nếu x đủ lớn. Mọi số nguyên tố ước của a đều nhỏ hơn log4x và theo điều kiện (i), mọi lũy thừa của số nguyên tố ước của n, do đó a nhỏ hơn hẳn log4x. Từ ω(b) ≤ω(n) < 5y theo điều kiện (ii) ta suy ra được
1 ≤ (log4x)5y = (logx)20.
Theo điều kiện (iii), b > 1, vì vậy a < n. Từ a là ước thực sự của số nguyên thủy k – thừa n, ta có
σ(a) < ka.
Từ k là số nguyên ta có
σ(a) ≤ ka−1.
Vì vậy
σ(a)
a ≤ k− 1
a < k− 20y (logx)20y.
Từ σ(n) là hàm nhân tính và n = ab với (a, b) = 1 ta có với mọi x đủ lớn
σ(n)
n = σ(a) a
σ(b) b
<
k− 1
(logx)20y 1 + 20y x1/(3y)
< k + 20ky
x1/(3y) − 1 (logx)20y
< k.
Điều này là không thể, từ đó suy ra n phải là số nguyên k – thừa. Vì vậy n phải chia hết cho số nguyên tố p thỏa mãn đoạn (3.9).
Bổ đề 3.8. Nếu x đủ lớn và n ≤x là số nguyên thủy k – thừa thỏa mãn các điều kiện (i),(ii),(iii) trong bổ đề 3.6 thì
k ≤ σ(n)
n < k + k x1/(6y).
Chứng minh.
Theo điều kiện (iii), số nguyên n chia hết cho số nguyên tố p thỏa mãn p≥ P(n) > x1/(96y).
Từ p2 > x1/(3y) > log4x với x đủ lớn, điều kiện (i) suy ra rằng p2 không là ước của n. Vì vậy n = mp với (m, p) = 1 và σ(m) < km từ n là số nguyên thủy k – thừa. Ta suy ra
σ(n)
n = σ(m) m
σ(p) p < k
1 + 1
p
< k + k x1/(6y). Vậy suy ra điều phải chứng minh.
Định lý 3.6. Với mọi số nguyên k ≥ 2, cho P Ak(x) kí hiệu cho số các số nguyên thủy k – thừa không vượt quá x thì
P Ak(x) x log2x, và tập Ak của số k – thừa có mật độ tiệm cận.
Chứng minh.
Theo bổ đề (3.6) chỉ có O(xlog2x) là số nguyên thủy k – thừa không thỏa mãn các điều kiện (i),(ii) và (iii) của bổ đề (3.6).
Giả sử t là số các số nguyên nguyên thủy k – thừa thỏa mãn ba điều kiện trên. Ta chỉ biểu thị những số đó là n1, n2, . . . , nt. Theo bổ đề (3.7), với mỗi số nguyên ni tương ứng với mỗi số nguyên tố pi là ước của ni và
log4x ≤pi ≤ x1/(3y). Cho ni = pimi thì (pimi) = 1 và
1 ≤mi ≤ x log4x.
Điều đó đủ chứng minh rằng các số nguyên mi là n các số phân biệt.
Giả sử rằng mi = mj với mọi i 6= j thì pi 6= pj. Từ σ(ni)
ni
= (pi+ 1) pi
σ(mi) mi
,
và σ(nj) nj
= (pj + 1) pj
σ(mj) mj
. Ta suy ra rằng
σ(ni)nj
niσnj = (pi + 1)pj
pi(pj + 1).
Từ pi và pj là các số nguyên tố phân biệt, suy ra (pi+ 1)pj 6= pi(pj + 1).
Ta có thể giả sử rằng (pi+ 1)pj > pi(pj + 1), vì vậy σ(ni)nj
niσnj = (pi + 1)pj pi(pj + 1)
≥ 1 + 1 pi(pj + 1)
≥ 1 + 1
x1/(3y)(x1/(3y) + 1)
≥ 1 + 1 2x2/(13y). Theo bổ đề (3.8)
σ(ni)nj
niσnj = (pi + 1)pj pi(pj + 1) <
k + k x1/(6y)
1
k < 1 + 1 x1/(6y). Điều này mâu thuẫn, từ
2x2/(13y) < x1/(6y).
Với mọi x đủ lớn. Ta suy ra được các số m1, m2, . . . , mt là các số phân biệt, vì vậy t≤ xlog−4x.
Vậy định lý được chứng minh xong.
Kết luận
Luận văn “Hàm sinh bởi các ước số và ứng dụng” đã giải quyết được những vấn đề sau:
1. Luận văn đã trình bày khái niệm và các tính chất cơ bản của hàm đếm các ước số d(n).
2. Trình bày các trình bày khái niệm, tính chất và các định lý của một vài hàm số học sinh bởi các ước số như hàm d2(n), hàm σ(n), ω(n),...
3. Trình bày một số bài toán ứng dụng để nghiên cứu số hoàn hảo, số thừa, .. trong số học.