Định nghĩa 2.1. Cho A: H → 2H. Thế thì A là đơn điệu nếu
(∀(x, u) ∈ graA)(∀(y, v) ∈ graA)hx−y | u−vi ≥ 0 (2.1) Một tập con của H × H là đơn điệu nếu nó là đồ thị của một toán tử đơn điệu.
Mệnh đề 2.1. Cho A: H → 2H. Thế thì các khẳng định sau là tương đương
(i) A là đơn điệu.
(ii) A là tăng dần, tức là
(∀(x, u) ∈ graA)(∀(y, v) ∈ graA)(∀α ∈ [0,1])
kx−y +α(u−v)k ≥ kx−yk. (2.2)
(iii)(∀(x, u) ∈ graA)(∀(y, v) ∈ graA)
ky ưuk2 +kxưvk2 ≥ kxưuk2 +ky ưvk2. (2.3) Chứng minh. (i) ⇔ (ii): Ta có
kx−y +α(u−v)k2 − kx−yk2 = α(αku−vk2 + 2hx−y | u−vi).
Nếu A đơn điệu thì vế phải đẳng thức trên không âm, dẫn tới vế trái cũng không âm, và do đó ta có (2.2). Ngược lại giả sử ta có (ii), tức là (2.2) là đúng. Khi đó, từ đẳng thức trên ta suy ra
αku−vk2 + 2hx−y | u−vi ≥ 0∀α ∈ (0,1).
Chuyển bất đẳng thức trên qua giới hạn khiα → 0ta nhận được hx−y | u−vi ≥ 0, dẫn tới A đơn điệu.
(i) ⇔ (iii): Dễ thấy ky ưuk2 + kxưvk2 ư kxưuk2 ư ky ưvk2 = 2hx−y | u−vi. Từ đây nhận được ngay kết luận về sự tương đương của (i) và (iii).
Ví dụ 2.1. Cho f: H → (−∞,+∞] là chính thường. Thế thì ∂f là đơn điệu.
Chứng minh. Lấy(x, u)và(y, v)thuộcgra∂f. Thế thì bởi (1.31),hx−y | ui+
f(y) ≥ f(x) và hy −x | vi+f(x) ≥f(y). Cộng vế với vế những bất đẳng thức trên, ta được hx−y | u−vi ≥ 0.
Ví dụ 2.2. Giả sử H = R. Cho D là một tập con không rỗng của H và cho A: D → H là tăng. Thế thì A là đơn điệu.
Ví dụ 2.3. ChoD là một tập con không rỗng củaH. Toán tửT : D → H được gọi là β-bức nếu
hx−y | T x−T yi ≥ βkT x−T yk2 (∀x, y ∈ D). (2.4)
Dễ thấy T là đơn điệu.
Ví dụ 2.4. Cho D là tập con không rỗng của H và cho T: D → H là không giãn, cho α ∈ [−1,1] và tập A = Id +αT. Thế thì mỗi x ∈ D và mỗi y ∈ D,
hx−y | Ax−Ayi = kx−yk2 +αhx−y | T x−T yi
≥ kx−yk kx−yk − |α| kT x−T yk
≥ 0. (2.5)
Từ đó suy ra A là đơn điệu.
Ví dụ 2.5. Cho D là tập con không rỗng của H, cho T : D → H, và tập A = Id−T. Thế thì các mệnh đề sau tương đương:
(i) T là giả không giãn, tức là
(∀x, y ∈ D) kT x−T yk2 ≤ kx−yk2 +k(Id−T)x−(Id−T)yk2. (2.6) (ii) A là đơn điệu.
Chứng minh. Cho x và y thuộc D. Thế thì
kx−yk2 +k(Id−T)x−(Id−T)yk2 ≥ kT x−T yk2
⇔ kx−yk2 −2hx−y | T x−T yi+kT x−T yk2 ≥ kT x−T yk2
⇔ kx−yk2 − hx−y|T x−T yi ≥ 0⇔ hx−y|Ax−Ayi ≥ 0.
Mệnh đề 2.2. Cho K là một không gian Hilbert thực, cho A: H → 2H và B: K → 2K là toán tử đơn điệu, cho L ∈ B(H,K) và cho γ ∈ R+. Thế thì toán tử A−1, γA, và A+L∗BL là đơn điệu.
Toán tử đơn điệu cũng xuất hiện một cách tự nhiên trong nghiên cứu bài toán xấp xỉ tốt nhất và bài toán tìm điểm xa nhất.
Ví dụ 2.6. Cho C là một tập con không rỗng của H và cho ΠC là phép chiếu lên C xác định bởi
ΠC: H → 2C: x 7→ {p∈ C | kx−pk = dC (x)}. (2.7)
Thế thì ΠC là đơn điệu.
Chứng minh. Lấy (x, u) và (y, v) thuộc graΠC. Thế thì kxưuk= dC(x) ≤ kxưvk
và ky −vk = dC(y) ≤ ky −uk. Do đó,
kxưuk2 +ky ưvk2 ≤ kxưvk2 +ky ưuk2.
Bây giờ khai triển bình phương và rút gọn, đơn giản để nhận được tính đơn điệu của ΠC .
Ví dụ 2.7. Cho C là một tập con không rỗng bị chặn của H và kí hiệu ΦC: H → 2H: x 7→
u ∈ C
kxưuk = supkxưCk (2.8) là toán tử điểm xa nhất của C. Thế thì −ΦC là đơn điệu.
Chứng minh. Giả sử rằng (x, u) và (y, v) thuộc graΦC. Thế thì kxưuk ≥ kxưvk
và kyưvk ≥ kyưuk. Do đó, kxưuk2+ky ưvk2 ≥ kxưvk2+ky ưuk2. Bây giờ khai triển bình phương và đơn giản để thấy rằng −ΦC là đơn điệu.
Tiếp theo, chúng ta đưa ra hai đặc trưng của tính đơn điệu.
Mệnh đề 2.3. Cho A: H → 2H và tập F = hã | ãi. Thế thỡ cỏc mệnh đề sau là tương đương:
(i) A là đơn điệu.
(ii) Với mọi họ hữu hạn (αi)i∈I thuộc (0,1) sao cho P
i∈Iαi = 1 và (xi, ui)i∈I thuộc graA, ta có
F X
i∈I
αi(xi, ui)
!
≤ X
i∈I
αiF(xi, ui). (2.9)
(iii) F là lồi trên graA.
Chứng minh. Suy ra bổ đề 1.6(i)
Ví dụ 2.8. Cho A: H → H là tuyến tính. Thế thì A là đơn điệu nếu và chỉ nếu (∀x ∈ H)hAx | xi ≥ 0.
Ví dụ 2.9. Cho A ∈ B(H). Thế thì ta có:
(i) A là đơn điệu ⇔ A+ A∗ là đơn điệu ⇔A∗ là đơn điệu.
(ii) A∗A, AA∗, A−A∗ và A∗ −A là đơn điệu.
Mệnh đề 2.4. Cho A ∈ B(H) (B(H) là không gian của các toán tử tuyến tính bị chặn từ H đến H với miền xác định H) là đơn điệu. Thế thì kerA = kerA∗ và ranA = ranA∗.
Chứng minh. Cho x ∈ kerA và v ∈ ranA, ta nói v = Ay. Thế thì (∀α ∈ R) 0 ≤ hαx+y | A(αx+y)i = αhx | vi+hy | Ayi. Do đó
hx | vi = 0
và kerA ⊂ (ranA)⊥ = kerA∗ bởi Mệnh đề 1.8 (iv). Khi A∗ ∈ B(H) cũng là đơn điệu, chúng ta nhận được kerA∗ ⊂ kerA∗∗ = kerA. Mà kerA = kerA∗ và do đó ranA = ranA∗ bởi Mệnh đề 1.8(iii)
Mệnh đề 2.5. Cho A và B là toán tử đơn điệu tự liên hợp trong B(H) sao cho AB = BA. Thế thì AB là đơn điệu.
Ví dụ 2.10. Đặt
A =
1 1 1 1
, B =
1 0 0 0
, nếu C =
0 −1 1 0.
(2.10)
Thì A, B và −C là liên tục, tuyến tính và là các toán tử đơn điệu từ R2 đến R2. Tuy nhiên, cả AB hay C2 không là đơn điệu. Điều này chỉ
ra rằng tính tự liên hợp và giao hoán trong Mệnh đề 2.5 là quan trọng.