Định nghĩa 2.2. Cho A: H → 2H là đơn điệu. Thế thì A là đơn điệu cực đại nếu không tồn tại toán tử đơn điệu B: H → 2H sao cho graB chứa thực sự gra A, tức là, với mỗi (x, u) ∈ H × H.
(x, u) ∈ graA ⇔ (∀(y, v) ∈ graA) hx−y | u−vi ≥ 0. (2.11) Định lý 2.1. Cho A: H → 2H là đơn điệu. Thế thì tồn tại một mở rộng đơn điệu cực đại của A, tức là một toán tử đơn điệu cực đại Ae: H → 2H sao cho graA ⊂ graA.e
Chứng minh. Giả sử rằng graA6= ∅ và tập
M = {B: H → 2H | B là đơn điệu và graA ⊂graB}. (2.12) Thế thì M là không rỗng và được sắp thứ tự bộ phận thông qua
(∀B1 ∈ M)(∀B2 ∈ M) B1 4B2 ⇔graB1 ⊂graB2.
Cho C là một dây xích trong M. Thế thì toán tử mà đồ thị của nó là S
C∈Cgra C là một cận trên của C. Do đó theo Bổ đề Zorn, tồn tại một phần tử lớn nhất Ae ∈ M. Toán tử Ae có những tính chất yêu cầu. Bây giờ giả sử rằng graA = ∅. Thế thì mọi mở rộng đơn điệu cực đại Aecủa toán tử mà đồ thị của nó là {(0,0)} thỏa mãn yêu cầu.
Mệnh đề 2.6. Cho A: H → 2H là đơn điệu cực đại, cho z ∈ H, cho u ∈ H, và cho γ ∈ R++. Thế thì A−1 và x 7→u+γA(x+z) là đơn điệu cực đại.
Mệnh đề 2.7. Cho A: H → 2H và B: K → 2K là đơn điệu cực đại. Thế thì A×B: H × K → 2H×K: (x, y) 7→ Ax×By là đơn điệu cực đại.
Mệnh đề 2.8. Cho A: H → H là đơn điệu và hemi-liên tục, tức là với mỗi (x, y, z) ∈ H3, limα↓0hz |A(x+αy)i = hz |Axi. Thế thì A là đơn điệu cực đại.
Chứng minh. Cho (x, u) ∈ H×Hsao cho (∀y ∈ H)hx−y | u−Ayi ≥ 0.
Chúng ta phải chỉ ra rằng u = Ax. Với mỗi α ∈ (0,1], đặt yα = x+α(u−Ax)
và quan sát rằng hu−Ax | u−Ayαi = − hx−yα | u−Ayαi/α ≤ 0. Vì Alà hemi-liên tục, ta có kết luận rằngku−Axk2 ≤0, tức làu = Ax.
Hệ quả 2.1. Cho A: H → H là đơn điệu và liên tục. Thế thì A là đơn điệu cực đại.
Ví dụ 2.11. Cho T : H → H là không giãn và cho α ∈ [−1,1]. Thế thì Id +αT là đơn điệu cực đại.
Chứng minh. Kết hợp Ví dụ 2.4 với Hệ quả 2.1.
Ví dụ 2.12. Cho T : H → H là toán tử không giãn vững. Thế thì T là đơn điệu cực đại.
Ví dụ 2.13. Cho A ∈ B(H) là đơn điệu. Thế thì A là đơn điệu cực đại.
Chứng minh. Suy ra từ Ví dụ 2.8 và Mệnh đề 2.8.
Ví dụ 2.14. Cho A ∈ B(H) sao cho A∗ = −A. Thế thì A là đơn điệu cực đại
Chứng minh. Chúng ta có (∀x∈ H)hx | Axi = 0. Do đó A là đơn điệu và cực đại bởi Ví dụ 2.13.
Sau đây ta trình bày số tính chất cơ bản của toán tử đơn điệu cực đại.
Mệnh đề 2.9. Cho A: H → 2H là đơn điệu cực đại và cho x ∈ H. Thế thì Ax là đóng và lồi.
Chứng minh. Giả sử rằng x ∈ domA. Thế thì 2.11 dẫn tới Ax= \
(y,v)∈graA
u ∈ H
hx−y|u−vi ≥ 0 , (2.13)
đó là giao của các tập đóng lồi, do vậy là đóng và lồi.
Hai mệnh đề tiếp theo cho ta các tính chất về tính đóng của đồ thị của một toán tử đơn điệu cực đại.
Mệnh đề 2.10. Cho A: H → 2H là đơn điệu cực đại, cho (xb, ub)b∈B là một lưới bị chặn trong graA, và cho (x, u) ∈ H × H. Khi đó ta có các khẳng định sau
(i) Giả sử rằng xb → x và ub * u. Thế thì (x, u) ∈ graA.
(ii) Giả sử rằng xb * x và ub →u. Thế thì (x, u) ∈ graA.
Chứng minh. (i) Lấy (y, v) ∈ graA. Thế thì (∀b ∈ B)hxb −y|ub −vi ≥ 0 bởi (2.11). Tiếp theo, Bổ đề 1.12 dẫn tới hx−y |u−vi ≥ 0. Do đó (x, u) ∈ graA bởi (2.11).
(ii) Áp dụng (i) cho A−1.
Mệnh đề 2.11. Cho A: H → 2H là đơn điệu cực đại. Thế thì ta có các khẳng định sau đây:
(i) graA là đóng theo dãy trong Hmạnh × Hyếu, tức là, với mỗi dãy (xn, un)n∈
N trong graA và mỗi (x, u) ∈ H × H, nếu xn → x và un * u thì (x, u) ∈ graA.
(ii) graA là đóng theo dãy trong Hyếu × Hmạnh, tức là, với mỗi dãy (xn, un)n∈
N trong graA và mỗi (x, u) ∈ H × H, nếu xn * x và un → u thì (x, u) ∈ graA.
(iii) graA là đóng trong Hmạnh× Hmạnh.
Chứng minh. (i): Kết hợp Bổ đề 1.14 và Mệnh đề 2.10(i).
(ii) Áp dụng (i) với A−1. (iii) Là một hệ quả của (i).
Ví dụ 2.15. Đồ thị của một toán tử đơn điệu không cần là đóng theo dãy trong Hyếu× Hyếu. Thật vậy, giả sử rằng H = `2(N) và đặt C = B(0; 1).
Thế thìId−PC là không giãn vững bởi Hệ quả 1.19, và do đó đơn điệu cực đại bởi Ví dụ 2.12. Xét dãy (xn)n∈
N = (e1 +e2n)n∈N, ở đó (en)n∈
N là dãy của các vectơ đơn vị trong `2(N). Thế thì dãy xn, 1−1/√
2 xn
n∈N
nằm trên gra(Id − Pc) và nó hội tụ yếu đến e1, 1−1/√ 2
e1
. Tuy nhiên, giới hạn yếu e1, 1−1/√
2 e1
không thuộc gra(Id−Pc).
Mệnh đề 2.12. Cho A: H → 2H là đơn điệu cực đại và không quá đơn trị. Giả sử rằng domA là không gian con tuyến tính, A|domA là tuyến tính và (∀x, y ∈ domA)hx | Ayi = hAx | yi. Đặt
h: H → (−∞,+∞] : x 7→
1
2hx | Axi nếu x ∈ domA;
+∞, nếu trái lại,
(2.14)
và
f: H → (−∞,+∞] : x 7→ sup
y∈domA
hx|Ayi −h(y)
. (2.15)
Thế thì ta có các khẳng định sau:
(i) f + ιdomA = h.
(ii) f ∈ Γ0(H).
(iii) ∂f = A.
(iv) f = h∗∗.
Chứng minh. Lấy x ∈ domA = domh
(i): Với mỗi y ∈ domA,0 ≤ hx−y | Ax−Ayi = hx | Axi+hy | Ayi−
2hx | Ayi, dẫn tới hx | Ayi −h(y) ≤ h(x). Do đó f(x) ≤h(x). Mặt khác, f(x) ≥ hx|Axi −h(x) =h(x). Vậy f +ιdomA = h.
(ii): Vì là cận trên đúng của các hàm affine liên tục, nên f ∈ Γ(H) bởi Mệnh đề 1.24. Thêm nữa, vì f(0) = 0, f là chính thường.
(iii): Với mỗiy ∈ H, ta cóf(x)+hy −x | Axi = hy | Axi−h(x) ≤ f(y) suy ra Ax ∈ ∂f(x). Điều này dẫn tới graA ⊂ gra∂f, kéo theo A = ∂f vì A là đơn điệu cực đại, trong khi ∂f là đơn điệu bởi Ví dụ 2.1.
(iv): Sử dụng (ii), Mệnh đề 1.40, (iii) và (i), ta thấy rằng f = (f +ιdom∂f)∗∗ = (f +ιdomA)∗∗ = h∗∗.