Chương 2. TƯƠNG ĐẲNG NHÓM TRÊN MỘT NỬA NHÓM
2.2. Tương đẳng nhóm trên một nửa nhóm
(i) Một tập con A của nửa nhóm S được gọi là đầy đủ nếu E S( ) ⊆ A; được gọi là phản xạ nếu ∀a b S, ∈ thì ab A∈ kéo theo ba A∈ ; được gọi là trù mật nếu với mọi s S∈ , tồn tại x y S, ∈ sao cho sx ys A, ∈ .
(ii) Toán tử bao đóng ω trên S được cho bởi:
{ : }.
Aω = ∈ ∃ ∈s S a S as A∈ Tập con A được gọi là đóng trên S nếu Aω = A.
(iii) Nửa nhóm con N của nửa nhóm S được gọi là chuẩn tắc nếu N đầy đủ, trù mật, phản xạ và đóng. Ký hiệu N <S.
2.2.2. Định nghĩa.
(i) Giả sử ρ là một tương đẳng trên nửa nhóm S, khi đó tập con
{x S x x∈ ( ), 2 ∈ρ} được gọi là hạt nhân của ρ và được ký hiệu bởi ker( )ρ .
(ii) Giả sử S là nửa nhóm và C (S) là tập hợp tất cả các tương đẳng trên
S. Khi đó C (S) cùng với quan hệ thứ tự bao hàm là một dàn.
2.2.3. Định nghĩa.
(i) Giả sử S là nửa nhóm và ρ∈C(S). Khi đó ρ được gọi là tương đẳng nhóm nếu Sρ là một nhóm.
Ký hiệu JC(S) là tập hợp tất cả các tương đẳng nhóm trên S. Khi đó nếu ρ∈JC(S) thì ker( )ρ là đơn vị của nhóm thương Sρ.
(ii) Tập hợp tất cả các nửa nhóm con chuẩn tắc của nửa nhóm S được ký hiệu bởi N (S).
2.2.4. Ví dụ. Xét nửa nhóm cộng các số nguyên dương (¥∗,+). Khi đó mỗi tương đẳng nhóm trên ¥∗ có dạng ρn ={ ( )k l, ∈¥∗×¥∗ n k l( − ) }, n > 0.
Chú ý rằng E( )¥∗ =φ, như vậy một nửa nhóm không có lũy đẳng vẫn có tương đẳng nhóm. Tuy nhiên, ¥∗ không có tương đẳng nhóm nhỏ nhất, vì
n m
ρ ⊃ρ khi và chỉ khi n m< . Hơn nữa, kerρ =n {n, 2n, 3n, ...} . Hai kết quả sau đây đã được thiết lập trong [3].
2.2.5. Bổ đề.
(i) Giả sử ρ là một tương đẳng nhóm trên một nửa nhóm S. Khi đó
( )
ker ρ <S.
(ii) Giả sử ρ1 và ρ2 là các tương đẳng trên cùng một nửa nhóm S. Khi đó ρ1 ⊆ ρ2 nếu và chỉ nếu ker( )ρ1 ⊂ker( )ρ2 .
2.2.6. Định nghĩa. Giả sử B là một tập con khác rỗng của nửa nhóm S. Xét bốn quan hệ sau đây trên S:
{ ( ) }
1,B a b, S S x y S ax by B, : ,
ρ = ∈ × ∃ ∈ ∈
{ ( ) }
2, , , :
ρ =B a b ∈ × ∃S S x y B ax∈ = yb
ρ3,B ={ ( )a b, ∈ × ∃ ∈S S x S xa xb B: , ∈ }
ρ =4,B { ( )a b, ∈ × ∃S S x y B xa by, ∈ : = }
2.2.7. Bổ đề. Giả B là nửa nhóm con trù mật và phản xạ của nửa nhóm S. Thế thì ρ1,B = ρ2,B = ρ3,B = ρ4,B.
Chứng minh. Giả sử ( )a b, ∈ρ2, B. Thế thì ax yb= với x y B, ∈ nào đó.
Tương tự, as B∈ với s B∈ nào đó, vì B trù mật và do đó sa B∈ vì B phản xạ. Từ đó, asy B∈ và vì vậy ( )sy a B∈ . Suy ra ( )sy b s yb= ( ) ( ) ( )=s ax = sa x B∈ .
Như vậy, ( ) ( )sy a sy, b∈B. Từ đó ( )a b, ∈ρ3, B từ đó ρ2, B ⊆ ρ3, B.
Đảo lại, nếu xa xb B, ∈ với x S∈ nào đó, thế thì ax bx B, ∈ vì B phản xạ, như vậy a xb( ) ( )= ax b trong đó ax xb B, ∈ . Từ đó ( )a b, ∈ρ2, B nên
3, B 2, B.
ρ ⊆ ρ Vậy ρ2, B = ρ3, B.
Đối ngẫu, ρ1, B = ρ4, B. Vì B phản xạ nên ρ1, B = ρ3, B. W
2.2.8. Chú ý. Nếu B là nửa nhóm con phản xạ, trù mật của S, thế thì ta kí hiệu bốn quan hệ trên bởi ρB.
Định lý sau đây là kết quả chính của tiết này.
2.2.9. Định lý. Giả sử B là một nửa nhóm con phản xạ và trù mật của một nửa nhóm S. Thế thì quan hệ ρB là một tương đẳng nhóm trên S. Hơn nữa
ker B.
B⊆ Bω= ρ Nếu B chuẩn tắc thì B=kerρB.
Đảo lại, nếu ρ là một tương đẳng nhóm trên S, thế thì tồn tại một nửa nhóm con chuẩn tắc N của S sao cho ρ ρ= N, hơn nữa N =ker .ρ
Như vậy tồn tại một song ánh bảo toàn thứ tự giữa tập hợp tất cả nửa nhóm con chuẩn tắc của S và tập hợp tất cả các tương đẳng trên S.
Chứng minh. Giả sử a S∈ . Vì B trù mật nên tồn tại x B∈ sao cho xa B∈ . Từ đó ρB phản xạ. Rõ ràng ρB đối xứng. Vì B là một nửa nhóm con nên ρB
bắc cầu. Do đó ρB là một quan hệ tương đương trên S. Hơn nữa, ρB là một tương đẳng trái. Thật vậy, giả sử ( )a b, ∈ρB và c S∈ . Thế thì ax bx B, ∈ và zc B∈ với , zx ∈S nào đó. Thế thì zcax zcxb B, ∈ . Từ đó ( ) ( )ca xz , ( ) ( )cb xz ∈B,vì B phản xạ. Do đó (ca cb, ) ∈ρB. Bởi tính đối xứng, ρB là một tương đẳng phải trên S. Cuối cùng,
B
Sρ là một nhóm. Thật vậy, giả sử
∈ , ∈
a S b B và ,ax xa B∈ với x S∈ nào đó. Thế thì bax B∈ . Từ đó
( )
, ∈
ax x ba B nên (ba a, )∈ρB. Vì B trù mật nên
B
Sρ là một nhóm.
Vì b bb( ) ( )= bb b đối với mỗi b B∈ nên B⊂kerρB. Hơn nữa, ker B.
Bω = ρ Thật vậy, giả sử s∈kerρB. Thế thì ( )s b, ∈ρB với b B∈ nào
đó. Từ đó b s bb1 = 2 với b b1, 2∈B nào đó. Như vậy, s B∈ ω nên kerρB ⊂ Bω. Đảo lại, giả sử s B∈ ω. Thế thì bs B∈ với s S∈ nào đó. Vì bb B∈ nên
( )s b, ∈ρB, do đó s∈kerρB và như vậy Bω⊂kerρB. Cuối cùng, nếu B chuẩn tắc thì B Bω= . Từ đó B=kerρB.
Đảo lại, giả sử ρ là một tương đẳng nhóm trên S. Theo Bổ đề 2.2.5(i), kerρ<S. Đặt kerρ = N. Theo Bổ đề 2.2.5(ii), ρ ρ= N, vì N =kerρN = ker .ρ Thế thì ánh xạ φ: N(S)→ JC(S) cho bởi Nφ ρ= N với mỗi N∈N(S) là
một song ánh bảo toàn thứ tự bao hàm giữa tập hợp các nửa nhóm con chuẩn tắc của S và tập tất cả các tương đẳng nhóm trên S (Với ánh xạ ngược φ−1:
JC(S)→ N(S), trong đó ρφ−1 = kerρ đối với tất cả ρ∈JC(S)). Chú ý rằng
φ−1 cũng là một ánh xạ bảo toàn thứ tự. W
Vì phần thứ nhất của Định lý 2.2.9 đúng với nửa nhóm con trù mật và phản xạ của S nên ta nhận được kết quả sau.
2.2.10. Hệ quả. Giả sử B là nửa nhóm con phản xạ và trù mật của S. Thế thì Bω<S.
2.2.11. Ví dụ. Giả sử S ={e f a b c, , , , } là nửa nhóm với bảng nhân được cho như sau:
. e f a b c
e e e e b b
f e f a b b
a e a f b b
b b b b e e
c b c c e e
Dễ dàng thấy rằng E E S= ( ) là một nửa nhóm phản xạ và trù mật của S nhưng E không đóng vì ea E∈ nhưng a E∉ . Hơn nữa, N ={e f a, , } chuẩn tắc.
Thật vậy, tương đẳng ρE có hai ρE - lớp: N và { }a b, ,vì ae ee, , bb bc, ∈E và
( )e b, ∉ρE. Cũng chú ý rằng E⊂ kerρN, E N≠ và ρE =ρN. Từ đó suy ra rằng
không có một tương ứng một - một nào giữa tập hợp tất cả các nửa nhóm con chuẩn tắc của S và tập hợp các tương đẳng nhóm trên S.
2.2.12. Chú ý. Rõ ràng mỗi nhóm con của một nhóm là đầy đủ và đơn nguyên nhưng không phải mỗi nhóm con của một nhóm là phản xạ (ví dụ các nhóm con cấp hai của nhóm các phép thế S6 không phản xạ). Chúng ta đã biết rằng nhóm con H của một nhóm G là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu quan hệ ρH là một tương đẳng trên S.
Chúng ta có một kết quả tương ứng.
2.2.13. Mệnh đề. Giả sử A là một nửa nhóm con đóng của nhóm S. Thế thì
A chuẩn tắc nếu và chỉ nếu ρA∈JC(S).
Chứng minh. Thật vậy, giả sử ρA∈JC(S). Thế thì A A= ω và phép chứng minh Định lý 2.2.9 ta nhận được A=kerρA. Như vậy A S< theo Bổ đề 2.2.5(i).
Phần đảo của kết quả trên suy ra từ Định lý 2.2.9. W
2.2.14. Chú ý. Tập hợp tất cả các tương đẳng nhóm trên một nửa nhóm (trong trường hợp tổng quát) không tạo thành một dàn. Thật vậy, giả sử S=(¡ +,+) là
nhóm cộng các số thực dương. Đặt M =¥ , và N ={x x,2 ,...} trong đó
\ .
x∈¡ ¤ Thế thì M N, <S nhưng M∩ =N φ.