Chương 2. TƯƠNG ĐẲNG NHÓM TRÊN MỘT NỬA NHÓM
2.3. Nửa nhóm con chuẩn tắc của một nửa nhóm
2.3.1. Định nghĩa. Nửa nhóm con B của nửa nhóm S được gọi là nửa chuẩn tắc nếu B đầy đủ, trù mật và phản xạ.
Bây giờ chúng ta trình bày các kết quả tổng quát của S. Hanumantha Rao và P. Lakshmi [5], JM. Howie [6] và D. R. Latorre[7].
2.3.2. Định lý. Giả sử B là nửa nhóm con nửa chuẩn tắc của nhóm S và
ρ∈C(S). Thế thì
(i) ρ ρ∨ B = ρ ρ ρB ;B (ii) ρ ρ∨ B∈JC(S);
(iii) ( x y, )∈ ∨ρ ρB nếu và chỉ nếu (ax yb, ) ∈ρvới a b B, ∈ nào đó.
Chứng minh. (i) Vì ρ ρ, B ⊂ ∨ρ ρ ρ ρ ρB, B B⊂ ∨ρ ρB. Tương tự ρ ρ ρB B phản xạ, đối xứng và tương thích trên S. Chúng ta chứng minh ρ ρ ρB B bắc cầu, khi đó
.
B B B
ρ ρ∨ = ρ ρ ρ Thật vậy, giả sử ( ) ( )r s, , ,s t ∈ρ ρ ρB .B Thế thì ( ) ( )a , ,ω s ( )s x, ∈ρB; ( ) ( ) ( )b y , , ,ω x z ∈ρ ; , , ,( ) ( ) ( )c r y z t ∈ρB với ω, , ,x y z S∈ , nào đó.
Từ (a) suy ra ( )ω,x ∈ρB, vì aω = xb với a b B, ∈ nào đó. Từ (b) suy ra
(a ay xb zbω, ) (, , )∈ρ. Từ đó (ay zb, )∈ρ, vì aω = xb. Cuối cùng, do (c), (r ay, ), ( zb t, )∈ρB, vì B⊂ker ,ρ do đó (r ay, )∈ρB, (ay zb, )∈ρ, ( )zb t, ∈ρB. Như vậy
( )r t, ∈ρ ρ ρB .B
(ii) Điều này là hiển nhiên.
(iii) Giả sử ( )x y, ∈ ∨ρ ρB.Thế thì ( )x r, ∈ρB, ( )r s, ∈ρvà ( )s y, ∈ρB
với ,r s S∈ nào đó. Từ đó ax rb cs= , = yd với a b c d B, , , ∈ nào đó. Do đó
( )ca x c ax= ( ) ( ) ( ) ( )=c rb = crb ρ csb =( )cs b =( )yd b y db= ( ) trong đó ca, db B∈ . Đảo lại giả (ax yb, ) với a b B, ∈ nào đó. Vì (x ax, ), ( yb y, ) ∈ρB nên
( x y, )∈ρ ρ ρB B = ∨ρ ρB (do (i) . ) W
2.3.3. Ký hiệu. Giả sử A là một tập con khác rỗng của nửa nhóm S. Đặt
{ : ,( ) }.
Aρ = ∈ ∃ ∈s S a A s a ∈ρ
2.3.4. Hệ quả. Giả sử B là một nửa nhóm con nửa chuẩn tắc của một nửa nhóm S và ρ∈C (S). Thế thì ker(ρ ρ∨ B) ( )= Bρ ω. Nói riêng, ( )Bρ ω<S.
Chứng minh. Giả sử x∈ker( ρ ρ∨ B). Thế thì tồn tại b B∈ sao cho
( )x b, ∈ ∨ρ ρB, vì B⊂ker(ρ ρ∨ B).Từ đó (ax bc, )∈ρ với ,a c B∈ nào đó (theo Định lý 2.3.2(iii)). Như vậy ax B∈ ρ. Suy ra x∈( )Bρ ω. Đảo lại, nếu
( ) ,
x∈ Bρ ω thế thì ax B∈ ρ. với a B∈ ρ nào đó, nên (ax b, , ,) ( )a c ∈ρ với
,
b c B∈ . Suy ra (cx b, )∈ρ. Từ đó ( ( )cc x cb, )∈ρ. Như vậy ( )x c, ∈ ∨ρ ρB
nên x∈ker(ρ ρ∨ B). W
Do Định lý 2.3.2(i) và Mệnh đề 2.3(ii) trong [8], chúng ta nhận được các hệ quả sau (xem Hệ quả 3.2[8]).
2.3.5. Hệ quả. Giả sử B là một nửa nhóm con nửa chuẩn tắc của một nửa nhóm S và ρ∈C(S). Thế thì ρ ρ∨ B = ×S S nếu và chỉ nếu( )Bρ ω =S.
2.3.6. Nhận xét. Giả sử B là một nửa nhóm con nửa chuẩn tắc của nửa nhóm
S và ρ ρ ∈1, 2 C(S). Giả thiết rằng ( ) (x y, ∈ ρ ρ1∨ B) (∩ ρ2 ∨ρB). Thế thì
( ) ( )ax ρ2 yb , trong đó a b B, ∈ . Hơn nữa ax(ρ ρ1∨ B)x x, (ρ ρ1∨ B) y y, (ρ ρ1∨ B)
yb nên ax(ρ ρ1∨ B) yb. Như vậy (cax ybd, )∈ρ1, trong đĩ c d B, ∈ . Suy ra (ca xd cy bd , )∈ρ1. Hơn nữa (ca xd cy bd , )∈ρ2. Từ đó ( xd cy, ) (∈ ρ1∩ρ2)
ρ
∨ B. Như vậy ( ) (x y, ∈ ρ1∩ρ2) ∨ρB, vì (ρ1∩ρ2) ∨ρB là một tương đẳng
nhóm trên S và c d B, ∈ ⊂ker( (ρ1∩ρ2) ∨ρB). Chúng ta đã chứng tỏ được rằng ( ρ ρ1∨ B) (∩ ρ2∨ρB) (⊂ ρ ρ1 ∨ 2) ∨ρB. Bao hàm thức còn lại là hiển nhiên. Do đó ( ρ ρ1∨ B) (∩ ρ2 ∨ρB) (= ρ ρ1∨ 2) ∨ρB. W
Từ đó chúng ta nhận được kết quả sau
2.3.7. Định lý. Giả B là một nửa nhóm con nửa chuẩn tắc của nửa nhóm S . Thế thì ánh xạ φ: C(S)→ JC(S) xác định bởi ρφ ρ ρ= ∨ B với mỗiρ∈C(S), là
một đẳng cấu dàn từ C(S) lên dàn tất cả các tương đẳng nhóm trên S chứa
B. ρ
Chứng minh. Chúng ta đã chứng minh được rằng: (ρ1∩ρ φ ρ φ ρ φ2) = 1 ∩ 2 đối với tất cả ρ ρ1, 2∈C(S). Rõ ràng (ρ ρ φ ρ φ ρ φ1∨ 2) = 1 ∨ 2 đối với tất cả ρ ρ ∈1, 2
C(S) và hiển nhiên φ là toàn ánh. W
Trực tiếp nhận được các kết quả sau (xem Định lý 4.5[8]).
2.3.8. Hệ quả. Giả sử B là nửa nhóm con nửa chuẩn tắc của nửa nhóm S . Thế thì ρB phân phối trên giao.
2.3.9. Ký hiệu. Giả sử S là một nửa nhóm. Với mỗi nửa nhóm con chuẩn tắc của S, đặt P (S N; ) ={ A⊆S A2 ⊆ A N, ⊆ A A, ω= A}.
Ký hiệu
N
Sρ bởi S
N . Nói riêng, P (SN;{ }N ) là tập hợp tất cả các nửa nhóm con của nhóm S
N .
Chú ý rằng nếu A∈P (S N; ) thì A đầy đủ và trù mật.
Trong [3] đã thiết lập các kết quả sau
2.3.10. Mệnh đề. Giả sử S là một nửa nhóm và N là nửa nhóm con chuẩn tắc của S . Thế thì tồn tại một song ánh bảo toàn thứ tự φ giữa tập hợp
P (S N, ) và tập hợp (SN;{ }N ). Hơn nữa,M ∈P (S N; )và M <S nếu và chỉ nếu Mφ<SN.
2.3.11.Mệnh đề. Giả sử φ là một toàn ánh từ một nửa nhóm S lên một nhóm G . Thế thì
( )i ker( )φ =φφ−1là một tương đẳng nhóm trên S;
( )ii N ={ }eG φ<S;
( )iii ker( )φ =ρN.
Đảo lại, nếu N là nửa nhóm con chuẩn tắc của nửa nhóm S , thế thì N là hạt nhân của đồng cấu chính tắc từ S lên S N .
2.3.12. Ví dụ. Bây giờ chúng ta mô tả tất cả các nửa nhóm con chuẩn tắc của nửa nhóm bicyclic S = ×¥ ¥, trong đó
( ) (k l m n, , ) = (k l− +max ,{ }l m n m, − +max ,{ }l m ).
Như đã biết mỗi ảnh đồng cấu của nửa nhóm bicyclic là một nhóm cyclic.
Hơn nữa, ES ={ ( ) ( )0,0 , 1,1 ,...} <S và ( ) (k l, ρE m n, ) nếu và chỉ nếu k n l m+ = + , do đó ( , .)
E
Sρ ≅ ¢ + Suy ra ( )i¢ φ−1 ={ (m n, )∈S m( ) ( )i = n i}
đối với mỗi i∈¥*. Từ đó kết luận được rằng mỗi nhóm cyclic là ảnh đồng cấu của nửa nhóm bicyclic.
Từ lý thuyết nhóm, chúng ta cũng nhận được các kết quả sau.
2.3.13. Mệnh đề. Giả sử S là một nửa nhóm; M N là các nửa nhóm con , chuẩn tắc của S và M ⊆ N. Thế thì:
( ) ( )
( ) ( )
( )
M N;
;
. i
N S
ii M M
SM S
iii N N
M
≅
<
<
2.3.14. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm và E E S= ( ) là tập hợp tất cả các lũy đẳng của S. Khi đó S được gọi là nửa nhóm E - ngược nếu với mỗi
a S∈ tồn tại x S∈ sao cho ax E S∈ ( ).
Với mỗi a S∈ , ký hiệu ω( )a = ∈{x S xax x= }. Thế thì S là nửa nhóm E - ngược nếu và chỉ nếu ω( )a ≠φ đối với mỗi a S∈ . Từ đó nếu S là một nửa nhóm E - ngược thì với mỗi a S∈ tồn tại x S∈ sao cho ax xa E S, ∈ ( ).
2.3.15. Mệnh đề. Giả sử A là một nửa nhóm con đóng và đầy đủ của nửa nhóm E - ngược S . Thế thì A là nửa nhóm E - ngược.
Chứng minh. Thật vậy, giả sử a∈A. Thế thì ax E S∈ ( ) = E A( ) với x S∈ nào
đó, do đó x A∈ ω = A. Suy ra tồn tại x A∈ sao cho ax A∈ . W
2.3.16. Mệnh đề. Giả sử S là một nửa nhóm E - ngược, N là nửa nhóm con chuẩn tắc của S ; M là nửa nhóm con đóng và đầy đủ của S . Thế thì:
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
M N ;
N ;
.
i M
ii MN
M MN
iii M N N
ω
ω
∩
∩ ≅
<
<
Chứng minh. (i) Vì E S( ) ⊂M ∩N nên M ∩N là nửa nhóm con đầy đủ của M . Giả sử ,a b M∈ sao cho ab M∈ ∩N.Thế thì ba M∈ và ba N∈ (vì N
phản xạ trong S). Từ đó ba M∈ ∩N, do đó M ∩N phản xạ trong M . Hơn nữa, nếu x∈(M ∩N)ω, thế thì yx M∈ ∩N với y M∈ ∩N nào đó,như vậy
x M∈ ∩N (vì N và M là đóng). Vì M ∩N là đóng và đầy đủ nên M ∩N là nửa nhóm E - ngược (theo Mệnh đề 2.3.15); bởi vậy M ∩N trù mật trong
M . Như vậy M ∩N<M.
(ii) Chúng ta chứng tỏ rằng (MN)ω là nửa nhóm con của S. Giả sử a b, ∈(MN)ω. Thế thì m n a m n1 1 = 2 2 với m m1, 2∈M n n, ,1 2∈N. Vì S là nửa nhóm E - ngược nên ω( )m1 ≠φ. Từ đó mm1,m m E S1 ∈ ( ) ⊂M với m S∈
nào đó. Như vậy m M∈ (vì M là đĩng), (mm n a1) 1 =(mm n2) 2.Do đĩ (n a mm1 , 2)∈ρN,Vì mm1∈E S( ) ⊂ N nên (a m, 3)∈ρN (m3∈M). Tương tự
(b m, 4)∈ρNvới m4∈M nào đó. Suy ra (ab m, 5)∈ρN,trong đó m5∈M Từ
đó n ab m n3 = 5 4 với n n3, 4∈N nào đó. Như vậy(m n ab5 3) =(m m n5 5) 4. Suy ra
( ) .
ab∈ MN ω Hơn nữa, N ⊂(MN)ω Thật vậy, giả sử n N∈ .Thế thì n n en1 = 2 với e E S n n∈ ( ), ,1 2∈N nào đó Từ đó ( )en n en1 = 2∈MN nên n∈(MN)ω. Từ
đó N<(MN)ω. (vì N<S).
(iii) Suy ra trực tiếp từ (ii). W