Phương trình cực của các đường tròn

B. NỘI DUNG §1. Hệ tọa độ cực

2. Phương trình cực của các đường tròn

Bài toán 1: Trong hệ trục tọa độ vuông góc, xét đường tròn tâm tại (a,0) và bán kính bằng a. Viết phương trình đường tròn này trong hệ tọa độ cực.

Lời giải:

Đường tròn tâm (a,0) có bán kính bằng a có phương trình trong hệ tọa độ vuông góc là: (xa)2y2 a2 hay x2  y2 2ax (1)

Chuyển sang hệ tọa độ cực, ta được:

2 2 cos 2 cos

r  ar   r a  (2)

Ta có hình vẽ 2.3 và 2.4 là hình biểu diễn đường tròn trong hệ tọa độ vuông góc và hệ tọa độ cực:

Nhận xét:

Bài toán trên minh họa một phương pháp tìm phương trình cực của một đường cong, cụ thể là biến đổi phương trình của nó trong hệ tọa độ vuông góc sang phương trình trong hệ tọa độ cực. Một phương pháp khác, có thể tìm phương trình cực của đường cong bất cứ lúc nào là từ tính chất hình học đặc trưng của đường cong.

Trong trường hợp đường tròn đã xét ở trên, ta sử dụng tính chất rằng ΔOPA là tam giác vuông, với cạnh kề với góc nhọn  là r, cạnh huyền

OA = 2a. Khi đó, hiển nhiên ta có: r = 2acos.

Như vậy, để tìm phương trình cực của đường cong, ta có thể sử dụng phương pháp thứ hai (phương pháp hình học) .

O (a;

0) a a

P(x, y)

A O 2a A

( , ) P r 



Hình 2.3 Hình 2.4

Đào Thị Thanh Huyền 25 K32G – Toán Xét bài toán mở rộng của bài toán 1 như sau:

Bài toán 2: Tìm phương trình cực của đường tròn với bán kính bằng a và tâm tại C có tọa độ cực là: (b;), trong đó giả sử b là số dương.

Lời giải:

- Lấy P=(r, ) là một điểm tùy ý trên đường tròn.

Xét Δ OPC, áp dụng định lý cosin trong tam giác ta có: a2= r2 + b2 - 2brcos(  ) (3) Đây là phương trình cực của đường tròn cần tìm.

- Đối với đường tròn đi qua gốc tọa độ ta có b = a, và nó có thể viết thành: r=2acos(  ).

- Đặc biệt, khi =0 thì: (3) quy về (2) và khi =

2



thì cos(  ) = cos(

2

  ) = sin .

Khi đó, (3) trở thành r = 2asin (4).

Hoặc bằng phương pháp hình học trực tiếp ta có thể thu được (4):

với

2

  : ΔPOA vuông tại P

có r là cạnh đối diện với góc nhọn , cạnh huyền OA = 2a nên ta có:

r = 2asin

( , ) P r 

y

O 2 a



Hình 2.6

y

O x

r b

( , ) C b

( , ) P r 

 

Hình 2.5

Đào Thị Thanh Huyền 26 K32G – Toán 3. Phương trình của các đường conic trong hệ tọa độ cực

Ta đã biết phương trình các đường côníc trong Hệ tọa độ Đềcác vuông góc và đường côníc là elip, parabol hay hypebol tuỳ thuộc vào e < 1, e = 1 hay e > 1. Bây giờ chúng ta đi tìm phương trình của nó trong Hệ toạ độ cực bằng cách xét bài toán cụ thể sau:

Bài toán 1: Tìm phương trình cực của phần đường conic với tâm sai e nếu tiêu điểm tại gốc tọa độ và đường chuẩn tương ứng là đường thẳng x = -p nằm ở bên trái gốc tọa độ.

Lời giải:

Giả sử P là một điểm bất kì trên đường côníc có tọa độ cực là ( ; )r  Và ta có các kí hiệu như hình 2.7 ( tiêu điểm, đường chuẩn, tâm sai ).

Ta biết rằng: đường conic ở trên là tập hợp các điểm P mà tỉ số khoảng cách từ P đến tiêu điểm và đường chuẩn tương ứng bằng e, tức là:

PF e

PD  hay PF = e.PD. (1)

Ở bài này, giả thiết đầu bài cho đường chuẩn x = -p nằm ở bên trái gốc tọa độ, dựa vào hình vẽ ta có: PF = r và PD = RQ = RF+FQ = rcos  p.

 OF

r D

Q

P

R

Hình 2.7

x y

p x=-p

Đào Thị Thanh Huyền 27 K32G – Toán Thay PF và PD vào (1) ta được :

( cos ) er cos

re r  p  r ep er cos

r  ep

   r(1ecos ) ep

1 cos r ep

e 

  

Vậy phương trình cực của đường conic cần tìm là:

1 cos r ep

e 

  (*) Sau đây, ta xét các ví dụ minh hoạ cụ thể với kết luận trong bài toán 1 Ví dụ 1: Viết phương trình cực của đường conic với tâm sai 1

e 3, tiêu điểm tại gốc tọa độ, và đường chuẩn x = -4.

Lời giải:

Áp dụng công thức (*) với: 1

e3; p = 4 ta được:

1.4 3 4

1 3 os

1 . os 3

r   c   c  .

Ta thấy 1

e3 < 1 nên đường cong này là elip.

Quan sát thấy rằng mẫu số ở đây luôn khác không, do đó r bị chặn với mọi .

Ví dụ 2: Cho conic có phương trình: 25 4 5cos r   .

Tìm tâm sai, vị trí đường chuẩn và nhận diện đường cong.

Lời giải:

Ta bắt đầu bằng việc chia tử số và mẫu số cho 4 để đưa phương trình về dạng chính xác (*):

25 4 1 5cos

4

r   .

Đào Thị Thanh Huyền 28 K32G – Toán Suy ra: 5

e 4 và 25

e p 4 nên p = 5.

Đường chuẩn là đường thẳng x = -5, và đường cong là hypebol.

Nhận thấy, mẫu số bằng 0 khi os 4

c 5, nên r dần ra vô cùng theo hướng này.

Bài toán 2: Tìm phương trình cực của phần đường côníc với tâm sai e nếu tiêu điểm nằm ở gốc toạ độ và đường chuẩn tương ứng x = p nằm ở bên phải gốc tọa độ.

Lời giải:

Cách làm tương tự như bài toán 1, ta thấy rằng nếu đường chuẩn là đường thẳng x = p nằm bên phải của gốc tọa độ như hình 2.8, thì:

PF = r

PD = FQ- FR = prcos.

Khi đó, phương trình PF=e.PD có dạng:

( cos ) cos

1 cos

r e p r r ep er

r ep e

 



    

  

4. Phương trình cực của các đường xoắn ốc

4.1. Đường cong Г với phương trình cực ra; ,a  0 gọi là đường xoắn ốc Asimet (Archimede)

Các đường xoắn ốc Asimet có thể xác định như là quỹ tích của điểm P, bắt đầu từ gốc và đi xa dần với một tốc độ đều theo một đường kính r, góc  quay quanh gốc theo chiều ngược chiều kim đồng hồ, từ vị trí ban đầu dọc theo trục cực, trong đó cả hai chuyển

động bắt đầu cùng lúc. (r và  tỉ lệ thuận với nhau) Hình 2.9

F R



P D

Q p

r

Hình 2.8 x=p

Đào Thị Thanh Huyền 29 K32G – Toán Trong hình vẽ ta giả thiết rằng:  bắt đầu từ 0 và tăng dần  0.

Trường hợp 0, khi đó ta có phần khác của đường xoắn ốc mà ta không vẽ nhằm giữ cho hình vẽ không bị rối).

4.2. Đường cong Г với phương trình cực r a; ,a  0

  gọi là đường xoắn ốc hypebolic

Trong hình xoắn ốc ta xét ở 2.9, r tỉ lệ thuận với , r a . Bây giờ ta xét trường hợp r tỉ lệ nghịch với : r a

 hay r a trong đó a là hằng số dương.

Hình 2.10

Với các giá trị dương của , ta có đường cong hình 2.10 .

Đường cong này gọi là đường xoắn ốc hyperbolic do sự giống nhau của r a với phương trình biểu diễn hyperbolic trong hệ tọa độ vuông góc xy = a.

Khi =0, r không xác định.

Khi  nhỏ và dương, r lớn và dương (do r và  tỉ lệ nghịch với nhau) và khi  tăng đến vô cùng, r giảm tới 0.

Điều này cho ta thấy một biến đổi của điểm P trên đồ thị của đường xoắn ốc r a

 là đi từ vô cùng và cuộn quanh gốc theo chiều kim đồng hồ,

Đào Thị Thanh Huyền 30 K32G – Toán theo một số vô hạn vòng thắt dần khi  tăng vô hạn.

4.3. Nhận xét

- Ở 4.1 và 4.2, nếu  được cho giá trị âm, ta có một phần khác của đường cong, mà ta không vẽ để tránh hình vẽ bị quá rối. Bản chất của phần đường cong này có thể thấy được một cách dễ dàng bằng cách để ý rằng: nếu r và  được thay thế bởi - r và - thì phương trình các đường xoắn ốc ở trên không thay đổi. Điều đó có nghĩa là với mọi điểm (r,) trên đường cong, điểm đối xứng qua trục oy: (-r,-) cũng nằm trên đường cong. Do đó, phần khác của đường cong là một đường xoắn ốc thứ hai quay quanh gốc theo chiều kim đồng hồ khi   .

- Các đường xoắn ốc này khi xem xét trong hệ tọa độ cực sẽ dễ dàng nhiều hơn trong hệ tọa độ đề các vuông góc.

5. Bài tập thêm

Bài 1: Tìm phương trình cực của các đường tròn xác định bởi các điều kiện:

a, Tâm (4, ) 6

 , bán kính 3.

b, Tâm (5;0), bán kính 5.

c, Tâm (3, ) 2

 , bán kính 3.

d, Tâm nằm trên đường thẳng

3

  và qua các điểm (6, ); (0, 0) 2

 .

Bài 2: Cho một đường conic với tâm sai e, có tiêu điểm tại gốc và đường chuẩn tương ứng y = -p dưới gốc. Chứng minh rằng phương trình cực của nó

là 1 sin

r ep

e 

  . Phương trình cực của nó là gì nếu đường chuẩn là đường thẳng y = p nằm ở trên gốc tọa độ.

Bài 3: Tìm tâm sai, vị trí đường chuẩn và nhận diện các đường cong được cho dưới đây:

Đào Thị Thanh Huyền 31 K32G – Toán

a, 6

1 os

r c  . c, 4 2 4 os r  c 

b, 10

2 os

r c  . d, 18 6 os r c 

Bài 4: Một tam giác ABC, có hai điểm A, B cố định và góc A luôn gấp đôi góc B. Hãy tìm quỹ tích điểm C (dùng hệ tọa độ cực, trong đó điểm A là cực và trục cực là AB).

Bài 5: Cho parabol có điểm tiêu F, một dây cung AB thay đổi luôn đi qua F và FAFB. Trên tia FA lấy điểm C sao cho FC = FA - FB.

Tìm quỹ tích điểm C.

Bài 6: Một dây cung bất kì AB đi qua điểm tiêu F của một đường bậc hai.

Chứng minh rằng: 1 1

FAFB không phụ thuộc vào dây cung AB.

Bài 7: Kiểm tra tính đúng đắn của phương pháp chia ba một góc AOB bằng sử dụng đường xoắn ốc của Acsimet:r a (hình 2.9) với 3 bước:

Bước 1, Cho OB giao với đường xoắn ốc tại P, và dựng điểm Q chia ba đoạn OP, khi đó: OQ = 1

3OP.

Bước 2, Dựng đường tròn tâm O và bán kính OQ. Cho đường tròn này giao với đường xoắn ốc tại R.

Bước 3, Vẽ OR và ta thu được:  1

AOR AOB

3 .

Đào Thị Thanh Huyền 32 K32G – Toán 6. Hướng dẫn giải bài tập thêm

Bài 1:

a, Tâm(4, ) 6

 , bán kính 3 4, , 3

b  6 a

    .

Áp dụng kết quả của phần 2, bài toán 2, đường tròn không qua gốc:

32= r2 + 42 - 2.4rcos(

6

  ) 2 8 cos( ) 7

r r  6

    .

b, r10. osc  c, r6sin . d, 4 3 cos( )

r 3

Bài 2: Làm tương tự như bài toán 1, phần 3:

Giả sử P là một điểm bất kì trên đường conic có tọa độ cực là: ( , )r  Và ta có các kí hiệu như hình vẽ 2.11 ( tiêu điểm, đường chuẩn, tâm sai ).

PF e

PD  hay PF=e.PD. (1) Dựa vào hình vẽ ta có:

PF = r và PD=RQ =RF+FQ = rcosPFD  p

cos( ( )) sin

PD r 2   p r  p

      

Thay PF và PD vào (1) ta được:

1 sin r ep

e 

  .

*) Tương tự, ta có: phương trình của đường conic tâm sai e, tiêu điểm tại gốc và đường chuẩn là đường thẳng y = p nằm trên gốc tọa độ là:

1 sin r ep

e 

 

A F

 

p x

P R

y=- p D

Q

Hình 2.11 Â

Đào Thị Thanh Huyền 33 K32G – Toán Bài 3:

a, 6

1 os

r c  => e=1, p= 6 => đường cong là parabol và đường chuẩn x=-6.

b, 1, 10

e 2 p . Đường cong là elip có đường chuẩn là đường thẳng x = -10.

c, e =2, p= 1. Đường cong là hypebol có đường chuẩn là đường thẳng x = 1.

d, 1; 18

e 6 p . Đường cong là elip và đường chuẩn là đường thẳng x= 18.

Bài 4:

Chon hệ trục tọa độ sao cho, trong đó A là cực, trục cực là AB, với AB cố định.

Giả sử:

 



2

3 2 2

( ( , 0) (0, ))

2 3 3

AB d AC r

CAB CBA

ACB

 

  

 

 

 



   



     



Áp dụng định lý hàm số sin trong ∆ABC ta có:

2 2

sin2 . 1 .

3 3 1 2 cos

sin sin( ) sin 3 4sin 3 4sin

2 2 2 2 2

AC AB d d

AC AB AB r



                 

Vậy r =

1 2 cos d



 .

Bài 5: Quỹ tích điểm C là những điểm trong hệ tọa độ cực có phương trình:

2

2 cos sin

r p 

 

A H H’ B x

2



C

M

Hình 2.12

Đào Thị Thanh Huyền 34 K32G – Toán Bài 6: Giả sử phương trình của đường bậc hai trong hệ tọa độ cực

là: 1 os

r ep

ec 

 

Đặt: FAr FB1; r2 B r( , );1 1 A r( ,2   2), 1 2  . Khi đó: cos1 cos2

Thay 1

1 os 1

r ep

ec 

  ; 2

1 os 2

r ep

ec 

  vào 1 2

1 2 1 2

1 1 1 1 r r

I FA FB r r r r

     

ta được: I 2

 ep .

Vậy 1 1

FA FB không phụ thuộc gì vào dây cung AB.

Bài 7:

Giả sử: AOB và P là giao điểm của OB với đường xoắn ốc Acsimet có tọa độ cực là: P r( , ) với r a hay (P a , ).

Theo giả thiết đầu bài: 1 à

OQ3OP v QOP nên ta có tọa độ cực của Q là: (1 , )

Q 3r  . Dựng đường tròn tâm O, bán kính OQ cắt đường xoắn ốc tại R OR 1

3r

 

mà R cũng thuộc đường xoắn ốc nên R có tọa độ cực là: (1 , )1

R 3r  sao cho:r1  a1.

Lại có: 1 1 1 1 3 1(*)

3 3

r  r ra  r a

Mặt khác: ra   31 hay AOB3AOR .

Q R

P B

A

Hình 2.13 O

Đào Thị Thanh Huyền 35 K32G – Toán

§3. Dựng đường cong cho bởi phương trình cực Tiếp tuyến của đường cong

1. Dựng đường cong cho bởi phương trình cực 1.1. Đồ thị của một phương trình cực

Cũng như trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc, tọa độ của phương trình cực F( , )r  = 0 là tập hợp tất cả các điểm sao cho tọa độ cực của điểm này thỏa mãn phương trình F( , )r = 0. Từ một điểm P( , )r  có nhiều tọa độ cực khác nhau, cần thiết phải xác định rằng P nằm trên đồ thị nếu một tọa độ cực bất kì trong các tọa độ cực của điểm đó thỏa mãn phương trình.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng điểm (1, ) 2

 và điểm (0, ) 2

 đều nằm trên đồ thị của rsin2 .

Lời giải:

Thay toạ độ của điểm (1, ) 2

 vào phương trình rsin2 ta thấy

1 sin2

2

  (thỏa mãn). Vậy, điểm (1, ) 2

 nằm trên đồ thị của rsin2 .

Mặt khác, điểm(0, ) 2

 cũng nằm trên đồ thị, thậm trí 0 sin2 2

  . Nguyên

nhân là vì (0;0) cũng là một cặp tọa độ của điểm (0, ) 2

 và 0sin 02 .

- Nếu hàm f() là một hàm đơn giản vừa phải, đồ thị của nó khá dễ vẽ.

Ta chỉ cần chọn một dãy thuận tiện các giá trị của , mỗi giá trị xác định một hướng từ gốc, và tính toán giá trị tương ứng của r.

Sau đây ta xét những ví dụ đơn giản nhất:

Ví dụ 2: Phương trình cực   , trong đó  là hằng số, có đồ thị là một đường thẳng qua gốc tọa độ và tạo với trục dương ox một góc  . Hình 3.1.1

Đào Thị Thanh Huyền 36 K32G – Toán Ví dụ 3: Phương trình r = a trong đó a là một hằng số dương, có đồ thị là một đường tròn tâm tại gốc, và bán kính bằng a. Hình 3.1.2

Tiếp theo ta xét một ví dụ phức tạp hơn:

Ví dụ 4: Vẽ và nhận diện đồ thị của phương trình cực: r 2 cos . Lời giải:

Theo bài toán 1, mục 2, § 2, ta biết đồ thị của phương trình cực 2 cos

r   là một đường tròn nhưng vẫn chưa thấy rõ ràng.

Một cách để thử hình dung đồ thị cực chưa biết là tính một bảng giá trị chọn lọc của  và vẽ các điểm tương ứng. Hình 3.1.3:

Bảng giá trị:

 0

6



4



3



2

 2

3

 3

4

 5

6

  r 2 3 2 1 0 1  2  3 -2

O



 

Hình 3.1.1

r=

a a

Hình 3.1.2

Đào Thị Thanh Huyền 37 K32G – Toán - Một phương pháp tốt hơn việc tính giá trị và vẽ các điểm để vẽ đồ thị là kết hợp tính giá trị (r,) và phân tích tực tiếp như sau:

Khi  = 0, r = 2cos = 2.

Khi  tăng trong góc phần tư thứ nhất, từ 0 đến

2

 thì 2cos giảm từ 2 đến 0 và ta có phần trên của đường cong được chỉ ra ở hình 3.1.3

Khi  nhận các giá trị từ 2

 đến  , thì 2cos giảm từ 0 đến -2 và khi đó ta có phần thấp hơn của đường cong trong hình vẽ 3.1.3.

(chú ý: điểm có tọa độ cực (-2, ) trùng với điểm có tọa độ cực (2,2))

- Rõ ràng kết quả đồ thị là một loại đường ovan, có thể là một đường tròn. Để kiểm tra rằng, đó đúng là đường tròn, ta tìm phương trình của đường cong trong hệ toạ độ Đềcác vuông góc.

Ta đã biết: r2 x2y2 với xrcos và yrsin

Nhân phương trình đã cho r = 2cos với r và sử dụng công thức này ta được:

2 2 2 2 2

2 cos 2 ( 1) 1

r  r   x  y  x x  y 

1 2

O

 r= 2

, =0

6

 3

 2

3 3 

4



5 6



Hình 3.1.3

4



Đào Thị Thanh Huyền 38 K32G – Toán Phương trình cuối cùng cho chúng ta phương trình của một đường tròn với tâm (1,0) và bán kính bằng 1.

1.2. Nhận xét

- Vẽ một đồ thị cực bằng cách kiểm tra trực tiếp phương trình cực r = f() rất quan trọng. Ngắn gọn các bước nghĩa là: Ta hình dung rằng một bán kính quay quanh gốc theo chiều ngược chiều kim đồng hồ tạo với trục cực một góc , và đường cong của ta được vẽ bởi tập hợp các điểm tương ứng với góc  dán lên bán kính quay này và có thể tự do di chuyển về phía gốc hay ra xa gốc phù hợp với dạng điệu của hàm f().

Hàm f() biến đổi khi bán kính quay hết một vòng, tức là khi  tăng từ 0 đến

2

 , sau đó tăng từ 2

 đến ,  đến 3

2

 , và từ 3

2

 đến 2 .

- Ta nhấn mạnh sự cần thiết phải vẽ đồ thị của một phương trình cực để có cái nhìn rõ ràng và chính xác hơn về đường cong đó.

Đối với hệ tọa độ đề các vuông góc và phương trình y = f(x), ta đã quen với quan điểm rằng điểm x chuyển động nằm ngang theo trục ox và y chuyển động dọc theo trục thẳng đứng, hay y là khoảng cách định hướng đo xuống hay lên tới điểm (x,y) trong mặt phẳng. Nói một cách đơn giản và dễ hiểu, trong suy nghĩ của chúng ta là “trái - phải” và “ xuống - lên”.

Tuy nhiên, đối với hệ tọa độ cực và r f( ) ta phải nghĩ rằng góc 

quay quanh trục như là một chiếc kim đồng hồ quay ngược chiều. Với mỗi 

ta đo độ rời khỏi tâm bằng độ dài định hướng f( ) , và các điểm di chuyển ra xa hơn hay gần hơn tùy theo f( ) là lớn hơn hay nhỏ hơn. Trong suy nghĩ của chúng ta là “quay và quay”, “vào và ra”.

Ví dụ 1: Vẽ đường ốcsên Patxcan Г có phương trình cực:

cos , 0, 0

r a b a b .

Đào Thị Thanh Huyền 39 K32G – Toán Lời giải:

Gọi M( ) là điểm có tọa độ cực ( cosa  b, ) thuộc đường cong Г.

Vì M( 2 ) M( ) nên chỉ cần cho  biến thiên từ  đến  ta được toàn bộ đường cong Г .

Vì r( ) r( ) nên hai điểm M() à v M( ) đối xứng nhau qua trục ox.

Do đó, ta chỉ cần dựng một nửa đường cong Г ứng với khoảng biến thiên

 0; của . Sau đó, lấy đối xứng cung nhận được qua trục ox.

Ta có: r( ) acosb nên r( )  a sin 0 trên đoạn  0; , a>0, b>0 nên r( ) giảm dần trên đoạn  0; .

Bảng biến thiên:

 0 2

 

r a+b b b-a

Ta có: a>0, b>0 nên a+b>0; b-a có thể nhận các giá trị âm, dương hoặc bằng không nên ta có đường ốc sên sẽ có những hình dạng sau:

TH1: b<a thì b-a <0( hình 3.1.4).

 0 2

 

Hình 3.1.4 r a+b b

0 b-a<0

Đào Thị Thanh Huyền 40 K32G – Toán TH2: b= a

 0

2

 

Hình 3.1.5 r a+b

b 0

TH3: a<b<2a TH4: b2a

Hình 3.1.6 Hình 3.1.7

2. Tiếp tuyến của đường cong cho bởi phương trình cực

- Cho đường cong Γ có phương trình y = f(x) đối với hệ tọa độ đề các vuông góc, M(x,y) là một điểm bất kì thuộc Γ. Gọi M() là điểm với cặp tọa độ cực (r,) tương ứng trong hệ tọa độ cực Oi

. Đường thẳng đi qua M và tiếp xúc với đường cong Г tại M được gọi là tiếp tuyến của đường cong tại M.

- Khi làm việc với hệ tọa độ đề các vuông góc, ta xác định hướng của một đường cong y = f(x) tại một điểm M bởi một góc α từ hướng dương trục x tới đường tiếp tuyến MT. Tuy nhiên, trong trường hợp đường cong cực r = f(), có thể làm việc dễ dàng hơn với góc  từ vectơ bán kính Ou

tới đường thẳng tiếp tuyến MT, như ta thấy trong hình vẽ 3.2.1