Dựng đường cong cho bởi phương trình cực

B. NỘI DUNG §1. Hệ tọa độ cực

1. Dựng đường cong cho bởi phương trình cực

Cũng như trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc, tọa độ của phương trình cực F( , )r  = 0 là tập hợp tất cả các điểm sao cho tọa độ cực của điểm này thỏa mãn phương trình F( , )r = 0. Từ một điểm P( , )r  có nhiều tọa độ cực khác nhau, cần thiết phải xác định rằng P nằm trên đồ thị nếu một tọa độ cực bất kì trong các tọa độ cực của điểm đó thỏa mãn phương trình.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng điểm (1, ) 2

 và điểm (0, ) 2

 đều nằm trên đồ thị của rsin2 .

Lời giải:

Thay toạ độ của điểm (1, ) 2

 vào phương trình rsin2 ta thấy

1 sin2

2

  (thỏa mãn). Vậy, điểm (1, ) 2

 nằm trên đồ thị của rsin2 .

Mặt khác, điểm(0, ) 2

 cũng nằm trên đồ thị, thậm trí 0 sin2 2

  . Nguyên

nhân là vì (0;0) cũng là một cặp tọa độ của điểm (0, ) 2

 và 0sin 02 .

- Nếu hàm f() là một hàm đơn giản vừa phải, đồ thị của nó khá dễ vẽ.

Ta chỉ cần chọn một dãy thuận tiện các giá trị của , mỗi giá trị xác định một hướng từ gốc, và tính toán giá trị tương ứng của r.

Sau đây ta xét những ví dụ đơn giản nhất:

Ví dụ 2: Phương trình cực   , trong đó  là hằng số, có đồ thị là một đường thẳng qua gốc tọa độ và tạo với trục dương ox một góc  . Hình 3.1.1

Đào Thị Thanh Huyền 36 K32G – Toán Ví dụ 3: Phương trình r = a trong đó a là một hằng số dương, có đồ thị là một đường tròn tâm tại gốc, và bán kính bằng a. Hình 3.1.2

Tiếp theo ta xét một ví dụ phức tạp hơn:

Ví dụ 4: Vẽ và nhận diện đồ thị của phương trình cực: r 2 cos . Lời giải:

Theo bài toán 1, mục 2, § 2, ta biết đồ thị của phương trình cực 2 cos

r   là một đường tròn nhưng vẫn chưa thấy rõ ràng.

Một cách để thử hình dung đồ thị cực chưa biết là tính một bảng giá trị chọn lọc của  và vẽ các điểm tương ứng. Hình 3.1.3:

Bảng giá trị:

 0

6



4



3



2

 2

3

 3

4

 5

6

  r 2 3 2 1 0 1  2  3 -2

O



 

Hình 3.1.1

r=

a a

Hình 3.1.2

Đào Thị Thanh Huyền 37 K32G – Toán - Một phương pháp tốt hơn việc tính giá trị và vẽ các điểm để vẽ đồ thị là kết hợp tính giá trị (r,) và phân tích tực tiếp như sau:

Khi  = 0, r = 2cos = 2.

Khi  tăng trong góc phần tư thứ nhất, từ 0 đến

2

 thì 2cos giảm từ 2 đến 0 và ta có phần trên của đường cong được chỉ ra ở hình 3.1.3

Khi  nhận các giá trị từ 2

 đến  , thì 2cos giảm từ 0 đến -2 và khi đó ta có phần thấp hơn của đường cong trong hình vẽ 3.1.3.

(chú ý: điểm có tọa độ cực (-2, ) trùng với điểm có tọa độ cực (2,2))

- Rõ ràng kết quả đồ thị là một loại đường ovan, có thể là một đường tròn. Để kiểm tra rằng, đó đúng là đường tròn, ta tìm phương trình của đường cong trong hệ toạ độ Đềcác vuông góc.

Ta đã biết: r2 x2y2 với xrcos và yrsin

Nhân phương trình đã cho r = 2cos với r và sử dụng công thức này ta được:

2 2 2 2 2

2 cos 2 ( 1) 1

r  r   x  y  x x  y 

1 2

O

 r= 2

, =0

6

 3

 2

3 3 

4



5 6



Hình 3.1.3

4



Đào Thị Thanh Huyền 38 K32G – Toán Phương trình cuối cùng cho chúng ta phương trình của một đường tròn với tâm (1,0) và bán kính bằng 1.

1.2. Nhận xét

- Vẽ một đồ thị cực bằng cách kiểm tra trực tiếp phương trình cực r = f() rất quan trọng. Ngắn gọn các bước nghĩa là: Ta hình dung rằng một bán kính quay quanh gốc theo chiều ngược chiều kim đồng hồ tạo với trục cực một góc , và đường cong của ta được vẽ bởi tập hợp các điểm tương ứng với góc  dán lên bán kính quay này và có thể tự do di chuyển về phía gốc hay ra xa gốc phù hợp với dạng điệu của hàm f().

Hàm f() biến đổi khi bán kính quay hết một vòng, tức là khi  tăng từ 0 đến

2

 , sau đó tăng từ 2

 đến ,  đến 3

2

 , và từ 3

2

 đến 2 .

- Ta nhấn mạnh sự cần thiết phải vẽ đồ thị của một phương trình cực để có cái nhìn rõ ràng và chính xác hơn về đường cong đó.

Đối với hệ tọa độ đề các vuông góc và phương trình y = f(x), ta đã quen với quan điểm rằng điểm x chuyển động nằm ngang theo trục ox và y chuyển động dọc theo trục thẳng đứng, hay y là khoảng cách định hướng đo xuống hay lên tới điểm (x,y) trong mặt phẳng. Nói một cách đơn giản và dễ hiểu, trong suy nghĩ của chúng ta là “trái - phải” và “ xuống - lên”.

Tuy nhiên, đối với hệ tọa độ cực và r f( ) ta phải nghĩ rằng góc 

quay quanh trục như là một chiếc kim đồng hồ quay ngược chiều. Với mỗi 

ta đo độ rời khỏi tâm bằng độ dài định hướng f( ) , và các điểm di chuyển ra xa hơn hay gần hơn tùy theo f( ) là lớn hơn hay nhỏ hơn. Trong suy nghĩ của chúng ta là “quay và quay”, “vào và ra”.

Ví dụ 1: Vẽ đường ốcsên Patxcan Г có phương trình cực:

cos , 0, 0

r a b a b .

Đào Thị Thanh Huyền 39 K32G – Toán Lời giải:

Gọi M( ) là điểm có tọa độ cực ( cosa  b, ) thuộc đường cong Г.

Vì M( 2 ) M( ) nên chỉ cần cho  biến thiên từ  đến  ta được toàn bộ đường cong Г .

Vì r( ) r( ) nên hai điểm M() à v M( ) đối xứng nhau qua trục ox.

Do đó, ta chỉ cần dựng một nửa đường cong Г ứng với khoảng biến thiên

 0; của . Sau đó, lấy đối xứng cung nhận được qua trục ox.

Ta có: r( ) acosb nên r( )  a sin 0 trên đoạn  0; , a>0, b>0 nên r( ) giảm dần trên đoạn  0; .

Bảng biến thiên:

 0 2

 

r a+b b b-a

Ta có: a>0, b>0 nên a+b>0; b-a có thể nhận các giá trị âm, dương hoặc bằng không nên ta có đường ốc sên sẽ có những hình dạng sau:

TH1: b<a thì b-a <0( hình 3.1.4).

 0 2

 

Hình 3.1.4 r a+b b

0 b-a<0

Đào Thị Thanh Huyền 40 K32G – Toán TH2: b= a

 0

2

 

Hình 3.1.5 r a+b

b 0

TH3: a<b<2a TH4: b2a

Hình 3.1.6 Hình 3.1.7