3. PHÂN TÍCH ĐỘ NHÁM BỀ MẶT
3.2. Các phân tích thống kê
3.2.1. Phân bố xác suất biên độ và hàm mật độ
Hàm phân bố xác suất thống kê P(h) theo biến số ngẫu nhiên z(x) có giá trị trong khoảng (-∞, +∞) hay Zmin và Zmax là xác suất của các sự kiện với z(x) ≤ h được viết như sau:
P(h) = xác suất (z ≤ h) (1-9)
với P (- ) = 0 và P(∞ ∞) = 1.
Thông thường cấu trúc xác suất của các dữ liệu ngẫu nhiên được mô tả dưới dạng độ dốc của hàm số phân bố:
Hàm số p(z) được gọi là hàm mật độ xác suất và hiển nhiên:
Các dữ liệu mô tả tập hợp các hiện tượng vật lý đa dạng trong thực tế có khuynh hướng tuân theo hàm mật độ xác suất hay hàm Gauss.
trong đó: σ là sai lệch chuẩn, m là giá trị trung bình.
Hình 1.5: (a) Hàm ngẫu nhiên z*(x) tuân theo hàm xác suất Gauss.
(b) Hàm mật độ xác suất Gauss p(z*).
(c) Hàm phân bố xác suất thống kê Gauss P(z*).
Để thuận lợi tính toán, hàm Gauss vẽ theo biến chuẩn z* = (z-m)/σ.
Phương trình (1- 14) gọi là hàm mật độ xác suất chuẩn hay phân bố tiêu chuẩn Gauss. Để tìm P(h) từ p(z*), việc tích phân không thể biểu diễn dưới dạng hàm tường nên tích phân này thường được viết dưới dạng hàm sai lệch định nghĩa như sau:
Ví dụ về biến ngẫu nhiên z*(x) với hàm mật độ xác suất Gauss và hàm phân bố tương ứng mô tả trên Hình 1-4. Để đơn giản hoá trong một
số phân tích, đôi khi phân bố dưới dạng hàm mũ được sử dụng thay thế cho phân bố Gauss dưới dạng sau:
3.2.2. Mô men của hàm xác suất biên độ
Hình dạng của hàm mật độ xác suất cung cấp thông tin quan trọng về kiểu phân bố (behavior) của quá trình. Hình dạng này có thể biểu diễn dưới dạng mô men của hàm số.
Mà gọi là mô men cấp n. Các mô men quanh giá trị trung bình gọi là các mô men trung tâm.
Mô men cấp 0 bằng 1, mô men cấp 1 bằng m (giá trị trung bình của hàm z(x),trái lại mô men trung tâm cấp 1 bằng 0. Chú ý rằng:
Mô men cấp 2 sẽ là
Hình 1.6: (a) Hàm mật độ xác suất cho các phân bố ngẫu nhiên với các skewness khác nhau (b) Phân bố đối xứng các kurtosis khác nhau.
Mô men cấp 3 mc3 là skewness (S ) một thông số quan trọng trong việc định nghĩa các biến số với sự phân bố bất đối xứng và thể hiện mức độ đối xứng của hàm phân bố (Hình 1-6(a)). Thường mô men trung tâm cấp 3 được chuẩn hoá thành:
k
Mô men cấp 4 mc4 là kurtosis (K) thể hiện dạng đỉnh của đường cong phân bố (nhọn hay tù) (Hình 1-6(b)). Thường mô men trung tâm cấp 4 được chuẩn hoá:
Trong thực tiễn, nhiều bề mặt kỹ thuật có phân bố chiều cao Gauss đối xứng.
Thực tiễn đối với phần lớn các bề mặt kỹ thuật chỉ ra rằng phân bố chiều cao nhấp nhô tuân theo phân bố Gauss với đỉnh nhấp nhô cao nhưng với đỉnh thấp, phần dưới 1% ÷ 5% của phân bố không tuân theo phân bố Gauss. Nhiều quá trình cắt kim loại tạo ra các bề mặt không tuân theo phân bố Gauss như tiện, bà0, và gia công tia lửa điện mà tạo nên các bề mặt có skewness dương. Mài, mài nghiền, phay và gia công bằng hạt mài tạo nên các bề mặt với skewness âm nhưng giá trị kurtosis cao. Đánh bóng sử dụng tia laser tạo nên các bề mặt với giá trị kurtosis cao.
3.2.3. Các hàm số phân bố chiều cao hề mặt
Nếu bề mặt và chiều cao profile được xem xét là các đại lượng ngẫu nhiên, mô tả thống kê của chúng được thể hiện dưới dạng hàm mật độ xác suất (phân bố chiều cao hay đồ thị cột) hoặc hàm phân bố thống kê P(z). Đối với một profile số, đồ thị được xây dựng bằng cách thống kê số nhấp nhô hoặc phần chiều cao nhấp nhô bề mặt nằm trong từng khoảng dz và vẽ trên Hình 1-7. Số khoảng chia dz có thể từ 15÷ 50 đối với các dữ liệu thông thường, nhưng mỗi lựa chọn phải đảm bảo sự hài hoà giữa độ chính xác và độ phân giải. Đồ thị hàm số phân bố thống kê độ cao nhấp nhô bề mặt được vẽ trên Hình 1-7.
Hình 1.7: Phương pháp xây dựng đồ thị cột và hàm phân bố thống kê từ đồ thị phân bố chiều cao nhấp nhô bề mặt.
Nếu các đường cong phân bố thống kê và mật độ tuân theo phân bố Gauss thì các hàm phân bố độ dốc và bán kính cong cũng tuân theo phân bố Gauss bởi vì chúng là đạo hàm bậc nhất và bậc 2 của các hàm số phân bố thống kê và mật độ.
Đối với một profile số có chiều dài L và chiều cao nhấp nhô bề mặt là z , i = 1 ÷ n, tại một khoảng mẫu i
−1
= Δ N
x L trong đó N là số khoảng xác định chiều cao nhấp nhô bề mặt, các thông có chiều cao trung bình xác định như sau:
Các thông số không gian trung bình được xác định như sau:
Độ dốc trung bình
Độ cong trung bình
3.2.4. Đường cong diện tích tiếp xúc thực (BAC)
Diện tích tiếp xúc thực giữa hai bề mặt có thể xác định từ profile của bề mặt toạc bản đồ bề mặt. Để xây dựng đường cong này từ profile, vẽ một đường thẳng song song và cách đường trung bình một khoảng nào đó (bearing line) cắt các nhấp thô bề mặt. Đo các đoạn cắt và lấy tổng của chúng sau đó tính tỷ số giữa tổng này và chiều dài chuẩn ký hiệu là τp (bearing ratio). Cứ làm như thế với các đường thẳng (bearing line) từ đỉnh nhấp nhô cao nhất đến chân nhấp nhô thấp nhất sẽ vẽ được tường cong mô tả quan hệ giữa áp theo khoảng cách từ đường (bearing line) tới đường đỉnh các nhấp nhô profile (Hình 1-8). Với bề mặt Gauss, đường cong này có rạng chữ S. Trong trường hợp bản đồ bề mặt thay đường
thẳng bằng mặt phẳng và đoạn cắt bằng diện tích mặt cắt qua các nhấp nhô. Với một bề mặt ngẫu nhiên, các tỷ số tính theo chiều dài và diện tích là như nhau.
BAC có quan hệ với hàm phân bố thống kê. Phần chiều cao nhấp nhô nằm thía trên một chiều cao z, τp ứng với chiều cao h xác định như sau:
Xác suất
và
Hình 1-8: Đồ thị của đường cong diện tích tiếp xúc thực
Chú ý rằng trong các tính toán trên đã bỏ qua ảnh hưởng do biến dạng của vật liệu.
3.2.5. Các hàm số không gian
Khảo sát hai bề mặt cùng phân bố hình sin, cùng biên độ nhưng khác nhau về tần số, cùng Ra và σ nhưng khác nhau về sự phân bố không gian các nhấp nhô bề mặt, nên phân bố độ dốc và độ cong cũng không đủ để thể hiện bề mặt bởi vì chúng chỉ nói lên được một kích thước không gian cụ thể. Các hàm số không gian Autocovariance (ACVF), hàm cấu trúc (SF), Power Spectral Density Function (PSDF) cho phép thể hiện tính chất của tất cả bước sóng, đặc điểm kích thước không gian.
3.2.5.1. Các hàm số Aurocovariance & Autocorrelation
ACVF là hàm số thông dụng nhất thể hiện sự thay đổi trong không gian. Đây là một hàm ngẫu nhiên dùng để đánh giá mức độ chính xác của các giá trị có thể dự đoán cửa một hàm số dựa trên các quan sát của SF.
Cho một hàm số z(x), ACVF của một phân tách không gian τ là một giá trị trung bình của tích hai phép đo trên profile cách nhau một khoảng τz(x) và z(x + τ) Điều này đạt được bằng cách so sánh hàm z(x) với copy của nó khi dịch chuyển copy này đi một khoảng τ (Hình 1-9).
Các giá trị của ACVF tại τ = 0 và τ = ∞ sẽ:
Dạng tiêu chuẩn của ACVF gọi là hàm Autocorrelation (ACF) xác định như sau:
Hình 1-9: Xây dụng hàm Alttocovariance.
Đối với một hàm ngẫu nhiên C(τ) có thể bằng 1 tại τ = 0. Nếu các tín hiệu tuần hoàn, các đỉnh C(τ) sẽ tại những nơi τ là bội số của bước sóng.
Nhiều bề mặt kỹ thuật tuân theo hàm mũ ACF.
3.2.5.2. Hàm cấu trúc
Hàm cấu trúc (SF) hay (VF) dưới dạng tích phân của 1 profile z(x).
Hàm số biểu diễn bình phương trung bình về sai lệch về chiều cao được dự đoán trên khoảng không gian T bất kỳ. Hai ưu điểm chính của SF là việc xây dựng nó không giới hạn ở trường hợp tĩnh và nó không phụ thuộc vào mặt phẳng trung bình. SF liên hệ với ACVF và ACF theo quan hệ sau:
3.2.5.3. Hàm số mật độ phổ năng lượng (PSDF)
PSDF là một dạng khác của hàm không gian cung cấp thông tin như hàm ACVF và SF. Thực chất PSDF là biến đổi Fourier của ACVF.
trong đó: ω là tần số góc trên chiều dài (2πf hay 2π/λ là tần số (số chu kỳ/chiều dài), λ là bước sóng, δ(ω) là hàm delta, P(ω) được định nghĩa cho tất cả tần số, cả dương và âm và thuộc về dải phổ hai mặt.