5. ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG TIẾP XÚC
5.4.2. Tiếp xúc 3D tổng quát
Để đơn giản, trong phần trên ta đã nghiên cứu tiếp xúc Hec 2D.
Trong nhiều bài toán thực tế chúng ta phải giải quyết các vấn đề phức tạp liên quan đến tiếp xúc 3D.
Nói chung mô hình biến dạng 3D cũng tương tự như 2D, tuy nhiên một số công thức phải thay đổi cho phù hợp.
Khảo sát hai hình cầu như nhau chịu tải trọng pháp tuyến N (Hình 1- 20), diện tích tiếp xúc là một hình tròn bán kính a và áp suất tiếp xúc phân bố dạng cầu theo công thức sau:
Giá trị của a xác định như sau:
Hình 1-21: Sơ đồ xác định đường tiếp xúc giữa hai vật thể.
Mặc dù, tiếp xúc của hai hình cầu khác nhau không phải là một vùng tiếp xúc phẳng như trên Hình 1-21, các phương trình trên vẫn nghiệm đúng sử dụng bán kính cong tương đương R' xác định như sau:
2 1
1 1 ' 1
R R
R = + :
khi hình cầu tiếp xúc với một mặt phẳng R' = R.
Trong trường hợp hai vật thể tiếp xúc với nhau, các bán kính sử dụng tính toán là các bán kính cong chính của mỗi biến dạng trong hai mặt phẳng pháp tuyến. Khi đó, hình dáng tiếp xúc là ellip và áp suất tiếp xúc phân bố theo quy luật sau:
Các bán trục lớn và bé của elip được xác định như sau:
trong đó: ka và kb là các hằng số phụ thuộc vào giá trị của các bán kính cong chính của hai vật thể tiếp xúc và góc nghiêng φ giữa các mặt phẳng pháp tuyến chứa các cung cong chính.
Nếu ký hiệu các bán kính cong chính của vật thể 1 là R21 và R22 và của vật thể 2 là R21 và R22 các hằng số A và B sẽ là:
Trong những phương trình này các bán kính cong lõm lấy giá trị âm.
Các hệ số ka và kb là các số phụ thuộc vào tỷ số (B-A)/(A+B) thông qua góc phụ:
Sử dụng phương trình (1-73) để tính toán các giá trị của γ. Để xác định các hệ số ka và kb tương ứng với mỗi giá trị của γ yêu cầu các tính toán số phức tạp liên quan đến tích phân ellip.
Các kết quả tính toán cho trên Hình 1-22.
Khi tính toán tiếp xúc của các vật thể rắn có hình dáng hình học phức tạp giả thiết về diện tích tiếp xúc phẳng sẽ không đúng nữa.
Như đã đề cập trong phần trên, khi quy luật phân bố ứng suất và kích thước tiếp xúc vẫn xác định được theo lý thuyết của Hec, đôi khi cần biết cả hình dạng thực của tiếp xúc.
Đối với các vật liệu có cùng tính chất đàn hồi, có thể giả thiết bề mặt biến dạng có bán kính chung Rc nằm giữa hai bề mặt lý thuyết (Hình 1- 23) và giá trị của bán kính cong chung:
Từ biểu thức (1-74) có thể thấy vùng tiếp xúc chung của hai hình cầu giống nhau là Phẳng.
Hình 1-23: Sơ đồ liếp xúc của hai hình cần khác nhau
Khảo sát tiếp xúc của một hình cầu và mặt phẳng (Hình 1-24), dễ dàng thấy rằng lượng dịch chuyển u của hai bề mặt cách tâm của vùng tiếp xúc một khoảng r xác định theo công thức sau:
Nếu r rất nhỏ so với R ta có:
R u R
2
= 2 .
Lượng tiếp cập pháp tuyến là khoảng cách trên đó các điểm trên hai vật thể ở xa vùng biến dạng dịch chuyển lại gần nhau dưới tác dụng của tải trọng pháp tuyến. Điều này sinh ra từ sự dẹt ra và dịch chuyển chung của phần bề mặt trong vùng biến dạng. Nếu a là bán kính của vùng tiếp xúc và w là lượng dịch chuyển của hình cầu tại biên của vùng này thì lượng tiếp cận pháp tuyến δ sẽ xác định như sau:
Ở trung tâm vùng tiếp xúc, δ xác định mức độ biến dạng và do đó có thể giả thiết δ tỷ lệ với mức độ dẹt ra của hình cầu hay
R a2 δα vì
3 / 1
' ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ E aα NR
Kết hợp các phương trình (1-67) và (1-77), diện tích tiếp xúc A sẽ được xác định:
Có thể thấy rằng, bề mặt ở ngoài vùng tiếp xúc dịch chuyển theo một kiểu nào đó làm cho diện tích tiếp xúc thực chỉ bằng nửa diện tích tiếp xúc hình học (πa2 = 2πRδ).