Trong mục này tác giả đề cập đến áp dụng của thặng dư bậc hai cho các phương trình Pell (âm).
Định nghĩa 2.2.1. Phương trình Pell loại 2 (âm) là phương trình có dạng:
x2−dy2 =−1,d∈Z+.
Nhận xét 2.2.2. 1. Nếu cần thay x, y bởi các số đối của nó, ta chỉ quan tâm các nghiệm nguyên dương của phương trình này, vớidkhông là một số chính phương.
2. Nếu d có ước nguyên tố dạng p=4k+3, thì phương trình vô nghiệm theo Định lý Fermat nhỏ.
Bằng cách sử dụng Bổ đề Dirichlet về xấp xỉ, chúng ta chỉ ra được phương trình Pell (dương) x2−dy2 =1 (với d không là số chính phương) luôn có nghiệm. Tuy nhiên như đã thấy ở trên, không phải phương trình Pell (âm) nào cũng có nghiệm. Điều đó được chi tiết trong các kết quả dưới đây.
Định lý 2.2.3. (xem [14, Định lý 5.7])Vớid là một số nguyên tố tùy ý, phương trình Pell âm có nghiệm khi và chỉ khid6=4k+3.
Chứng minh. Ta chỉ còn phải chứng minh nếu d là số nguyên tố, chia 4không nhận số dư bằng3, thì phương trình Pell âm có nghiệm.
Trường hợp 1: d=2. Phương trình trở thànhx2−2y2=−1và có nghiệm(x,y) = (1,1).
Trường hợp 2: d≡1 (mod 4). Xét phương trình Pell (dương) liên kết với phương trình Pell âm tương ứng:
x2−dy2=1, và gọi nghiệm nhỏ nhất của phương trình này là(a,b):
a2−db2 =1. (2.1)
Nếu a chẵn, thì b lẻ. Do đó b2 ≡1 (mod 4), kéo theo db2 ≡ 1 (mod 4). Mặt khác db2 =a2−1≡3 (mod 4), nên điều trên mâu thuẫn. Từ đó suy raa=2a1+1là số lẻ, vàb=2b1 là số chẵn. Thế thì từ phương trình (2.1), ta có
a1(a1+1) =db21. Vì(a1,a1+1) =1, vàdlà một số nguyên tố, nên
a1=u2, a1+1=dv2,
(2.2) hoặc
a1 =du2, a1+1=v2.
(2.3) Nếu (2.3) xảy ra, thìv2−du2=1. Đây là một nghiệm nhỏ hơn của phương trình Pell (dương), suy ra mâu thuẫn. Vậy trường hợp này không xảy ra. Nếu (2.2) xảy ra, thì phương trình nói trên có nghiệm(u,v).
Việc có nghiệm hay không của một phương trình Pell (âm) có thể xem như việc tìm hiểu nghiệm của phương trình Pell (dương) tương ứng có “khai căn” được hay không.
Đó là tinh thần của những kết quả dưới đây mà tác giả không nêu chứng minh.
Định lý 2.2.4. (Điều kiện cần để phương trình Pell âm có nghiệm, xem [14, Định lý 5.8])Gọi(a,b)là nghiệm nhỏ nhất của phương trình Pell (dương) liên kết với phương trình Pell âmx2−dy2 =−1. Thế thì phương trình Pell âm có nghiệm khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm nguyên dương:
a=x2+dy2, b=2xy.
(2.4)
Hơn nữa, nếu hệ phương trình (2.4) có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất và cũng chính là nghiệm cơ bản của phương trình Pell âm:
x2−dy2=−1.
Nhận xét 2.2.5. Chứng minh dựa trên nhận xét sau:
Nếu (u,v) là nghiệm cơ bản củax2−dy2 =−1, thì cặp(a,b)nguyên dương thỏa mãn
a+b
√
d= (u+v
√ d)2
là nghiệm cơ bản của x2−dy2=1. Hơn nữa, mọi nghiệm (xn,yn) của phương trình Pell âm được cho bởi
xn+yn
√
d= (u+v
√
d)2n+1.
Ngoài ra công thức
xn+1 yn+1
=
a db b a
n
u v
cũng bao gồm tất cả các nghiệm của phương trình Pell âm, trong đó(u,v)(tương ứng, (a,b)) lần lượt là nghiệm cơ bản của phương trình Pell âm (tương ứng, phương trình Pell dương).
Định lý 2.2.6. (xem [11, tr. 921]) Giả sửd ≡1,2 (mod 4)là một số nguyên không chính phương. Khi đó phương trình Pell âm có nghiệm nếu và chỉ nếu x0 ≡ −1 (mod 2d), trong đó (x0,y0) là nghiệm cơ bản của phương trình Pell dương liên kết x2−dy2 =1.
Chứng minh. Nếu x2−dy2=−1 có nghiệm cơ bản (a0,b0), thì nghiệm cơ bản của x2−dy2 =1cho bởi:
x0+y0
√
d = (a0+b0
√ d)2.
Thế thìx0=a20+db20=−1+2db20≡ −1 (mod 2d).
Đảo lại, giả sử phương trình Pell dương có nghiệm cơ bản(x0,y0)thỏa mãn:
x0≡ −1 (mod 2d).
Thế thìx0 =−1+k2d, trong đók∈Z. Vậy (−1+k2d)2−dy20 =1, kéo theody20 = (−1+k2√
d)2−1≡0 (mod 4), kéo theo 4|y20. Do đó y0 chẵn và ta đặt y0 =2y1. Thế thì dk2−k−y21 = 0, kéo theo k(dk−1) =y21. Vì (k,dk−1) =1, nên k =r2,
dk−1=s2. Vậydk−1=dr2−1=s2, kéo theos2−dr2=−1và do đó phương trình có nghiệm.
Nhận xét 2.2.7. (xem [14, Bài 5.7, tr. 157]) Phương trình x2−dy2 =−1 không có nghiệm nguyên dương vớid=34.
Chứng minh. Xét phương trình Pell liên kết x2−34y2 = 1 với phương trình trên.
Phương trình này có nghiệm nhỏ nhất là(a,b) = (35,6). Mặt khác hệ phương trình:
x2+34y2=35, 2xy=6,
không có nghiệm, kết hợp với Định lý 2.2.4, phương trình đề bài cho vô nghiệm.
Nhận xét 2.2.8. Tuy vậy phương trình Pell âm nói trên vẫn có nghiệm hữu tỷ (x=
3
5,y= 15). Từ đó dẫn đến câu hỏi tự nhiên sau: phải chăng vớid không có ước nguyên tố dạng4k+3, phương trìnhx2−dy2=−1luôn có nghiệm hữu tỷ?
Bây giờ ta tìm hiểu phương trình Pell (âm) khid= p1p2 là tích của hai số nguyên tố.
Mệnh đề 2.2.9. (xem [18, Định lý 2.4.2, tr. 20])Cho p1,p2là các số nguyên tố chia4 dư1sao cho
p1 p2
=−1. Khi đó phương trình Pell âmx2−p1p2y2=−1có nghiệm.
Hơn nữa nếu p là số nguyên tố chia 8 dư 5, thì phương trình x2−2py2 = −1 có nghiệm.
Chứng minh. (1): Lặp lại chứng minh của Định lý 2.2.3, ta dẫn đến xét phương trình a1(a1+1) =p1p2b21.
Từ đó dẫn đến các trường hợp sau:
Trường hợp 1: a1= p1p2u2, a1+1=v2. Khi đóv22−p1p2u2 =1, dẫn ra nghiệm nhỏ hơn của phương trình Pellx2−p1p2y2=1, suy ra mâu thuẫn.
Trường hợp 2:a1= p1u2,a1+1= p2v2. Thế thì p2v2−p1u2 =1.
Từ đó suy rap2v2≡1 (mod p1), suy rap
p1−1 2
2 ≡1 (mod p1)(sử dụng Định lý Fermat nhỏvp1−1 ≡1 (mod p1)nếuvkhông chia hết cho p1). Do đó
p2 p1
=1. (2.5)
Vậy kết hợp với luật thuận nghịch bậc hai, ta có
p1 p2
=1. Điều này mâu thuẫn.
Trường hợp 3: a1+1= p1u2, a1= p2v2. Thế thì p1u2−p2v2 =1. Tương tự như trên cũng dẫn đến mâu thuẫn.
Trường hợp 4: a1 =u2,a1+1= p1p2v2. Thế thìu2−p1p2v2 =−1. Từ đó suy ra phương trình Pell âm có nghiệm.
(2): Lặp lại chứng minh ở phần (1) ta cũng cóa1(a1+1) =2pb2.
Trường hợp 1: a1 =2pu2, a1+1=v2. Thế thì v22−2pu2 =1. Từ đó dẫn đến thu được một nghiệm nhỏ hơn của phương trình Pell dương x2−2py2 =1, dẫn ra mâu thuẫn.
Trường hợp 2:a1=2u2,a1+1= pv2. Khi đó pv2−2u2=1.
Thế thìvlẻ, suy ra pv2≡5 (mod 8), suy raulà số chẵn và dẫn đến mâu thuẫn.
Trường hợp 3:a1= pu2,a1+1=2v2. Thế thì 2v2−pu2=1,
nói riêng ta có
2 p
=1.
Điều này mâu thuẫn với p≡5 (mod 8).
Trường hợp 4: a1=u2,a1+1=2pv2. Khi đó u2−2pv2=−1. Vậy phương trình Pell âm có nghiệm.